\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}% %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - 13 mai 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{13 mai 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt]13 mai 2019 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \bigskip \begin{center}\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}.\end{center} \smallskip L'entreprise SASSEMBON est spécialisée dans la fabrication de savons. Dans cet exercice, on s'intéresse aux différents défauts que peuvent présenter les savons. \bigskip \textbf{Partie A : Défaut de forme} \medskip L'entreprise propose des savons senteur vanille ou noix de coco qui peuvent présenter des défauts de forme lors de la fabrication. Après avoir réalisé une étude sur $200$ savons, l'entreprise constate \setlength\parindent{12mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 130 savons sont à la vanille, \item[$\bullet~~$] parmi les savons à la vanille, 2\,\% présentent un défaut de forme, \item[$\bullet~~$] parmi les savons à la noix de coco, 96\,\% ne présentent aucun défaut de forme. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On prend un savon au hasard. On considère les évènements suivants : $V$ : \og le savon est à la vanille \fg{} ; $F$ : \og le savon présente un défaut de forme \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur des probabilités $P(V)$, $P_V(F)$ et $P_{\overline{V}}\left(\overline{F}\right)$. \item Réaliser un arbre pondéré de probabilité représentant la situation. \item Calculer la probabilité que le savon soit à la noix de coco et présente un défaut de forme. \item Montrer que la probabilité qu'un savon pris au hasard présente un défaut de forme est $0,027$. \item Sachant que le savon présente un défaut de forme, quelle est la probabilité qu'il soit à la vanille ? Arrondir le résultat au millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Défaut de masse} \medskip Pour être jugé conforme, un savon doit peser entre $98$ et $102$~g. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque savon associe sa masse en grammes. On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type 1. \medskip \begin{enumerate} \item Pour fournir ses magasins, l'entreprise prépare des colis de $150$ savons. Quelle est la masse moyenne, en kilogrammes, d'un colis ? \item \begin{enumerate} \item Déterminer $P(X \leqslant 98)$. Arrondir le résultat au millième. \item Interpréter le résultat précédent. \end{enumerate} \item Déterminer la probabilité que le savon ne soit pas conforme. Arrondir le résultat au centième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Deux défauts} \medskip Chaque savon peut présenter deux défauts: un défaut de forme ou un défaut de masse. On prélève un savon au hasard dans le stock de l'entreprise. On note : $F$ : \og le savon présente un défaut de forme \fg, $M$ : \og le savon présente un défaut de masse \fg. On sait que 2,7\,\% des savons présentent un défaut de forme et 4,6\,\% des savons présentent un défaut de masse. On suppose que ces deux évènements sont indépendants. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(F \cap M)$· Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près. \item Que représente cette probabilité ? \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que le savon présente au moins un des deux défauts . Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près \item Calculer la probabilité que le savon ne présente aucun défaut. Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 11 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center} \textbf{Partie A : Achat d'un appartement} \medskip Un couple souhaite demander un emprunt afin d'acquérir un appartement d'une valeur de \np{140000}~\euro. Une première banque leur propose un crédit de \np{140000}~\euro{} au taux mensuel de 0,12\,\% sur 180 mois remboursable par mensualités constantes. \medskip \begin{enumerate} \item La banque établit le tableau d'amortissement suivant où la cellule C1 est au format pourcentage: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B&C&D&E\\ \hline 1 & &taux mensuel&0,12\,\%&&\\ \hline 2 & &&&&\\ \hline 3 &Mois&Capital restant dû en début de mois&Intérêts du mois&Amortissement du capital&Mensualité constante\\ \hline 4&1&\np{140000,00}&&&865,26\\ \hline 5 &2 &&&&865,26\\ \hline 6 &3 &&&&865,26\\ \hline 7 &4 &&&&865,26\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner les trois formules à saisir en cellules C4, D4 et B5, qui, recopiées vers le bas, permettent de compléter ce tableau. \item Calculer les valeurs obtenues en cellules C4, D4 et B5. \end{enumerate} \item Quel est le coût total de ce crédit ? \end{enumerate} Une seconde banque propose au couple des conditions plus avantageuses avec un emprunt de \np{140000}~\euro{} au taux annuel de 1,35\,\% sur 12 ans. \begin{enumerate}[start=3] \item Montrer que le taux moyen mensuel équivalent à ce taux annuel, arrondi au millième, est 0,112\,\%. \item On rappelle la formule de calcul d'une mensualité $m$ constante : $m = C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$ où $C$ est le capital emprunté, $t$ le taux mensuel et $n$ est le nombre de mensualités. Sachant que le couple ne peut pas rembourser une mensualité supérieure à $\np{1000}$ ~\euro{} par mois, va-t-il pouvoir souscrire cet emprunt ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Assurance} \begin{center}\emph{Un formulaire est présent à la fin de cette partie.} \end{center} Afin d'assurer son appartement, le couple compare deux propositions: Proposition A : le montant de l'assurance est de $200$~euros la première année puis augmente de 10 euros par an, Proposition B : le montant de l'assurance est de $180$ euros la première année puis augmente de $6$\,\% par an. On note $a_n$ le montant de l'assurance avec la proposition A et $b_n$ celui avec la proposition B la $n$-ième année. Ainsi $a_1 = 200$ et $b_1 = 180$. \medskip \begin{enumerate} \item Étude de la proposition A. \begin{enumerate} \item Calculer $a_2$ puis $a_3$. \item Donner la nature de la suite $\left(a_n\right)$ en précisant sa raison. \item Donner, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Étude de la proposition B. \begin{enumerate} \item Calculer $b_2$ puis $b_3$. \item Donner la nature de la suite $\left(b_n\right)$ en précisant sa raison. \item Donner, pour tout entier naturel $n$ non nul, $b_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Quelle proposition est la plus avantageuse si le couple conserve son assurance pendant 10 ans ? Justifier la réponse. Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{Formulaire :}\\ Somme des termes d'une suite arithmétique : \[u_1 + u_2 + \ldots + + u_n = n \times \dfrac{u_1 + u_n}{2}.\] Somme des termes d'une suite géométrique où $q$ est la raison de la suite et $q \ne 1$ :\\ \[u_1 + u_2 + \ldots + + u_n = u_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}\]\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{Partie C : Location} \medskip Le couple envisage de louer son appartement dans quelques années. Il s'intéresse au montant mensuel des loyers dans sa région pour un appartement équivalent au sien. Ces montants sont donnés dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline Rang : $x_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Loyer mensuel (en euros) : $y_i$& 610 &612 &619 &628 &634 &640\\ \hline \end{tabularx} \end{center} où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2012 et $y_i$ le montant mensuel moyen du loyer (en euros) des appartements entre 2012 et 2017. \medskip \begin{enumerate} \item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ arrondi au millième et expliquer pourquoi ce résultat permet d'envisager un ajustement affine. \item Donner l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir au centième. \item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ par la droite d'équation $y = 6,4x + 608$. \begin{enumerate} \item Déterminer le montant du loyer mensuel que peut espérer ce couple en 2020. \item En quelle année le couple peut-il espérer louer son appartement plus de $700$~\euro{}? \emph{Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}