%TEX encoding = UTF-8 Unicode 
\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} 
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{tabularx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{enumitem} 
\usepackage{colortbl} 
\usepackage{pifont} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergà¨s 
\usepackage{pst-plot,pst-node,pst-tree,pstricks-add} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~\vect{\imath}~;~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{hyperref} 
\usepackage{fancyhdr} 
\hypersetup{pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS SIO facultative}, pdftitle = {Polynésie - 10 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel} 
\usepackage[np]{numprint} 

\begin{document} 
\setlength\parindent{0mm} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} 
\rfoot{\small{10 mai 2017}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} 
\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie mai 2017~\decofourright\\[5pt]Comptabilité et gestion}} \end{center} 
\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}
 \medskip 
 
 Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante. 
 \bigskip 
 
 \textbf{PARTIE A : Probabilité conditionnelle}
  
 \medskip 
 
 Dans le cadre de la formation continue, une grande entreprise spécialisée dans les télécommunications propose à  ses salariés de participer à  un seul des trois stages suivants : 
 
 \setlength\parindent{10mm}
  $\bullet~~$perfectionnement en anglais; $\bullet~~$initiation à  la gestion; 
  
  $\bullet~~$approfondissement des outils logiciels. \setlength\parindent{0mm} On s'intéresse aux salariés qui se sont inscrits à  l'un de ces stages. Parmi eux, 40\,\% ont choisi un perfectionnement en anglais, 25\,\% ont choisi une initiation à  la gestion, et les autres ont choisi un approfondissement des outils logiciels. Les stages ayant tous lieu dans un même institut, l'entreprise a interrogé les salariés participant aux stages afin de savoir s'ils sont favorables à  la mise en place d'un transport collectif pour effectuer le trajet entre l'entreprise et l'institut de formation. Les résultats de ce sondage sont reportés ci-dessous:
   \setlength\parindent{10mm} 
   
$\bullet~~$50\,\% des salariés ayant choisi le stage de perfectionnement en anglais et 40\,\% des salariés ayant choisi le stage d'initiation à  la gestion sont favorables à  la mise en place d'un transport collectif ; 

$\bullet~~$20\,\% des salariés ayant choisi le stage d'approfondissement des outils logiciels ne sont pas favorables à  la mise en place d'un transport collectif. \setlength\parindent{0mm} 
\smallskip 

On interroge au hasard un salarié inscrit à  l'un des trois stages. On note : 
\setlength\parindent{10mm} 
$\bullet~~$$A$ l'évènement : \og le salarié a choisi le stage de perfectionnement en anglais \fg{} ; 

$\bullet~~$$G$ l'évènement : \og le salarié a choisi le stage d'initiation à  la gestion \fg{} ; 

$\bullet~~$$L$ l'évènement : \og le salarié a choisi le stage d'approfondissement des outils logiciels \fg{} ; 

$\bullet~~$$T$ l'évènement : \og le salarié est favorable à  la mise en place d'un transport collectif \fg. \setlength\parindent{0mm} 

\medskip 
\begin{enumerate} 
\item Donner : $p(L)$,\: $P_G(T)$ et $P_L\left(\overline{T}\right)$. 
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré de probabilité ci-dessous (aucune justification n'est demandée) : 

\begin{center} 
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~}} { \TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} } 
\pstree{\TR{$G$~}} { \TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} } 
\pstree{\TR{$L$~}} { \TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} }	} 
\end{center} 

\item Calculer $P(A \cap T)$ et interpréter le résultat. 
\item Montrer que $p(T) = 0,58$. 
\item Sachant que le salarié est favorable à  la mise en place d'un transport collectif, calculer la probabilité qu'il ait choisi le stage d'initiation à  la gestion. Arrondir le résultat au millième. 
\end{enumerate} 
\bigskip

\textbf{PARTIE B : Loi binomiale} 

\medskip 

Dans cette partie les résultats seront si nécessaire arrondis au millième. On interroge à  présent au hasard 50 participants au stage. On suppose que le nombre de salariés est suffisamment grand pour assimiler ce sondage à  un tirage avec remise, et on note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés souhaitant utiliser un transport collectif. On rappelle que la probabilité qu'un salarié souhaite utiliser un transport collectif est égale à  $0,58$. 

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramà¨tres. \item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $P(X = 30)$. Interpréter ce résultat par une phrase. 
		\item Déterminer la probabilité qu'au plus $48$ salariés parmi les $50$ interrogés souhaitent utiliser un transport collectif. 
	\end{enumerate} 
\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat par une phrase. \end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{PARTIE C : Loi normale} 

\medskip 

\emph{Dans cette partie les résultats seront si nécessaire arrondis à  } $10^{-4}$. 

On admet que le temps de transport en minutes d'un salarié choisi au hasard dans cette entreprise peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale de moyenne $30$ et d'écart-type $8$. 

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité que le temps de transport d'un salarié soit inférieur à  $40$ minutes. 
		\item Calculer $P(22 \leqslant Y \leqslant 38)$. Interpréter ce résultat par une phrase. \end{enumerate} 
		\item Expliquer comment on peut déterminer, sans utiliser la calculatrice, un réel $a$ tel que $P(30 - a \leqslant Y \leqslant 30 + a) \approx 0,95$. Donner cette valeur de $a$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} 

\medskip 

\emph{Dans cet exercice, la partie {\rm A} est indépendante des parties {\rm B} et {\rm C}. \\
Un formulaire est donné à  la fin de l'exercice.} 

\medskip 

\emph{Dans tout l'exercice, les taux demandés seront donnés en pourcentage, arrondis à  0,01 si nécessaire.} 

\begin{center} 

\textbf{Partie A : étude du chiffre d'affaires d'une entreprise} 
\end{center} 

Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul d'un tableur et indique en ligne 3 le chiffre d'affaires mensuel, exprimé en milliers d'euros, d'une entreprise pour les premiers mois de l'année 2016. Certaines valeurs du tableau sont manquantes. 

