\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}% %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache % Merci à Benoit Blaszczyk pour le sujet \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - septembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{septembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[6pt]septembre 2020 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \bigskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \bigskip Partie A : \medskip Une entreprise, spécialisée dans la fabrication de parfums, souhaite créer deux parfums, l'un à la rose et l'autre au jasmin. Elle achète donc les deux variétés de fleurs à deux producteurs, A et B, pour ses créations. Le directeur passe la commande suivante: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize}[label=\textbullet] \item 65\,\% de la quantité nécessaire provient du producteur A ; \item parmi la quantité provenant du producteur A, 70\,\% sont des roses; \item parmi la quantité provenant du producteur B, il y a autant de roses que de jasmin. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On s'intéresse à une fleur au hasard. On considère les évènements suivants : \begin{description} \item[ ] $A$ : \og La fleur provient du producteur A \fg{} ; %\item[ ] $B$ : \og La fleur provient du producteur B \fg{} ; \item[ ] $R$ : \og La fleur est une rose \fg. \end{description} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur des probabilités $P(A)$, $P_A(R)$ et $P_{\overline{A}}(R)$. \item Réaliser un arbre de probabilités représentant la situation. \item Calculer la probabilité que la fleur provienne du producteur A et soit une rose. \item Le directeur a besoin d'au moins 60\,\% de roses pour ses créations. Sa commande peut-elle convenir? Justifier la réponse. \item Sachant que la fleur est une rose, quelle est la probabilité qu'elle provienne du producteur A ? Arrondir le résultat à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip Un employé prend au hasard $100$ flacons parmi les parfums à la rose ou au jasmin. Ce tirage est assimilé à un tirage avec remise car le nombre de flacons est très grand. On suppose que la probabilité que le flacon contienne du jasmin est de $0,37$. Soit $X$ la variable aléatoire qui, dans le lot de $100$ flacons, associe le nombre de flacons contenant du jasmin. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité d'obtenir dans le lot exactement $40$ flacons contenant du jasmin. Arrondir la probabilité à $0,001$ près. \item Déterminer la probabilité d'obtenir au moins $30$ flacons contenant du jasmin. Arrondir la probabilité à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C :} \medskip L'entreprise s'intéresse au remplissage de ses flacons de parfum. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque flacon prélevé dans la production, associe la quantité de parfum qu'il contient, exprimée en mL. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $50$ et d'écart-type $0,4$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le flacon contienne moins de $49$ mL de parfum. Arrondir la probabilité à $0,0001$ près. \item On estime qu'un flacon de parfum est conforme lorsque la quantité de parfum qu'il contient est comprise entre $49$ et $51$ mL. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le flacon soit non conforme Arrondir la probabilité à 0,000 1 près. \item L'entreprise a produit \np{120000} flacons. On estime que 1,2\,\% des flacons ne sont pas conformes. Estimer le nombre de flacons non conformes. \item Un flacon étant vendu $30$~\euro, estimer la perte de chiffre d'affaires pour l'entreprise. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 : \hfill 10 points} \medskip Dans ce problème, on s'intéresse au taux d'équipement des ménages en connexion internet. Le tableau suivant, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2010, donne le taux d'équipement en connexion internet $y_i$ (en pourcentage) des ménages pour chaque année entre 2011 et 2016. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline Rang $x_i$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Taux (en \,\%) d'équipement en connexion internet $y_i$&69,2 &73 &75,3&77,9 &79,7 &81,7\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\emph{Source: Insee}}\\ \end{tabularx} \end{center} \emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} de cet exercice sont indépendantes} \bigskip \textbf{Partie A : Premier modèle} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux global d'évolution du taux d'équipement en connexion internet des ménages entre 2011 et 2016, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\%. \item Calculer le taux moyen annuel d'évolution du taux d'équipement en connexion internet des ménages entre 2011 et 2016, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\%. \item En supposant que le taux d'équipement en connexion internet des ménages augmente annuellement de 3,4\,\% depuis 2016, quel devrait être ce taux d'équipement, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1\,\% , en 2020 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Deuxième modèle} \medskip On suppose que le taux d'équipement en connexion internet des ménages augmente chaque année de 2,5\,\% à partir de 2016 après avoir constaté cette augmentation entre 2015 et 2016. On note $u_n$ le taux d'équipement en connexion internet des ménages pour l'année $2016 + n$. Ainsi $u_0 = 81,7$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ arrondi à $0,1$ près. Interpréter ce résultat. \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier la réponse et préciser sa raison. \item Donner, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer le taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2020, arrondi à $0,1$ près. \item On considère l'algorithme ci-dessous. \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $N \gets 2016$\\ $U \gets 81,7$\\ Tant que $U < 92$\\ \qquad $N\gets N + 1$\\ \qquad $U \gets 1,025 \times U$\\ Fin tant que\\ \hline \end{tabular} \end{center} Quelle est la valeur de $N$ affichée à la sortie de cet algorithme ? Que représente cette valeur ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Troisième modèle} \medskip À partir des données du tableau fourni au début de l'énoncé : \medskip \begin{enumerate} \item Donner, sans justifier, le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. Arrondir à $0,001$ près. Expliquer pourquoi le résultat obtenu permet d'envisager un ajustement affine. \item Donner, sans justifier, l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $0,01$ près. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 2,4x + 67,6$. \begin{enumerate} \item À l'aide de ce modèle, calculer une estimation du taux d'équipement en connexion internet des ménages en 2020. \item Selon ce modèle, en quelle année, pour la première fois, le taux d'équipement en connexion internet des ménages dépassera-t-il 95\,\% ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D : Conclusion} \medskip Ces trois modèles peuvent-il convenir ? Justifier la réponse. \end{document}