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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{14 mai  2018}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt]14 mai  2018 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Étude d'une suite}\end{center}

Pour un particulier et sous certaines conditions, le prix d'un kilowatt-heure (kWh) était
de 0,140~\euro{} TTC au 1\up{er} janvier 2015. On prévoit une augmentation du prix du kWh de 6\,\% par an
jusqu'en 2050. 

On note $U_n$ le prix en euros du kWh à l'année $(2015 + n)$. On a donc $U_0 = 0,140$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $U_1$ et $U_2$. Arrondir les résultats au millième d'euro.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(U_n\right)$ ? Préciser sa raison.
\item On utilise la feuille de calcul ci-dessous pour observer l'évolution du prix du kWh.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C\\ \hline
1& Année& $n$& $U_n$\\ \hline
2& 2015 &0 &0,140\\ \hline
3& 2016 &1&\\ \hline
4& 2017 &2&\\ \hline
5& 2018 &3&\\ \hline
6& 2019 &4&\\ \hline
7& 2020 &5&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Donner une formule qui, saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas jusqu'en C7 permet de
calculer les valeurs de la suite $\left(U_n\right)$.
\item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le prix du kWh que l'on prévoit au 1\up{er} janvier 2024. Arrondir le résultat au millième
d'euro.
\item À partir de quelle année prévoit-on que le prix du kWh aura au moins doublé par rapport à celui
de l'année 2015 ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\smallskip

\begin{center}
\emph{Un formulaire est disponible en fin d'exercice}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [15~;~50] par

\[f(t) = \left(20t^2 - 60t - \np{1080}\right)\text{e}^{-0,1t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [15~;~50] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Calculer $f'(t)$ puis montrer que, pour tout $t$ de l'intervalle [15~;~50], on a 

\[f'(t) = (48 - 2t)(t + 1)\text{e}^{-0,1t}.\]
\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur [15; 50].
\item Établir le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [15~;~50]. 

Préciser le maximum, arrondi à l'unité, de $f$ sur cet intervalle.
\end{enumerate}

\bigskip

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie B - Application de la partie A}
\end{center}

Une société extrait du pétrole d'un gisement. Elle estime que la production annuelle de pétrole
extraite (mesurée en centaines de milliers de barils par an) à partir de 2015, pourra être modélisée
par la fonction $f$, étudiée à la partie A, en fonction du temps $t$ (en années) écoulé depuis l'année 2000.

Par exemple, $f(15)$ représente la production annuelle du gisement pour l'année 2015.

\medskip

\emph{Dans cette partie, on utilisera les résultats de la partie} A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer en quelle année la production annuelle de pétrole sera maximale. 

De combien sera cette production maximale ?
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|X|}\hline
Initialisation :& $n$ prend la valeur 15\\
				&\emph{total} prend la valeur $0$\\
				&\\
Traitement: 	&Tant que $n \leqslant m$ faire:\\
				&\quad \emph{total} prend la valeur \emph{total} $+ f(n)$\\
				&\quad $n$ prend la valeur $n + 1$\\
				&Fin Tant Que\\
				&\\	
Sortie: 		&Afficher \emph{total}\\ \hline
				\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Si la variable $m$ contient la valeur 18 avant l'exécution de cet algorithme, quelle valeur
numérique contient la variable \emph{total} à la fin de son exécution ?
		\item Que permet de calculer cet algorithme pour une valeur donnée de la variable $m$ ? Dans le
contexte de l'énoncé, que représente le résultat obtenu ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Formulaire}
\end{center}

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle, alors la fonction $uv$ est dérivable sur cet
intervalle, et on a

\[(uv)' = u'v + uv'.\]

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle, alors la fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur cet intervalle, et on a

\[\left(\text{e}^u\right)' = u'\text{e}^u.\]

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\bigskip

\begin{center}\emph{Les parties }A \emph{et} B \emph{sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles}
\end{center}

\medskip

Un fabricant de téléphones portables se fournit en microprocesseurs auprès de deux entreprises A
et B. 

L'entreprise A fournit 55\,\% des microprocesseurs, le reste étant fourni par l'entreprise B. 

Il s'avère que 1\,\% des microprocesseurs provenant de l'entreprise A et 1,5\,\% des microprocesseurs
provenant de l'entreprise B sont défectueux.

\medskip

On prélève au hasard un microprocesseur dans le stock du fabricant. Tous les microprocesseurs ont
la même probabilité d'être prélevés.

\medskip

On considère les évènements suivants :

$A$ : \og Le microprocesseur provient de l'entreprise A \fg

$D$ : \og Le microprocesseur est défectueux \fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(A)$, $P_A(D)$.
		\item Représenter la situation par un arbre de probabilités pondéré.
	\end{enumerate}
\item Calculer les probabilités $P(A \cap D)$ et $P\left(\overline{A} \cap D\right)$.
\item Justifier que la probabilité de prélever un microprocesseur défectueux est \np{0,01225}.
\item Calculer la probabilité que le microprocesseur provienne de l'entreprise B sachant qu'il est défectueux. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B - Loi normale}
\end{center}

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute journée prise au hasard, associe la demande en téléphones
portables faite au fabricant par ses clients, pour cette journée.

On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne \np{8000} et d'écart type $100$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(Y \leqslant \np{8150})$. Arrondir à $10^{-2}$.

Interpréter le résultat par une phrase.
\item Calculer la probabilité que la demande en téléphones portables, faite cette journée à ce fabricant,
soit comprise entre \np{7950} et \np{8050} téléphones. Arrondir à $10^{-2}$.
\item La valeur approchée à $10^{-2}$ donnée par la calculatrice pour 

$P(\np{7800} \leqslant Y \leqslant \np{8200})$ est $0,95$.

Comment aurait-on pu prévoir ce résultat sans calculatrice ?
\end{enumerate}
\end{document}