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\footnotesize}m{2.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G\\ \hline 1 &Mois &janv-16 &févr-16 &mars-16 &avr-16 &mai-16&juin-16\\ \hline 2 &Rang du mois &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline 3	& Chiffre d'affaires mensuel (en milliers d'euros)&24,1 &22,3 &	&	&&18,5\\ \hline 4 &à‰volution du chiffre d'affaires par rapport au mois précédent (en pourcentages)	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &	&	& 1,94\,\% &$-8,10$\,\%& $-4,15$\,\%\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center} 

\medskip 

Par exemple, le chiffre d'affaires de l'entreprise du mois de février 2016 s'élevait à  22,3 milliers d'euros, et on constate une diminution de 4,15\,\% du chiffre d'affaires de juin 2016 par rapport à  celui de mai 2016. 

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le taux d'évolution du chiffre d'affaires de cette entreprise entre janvier et février 2016. \item La ligne 4 du tableau est au format pourcentage à  deux décimales. Quelle formule pourrait-on saisir en cellule C4 afin de calculer, par recopie vers la droite jusqu'en G4, les taux d'évolution mensuels successifs du chiffre d'affaires de cette entreprise? 
		\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant les taux indiqués en E4, F4 et G4, montrer que le chiffre d'affaires mensuel de l'entreprise a baissé d'environ 10,20\,\% entre mars 2016 et juin 2016. 
		\item En déduire le taux d'évolution mensuel moyen du chiffre d'affaires entre mars 2016 et juin 2016. On donnera le résultat sous forme de pourcentage. 				\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{Partie B : Mise en vente d'un nouveau produit} \end{center}

 \medskip 
 
 Afin de contrer la baisse globale de son chiffre d'affaires sur les premiers mois de l'année, l'entreprise prévoit la mise sur le marché d'un nouveau produit. L'entreprise a réalisé une étude auprès de ses clients pour estimer la quantité de produits qu'elle pourrait vendre par mois en fonction du prix unitaire fixé pour ce produit. Les résultats sont symbolisés sur le graphique ci-dessous par le nuage de points. 
 
\begin{center} 
\psset{xunit=2.75cm,yunit=0.0004cm,comma=true} 
\begin{pspicture}(0,-1000)(4.25,26500) \multido{\n=0.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,25000)} \multido{\n=0+5000}{6}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(4.25,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5000](0,0)(4.25,25000) \psdots(0.5,20000)(1,10000)(1.5,8100)(2,5300)(2.5,3900)(3,1680)(3.5,1300)(4,1000) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.75pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{0.5}{4}{19500 2.71828 0.9 x 0.5 sub mul exp div} \uput[d](2.25,-1000){\footnotesize Prix unitaire en euros} \rput{90}(-0.5,12500){\footnotesize Nombre de ventes par mois} \rput(2.125,26000){Prévision des ventes} 
\end{pspicture} 
\end{center} 

\medskip 

Par exemple, si l'entreprise choisit de vendre son produit 2 \euro, elle en vendrait environ \np{5000} par mois. On décide d'utiliser une \og courbe de tendance exponentielle \fg, tracée en pointillés sur le graphique ci-dessus, ajustant au mieux le nuage de points. 
\medskip 

\begin{enumerate} 
\item Pour des raisons de coûts de production, l'entreprise ne peut pas vendre son produit moins de $0,75$ euro l'unité. Avec la précision permise par le graphique, déterminer le nombre maximal de produits qu'elle pourrait espérer vendre par mois. 
\item L'entreprise doit vendre au moins \np{8000} produits par mois pour maintenir son activité. Avec la précision permise par le graphique, estimer le prix unitaire à  ne pas dépasser pour maintenir l'activité de l'entreprise. \end{enumerate}
 
\begin{center} 

\textbf{Partie C : étude du chiffre d'affaires engendré par la mise en vente de ce nouveau produit} 
\end{center} 
\medskip 

On admet que le chiffre d'affaire de l'entreprise en fonction du prix à  l'unité du produit est modélisé par la fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : 

\[R(x) = \np{31200}x \times \text{e}^{- 0,94x}.\]

Plus précisément, si les produits sont vendus $x$ euros l'unité, le chiffre d'affaire est estimé par $R(x)$. 

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item On admet que la fonction $R$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et on note $R'$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a : 

\[R'(x) = \np{31200} (1 - 0,94x) \text{e}^{- 0,94x}.\]

\item Étudier le signe de $R'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \item En déduire le tableau de variation de la fonction $R$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. Dans ce tableau, on donnera une valeur approchée à  $10^{-2}$ de l'extremum de cette fonction. 
\item Quel prix unitaire doit choisir l'entreprise pour obtenir le chiffre d'affaires le plus important? Donner une valeur arrondie au centime d'euro prà¨s de ce prix unitaire et du chiffre d'affaires correspondant. 
\end{enumerate} 

\begin{center} 

\textbf{FORMULAIRE}\end{center}

 \smallskip 
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Soit $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$.\\ La fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et on a :\\ \multicolumn{1}{|c|}{$(uv)' = u'v + uv'$}\\ La fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$ et on a :\\ \multicolumn{1}{|c|}{$\left(\text{e}^u\right)' = u'\text{e}^u$}\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{document}