\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength\headheight{14pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - 16 mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion}} \rfoot{\small{16 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt]16 mai 2022 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A : Internautes en France} \medskip L'évolution de la proportion d'internautes (utilisateurs d'Internet) en France est donnée par le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2015 &2016 &2017 &2018 &2019\\ \hline Rang de l'année: $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Proportion : $y_i$ (en pourcentage de la population) &78,0 &79,3 &80,5 &82,0 &83,3\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\small (\emph{source: Banque Mondiale})} \end{tabularx} \end{center} Par exemple, en 2015, $78,0$\,\% des Français ont utilisé Internet. \medskip \begin{enumerate} \item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$, arrondi à $0,001$ près. Expliquer pourquoi ce résultat permet d'envisager un ajustement affine. \item Donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y= ax + b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à 0,01 près. \item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ par la droite d'équation: $y = 1,3x + 78$. Utiliser ce modèle pour répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Estimer la proportion d'internautes en France en 2023. \item Estimer à partir de quelle année la proportion d'internautes dépassera 90\,\% en France. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Internautes dans le monde} \medskip L'évolution du nombre d'internautes dans le monde est donnée par le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2015 &2016 &2017 &2018 &2019\\ \hline Nombre d'internautes dans le monde (en millions) &\np{3170} &\np{3417} &\np{3650} &\np{3896} &\np{4390}\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\small (\emph{source: Statista} 2021)} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item En 2015, la population mondiale était estimée à environ \np{7400} millions de personnes. Calculer la proportion d'internautes dans le monde en 2015. Arrondir à $0,1$\,\% près. \item Justifier que, sur la période 2015 à 2019, le nombre d'internautes dans le monde a augmenté d'environ 38,5\,\%. \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'internautes dans le monde entre 2015 et 2019. Arrondir à 0,1\,\% près. \item La suite $\left(u_n\right)$ modélise le nombre de millions d'internautes dans le monde pour l'année $(2019 + n)$. On a ainsi: $u_0 = \np{4390}$. On estime, qu'à partir de l'année 2019, le nombre $u_n$ d'internautes dans le monde augmente chaque année de $8,5$\,\%. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ puis $u_2$. Arrondir à l'unité. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice. \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison. Justifier. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item D'après ce modèle, quel serait le nombre d'internautes dans le monde en 2023 ? Arrondir au million près. \item On estime que la population mondiale sera de $8$ milliards d'habitants en 2023. Calculer une estimation de la proportion d'internautes dans le monde en 2023. Arrondir à 1\,\% près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{EXERCICE \No 2 : \hfill 10 points} \medskip Les trois parties de cet exercice sont indépendantes \medskip \textbf{Partie A : Probabilités conditionnelles} \medskip Dans le stock d'un revendeur informatique, 30\,\% des ordinateurs sont des ordinateurs fixes, 45\,\% sont des ordinateurs portables et le reste sont des ordinateurs-tablettes. 38\,\% des ordinateurs fixes, 10\,\% des ordinateurs portables et 2\,\% des ordinateurs-tablettes sont du matériel reconditionné. On choisit au hasard un ordinateur dans le stock de ce revendeur. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis. On considère alors les évènements suivants: \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item $F$: l'ordinateur est un ordinateur fixe ; \item $B$: l'ordinateur est un ordinateur portable; \item $T$ : l'ordinateur est un ordinateur-tablette; \item $R$ : l'ordinateur est un ordinateur reconditionné ; $\overline{R}$ est l'évènement contraire de $R$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant: \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$F$~~}\taput{0,30}} {\TR{$R$}\taput{0,38} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$B$~~}\taput{\ldots}} {\TR{$R$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$T$~~}\tbput{\ldots}} {\TR{$R$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Calculer la probabilité que l'ordinateur soit un ordinateur fixe reconditionné. \item Montrer que $P(R) = 0,164$. \item L'ordinateur choisi n'est pas un ordinateur reconditionné. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un ordinateur-tablette ? Arrondir le résultat à $0,001$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Loi normale} \medskip Un client achète un ordinateur chez ce revendeur. La durée en jours entre la vente de cet ordinateur et sa première panne est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\np{1000}$ et d'écart-type $270$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $P(X \geqslant 730)$. Arrondir à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat. \item L'ordinateur est garanti un an. Que penser de cette garantie ? Justifier. