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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{13 mai  2019}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\[5pt]13 mai 2019 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{{\large Exercice 1} \hfill 9 points}

%\bigskip

\begin{center}\emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes}\end{center}

La société \og RADIALTOP\fg{} fabrique des pneus de deux catégories, la catégorie \og pneu hiver\fg{} et la catégorie \og pneu 4 saisons \fg.

Pour améliorer la sécurité, le fabriquant effectue des tests de qualité:

\smallskip

Parmi les pneus hiver, 96\,\% ont réussi les tests de qualité. Parmi les pneus 4 saisons, 97\,\% ont réussi les tests de qualité.

Le site de vente en ligne de pneumatiques \og PNEUTOP\fg{} dispose de pneus venant de ce fabriquant. 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

Le responsable du site \og PNEUTOP\fg{} commande en début de mois $150$ pneus hiver afin de reconstituer son stock.

On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de $150$ pneus hiver chez le fabriquant associe le nombre de pneus hiver n'ayant pas réussi le test qualité.

Le stock de la société \og RADIALTOP\fg{} est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité pour que, dans le lot reçu par le responsable du site, il y ait exactement cinq pneus hiver n'ayant pas réussi le contrôle qualité. Arrondir le résultat au millième.
\item Calculer la probabilité pour que le lot reçu par le responsable du site contienne au moins dix pneus hiver n'ayant pas réussi le contrôle qualité. Arrondir le résultat au millième.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

Un client commande un pneu sur le site \og PNEUTOP\fg.

On dispose de l'information supplémentaire suivante sur le stock de pneus du site:

\begin{center}25\,\% des commandes concernent les pneus hiver.\end{center}

On rappelle que:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item parmi les pneus hiver, 96\,\% ont réussi les tests de qualité
\item parmi les pneus 4 saisons, 97\,\% ont réussi les tests de qualité.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $H$ l'évènement: \og Le pneu commandé par le client est un pneu hiver\fg{} ;
\item $Q$ l'évènement: \og Le pneu commandé par le client a réussi les tests de qualité \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur des probabilités $P(H)$, \:$P_H(Q)$.
		\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré de probabilité.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $H \cap Q$. 
		\item Interpréter ce résultat par une phrase.
	\end{enumerate}
\item Montrer que $P(Q) = \np{0,9675}$.
\item Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilité que ce pneu soit un pneu hiver? Arrondir le résultat au millième.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}

On admet que le nombre de pneus 4 saisons vendus par mois par le site \og PNEUTOP\fg{} peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 450$ et d'écart type $\sigma = 15$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(435 \leqslant Y \leqslant 465)$. Arrondir le résultat au centième. 
		\item Interpréter le résultat par une phrase.
	\end{enumerate}
\item Le responsable du site veut connaître le nombre $n$ de pneus 4 saisons qu'il doit avoir en stock en début de mois pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à $0,05$.

Déterminer la plus petite valeur de $n$ remplissant cette condition. 

Expliquer la démarche. Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

%\bigskip

\begin{center}\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}\end{center}

La feuille de calcul ci-dessous donne les prix du m$^2$ des appartements dans le 19\up{e} arrondissement de Paris du 1\up{er} trimestre 2016 au 1\up{er} trimestre 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-11}
\multicolumn{1}{c|}{~}&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J\\ \hline
1&&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2016&\footnotesize 2\up{e} trimestre 2016&\footnotesize 3\up{e} trimestre 2016&\footnotesize 4\up{e} trimestre 2016&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2017&\footnotesize 2\up{e} trimestre 2017&\footnotesize 3\up{e} trimestre 2017&\footnotesize 4\up{e} trimestre 2017&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2018\\ \hline
2& Rang $\left(x_i\right)$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
3& Prix moyen du m$^2$ en euros $\left(y_i\right)$&\np{6280}& \np{6480} &\np{6860} &\np{6720} &\np{6790} &\np{6940} &\np{7050} &\np{7360} &\np{7350} \\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{0.5}
\newcolumntype{Y}{>{\raggedleft \arraybackslash}X}
\begin{tabularx}{\linewidth}{Y}
\tiny Source : http://www.notaires.paris-idf.fr/outil /immobilier/prix-et-nombre-de-ventes-paris-idf \\
\tiny  Chiffres de la chambre des notaires de Paris. Prix standardisés au m$^2$.\\
\tiny Appartements anciens, vendus libres, de gré à gré, en pleine propriété, à usage d'habitation.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global du prix moyen du m$^2$ entre le 1\up{er} trimestre 2016 et le 1\up{er} trimestre 2018.
Arrondir à 0,01\,\%.
\item  Montrer que le taux moyen trimestriel d'évolution du prix du m$^2$ entre le 1\up{er} trimestre 2016 et le 1\up{er} trimestre 2018, arrondi à 0,01\,\%, est égal à 1,99\,\%.
\item  En supposant que le prix du m$^2$ augmente trimestriellement de 1,99\,\%, quel devrait être le prix du m$^2$ arrondi à l'unité au troisième trimestre 2019 ?
\end{enumerate}

\medskip
\newpage

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

Dans le tableau précédent, $x_i$ désigne le rang du trimestre mesuré à partir de l'année 2016 et $y_i$ le prix moyen du m$^2$ en euros correspondant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 

On arrondira les coefficients au dixième.
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 125x + \np{6243}$. On admet que ce modèle reste valable jusqu'en 2020.
	\begin{enumerate}
		\item À combien peut-on estimer le prix du m$^2$ au troisième trimestre 2019 ?
		\item À quel trimestre de quelle année, le prix du m$^2$ va-t-il dépasser \np{8272}~\euro{} ?

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

%\bigskip
 
\begin{center}Un formulaire est donné en fin d'exercice.\end{center}

Une entreprise fabrique des cafetières. Après avoir fait une étude, son directeur constate que si l'entreprise fabrique chaque mois $x$ milliers de cafetières (où $x$ est un nombre réel de l'intervalle [0 ; 5]), alors le bénéfice mensuel est donné, en centaine de milliers d'euros, par la fonction $f$ définie par:

\[f(x) = (8x - 2)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur [0~;~5] et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ de [0~;~5], $f'(x) = (- 8x + 10)\text{e}^{-x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de [0~;~5] et dresser le tableau de variation de $f$ sur [0~;~5].
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle quantité de cafetières l'entreprise doit-elle fabriquer afin de réaliser un bénéfice maximal?
		\item Quelle est alors la valeur de ce bénéfice maximal ?
		
On donnera une valeur approchée du résultat à l'euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Formulaire}

\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\fbox{\parbox{\linewidth}{
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle, alors la fonction $uv$ est dérivable sur cet intervalle, et on a

\[(uv)' = u'v +uv'.\]

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle, alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur cet intervalle, et on a

\[\left(\text{e}^u \right)' = u'\text{e}^u.\]
}}
%\hline
%\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}