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte}. Pour chacune des quatre courbes suivantes, indiquer en justifiant si elle peut être la courbe représentative de fonction densité de la variable aléatoire $X$. L'aire sous la courbe peut donner une indication. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &\\ %%%%%%%% courbe 1 \psset{xunit=0.004cm,yunit=0.8cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-200,-0.7)(1300,5.2) %\multido{\n=0+200}{7}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.0025)} %\multido{\n=0.0000+0.0005}{6}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(1300,\n)} \psgrid[unit=0.8cm, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgriddiv=1](0,0)(7,6) \multido{\n=0.0005+0.0005,\na=1+1}{5}{\uput[l](0,\na){\tiny \np{\n}}} \psaxes[linewidth=1.1pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=200,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1300,5) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](0,0)(250,0) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](250,0)(250,2.8) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](250,2.8)(1000,2.8) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1000,2.8)(1000,0) \psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](1000,0)(1300,0) \rput(1100,3.7){\scriptsize \blue Courbe 1} \end{pspicture*} & %%%%%%%% courbe 2 \scalebox{0.52}{ \psset{xunit=0.005cm, yunit=500cm,algebraic} \def\xmin{-300} \def\xmax{2300} \def\ymin{-0.001} \def\ymax{0.018} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \multido{\n=200+200}{11}{ \psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax) \uput[d](\n,0){\np{\n}} }%fin multido \multido{\n=0.002+0.002,\na=0.0002+0.0002}{8}{ \psline[linecolor=lightgray](0,\n)(\xmax,\n) \uput[l](0,\n){\np{\na}} }% fin multido \rput(2000,.015){\Large \blue Courbe 2} \uput[l](0,0){0} \uput[d](0,0){0} \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt,labels=none,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) %\psGauss[mue=1000,sigma=10]{0}{2000} \def\m{1000}% moyenne \def\s{270}% écart type \def\f{10/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f} \end{pspicture} }\\ &\\ \hline &\\ %%%%%%%% courbe 3 \scalebox{0.52}{ \psset{xunit=0.005cm, yunit=500cm,algebraic} \def\xmin{0} \def\xmax{2300} \def\ymin{-0.001} \def\ymax{0.018} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \multido{\n=200+200}{11}{ \psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax) \uput[d](\n,0){\np{\n}} }%fin multido \multido{\n=0.0025+0.0025,\na=0.05+0.05}{7}{ \psline[linecolor=lightgray](0,\n)(\xmax,\n) \uput[l](0,\n){\np{\na}} }% fin multido \rput(2000,.014){\Large \blue Courbe 3} \uput[l](0,0){0} \uput[d](0,0){0} \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt,labels=none]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) \def\m{1000}% moyenne \def\s{270}% écart type \def\f{10/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f} \end{pspicture} }& %%%%%%%% courbe 4 \scalebox{0.52}{ \psset{xunit=0.0015cm, yunit=500cm,algebraic} \def\xmin{-3500} \def\xmax{3750} \def\ymin{-0.0008} \def\ymax{0.018} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \multido{\n=-3000+1000}{7}{ \psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax) \uput[d](\n,0){\np{\n}} } \multido{\n=-2500+1000}{7}{ \psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,\ymax) %\uput[d](\n,0){\np{\n}} } \multido{\n=0.004+0.004,\na=0.0001+0.0001}{4}{ \psline[linecolor=lightgray](\xmin,\n)(\xmax,\n) \uput[l](0,\n){\np{\na}} }% fin multido \rput(3000,.015){\Large \blue Courbe 4} \uput[l](0,0){0} \uput[d](0,0){0} \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt,labels=none]{->}(0,0)(-3500,0)(3750,\ymax) \def\m{250}% moyenne \def\s{1000}% écart type \def\f{40/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f} \end{pspicture} }\\ &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{Partie C : Mathématiques financières} \medskip Pour l'achat de son futur ordinateur, le client contracte un prêt à la consommation de \np{1500}~\euro{} remboursable en 12 mensualités constantes au taux mensuel de 0,5\,\%. On rappelle que si $C$ désigne le capital emprunté, $t$ désigne le taux mensuel de l'emprunt et $n$ désigne le nombre de mensualités, alors le montant d'une mensualité constante $m$ est égal à : \[ m = C \times \dfrac{t}{1- (1 + t)^{-n}}\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que le montant de la mensualité constante $m$ correspondant à cette situation est d'environ $129,10$~\euro. \item On donne ci-dessous un extrait incomplet du tableau d'amortissement correspondant à cet emprunt. Donner sur votre copie la valeur des nombres contenus dans les trois cases grisées \textcircled{1}, \textcircled{2} et \textcircled{3}. Si des calculs sont nécessaires, les écrire sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois &Capital restant dû en début de mois&Intérêts dus& Amortissement du capital&Mensualité constante\\ \hline 1 & \np{1500,00}~\euro&\textcircled{1} &\textcircled{2}&129,10 ~\euro\\ \hline 2 &\textcircled{3} &\ldots &\ldots &129,10 ~\euro\\ \hline 3 &\np{1256,19}~\euro & & &129,10 ~\euro\\ \hline \ldots & \ldots &\ldots &\ldots &\ldots\\ \hline 12 &128,45~\euro &\ldots &\ldots &129,10~\euro\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle est la somme totale remboursée ? En déduire le coût de cet emprunt. \end{enumerate} \end{document}