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% Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture François Hache
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt]14 mai 2024 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 10 points}


Une usine spécialisée dans la fabrication d'une pièce mécanique pour automobile utilise,
dans sa chaîne de production, trois machines qu'on notera $M_1, M_2$, et $M_3$. 

\medskip

\textbf{Partie A}

Une étude statistique a montré que .

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la machine $M_1$ produit 41\,\% des pièces dont 2,5\,\% sont défectueuses,
\item la machine $M_2$ produit 30\,\% des pièces dont 1,9\,\% sont défectueuses,
\item la machine $M_3$ produit le reste des pièces dont 1,5\,\% sont défectueuses
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard une pièce dans cette chaîne de production et on suppose que toutes
les pièces ont la même probabilité d'être choisies.

On note les évènements :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $M_1$ : \og La pièce choisie est produite par la machine $M_1$ \fg.
\item $M_2$ : \og La pièce choisie est produite par la machine $M_2$ \fg.
\item $M_3$ : \og La pièce choisie est produite par la machine $M_3$ \fg.
\item $D$ : \og La pièce choisie est défectueuse \fg.
\end{itemize}

.On notera $\overline{D}$ l'évènement contraire de l'évènement $D$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_{M_1}(D)$.
\item Compléter l'arbre de probabilités fourni en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $M_1 \cap D$.
		\item Calculer la valeur exacte de sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier, en détaillant les calculs, que $P(D) = \np{0,0203}$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item La pièce choisie au hasard est défectueuse, déterminer la probabilité qu'elle soit produite par la machine $M_3$.

Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose dans cette partie que $P(D) = 0,02$.

On prélève au hasard $600$ pièces. On suppose que le stock est assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à
chaque prélèvement associe le nombre de pièces défectueuses.

Les résultats seront arrondis à $0,001$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(X = 12)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og cinq pièces ou moins sont défectueuses \fg.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(X \geqslant 6)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre des pièces qui sont de format cylindrique.

On prélève au hasard une pièce dans le stock.

On suppose que la variable aléatoire $Y$ qui associe à chaque pièce son diamètre (en
centimètre), suit la loi normale de paramètres $\mu = 5$ et $\sigma = 0,04$.

Les résultats seront arrondis à 0,01 près.

\medskip


\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(4,92 \leqslant Y \leqslant 5,08)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le diamètre de cette pièce soit au minimum de 4,96 centimètres.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne le bénéfice (en milliers d'euros) réalisé par une entreprise spécialisée dans la vente à distance.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					& 2017	&2018	&2019	&2020	&2021	&2022\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	& 1 	&2 		&3 		&4 		&5		&6\\ \hline
Bénéfice en milliers 
d'euros : $y_i$			&9,9 	&11,3	& 12,5	& 13,4	&14,4	&15,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\emph{La calculatrice est nécessaire pour la plupart des calculs demandés.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ selon la méthode des moindres carrés.

Les coefficients de l'équation de la droite seront arrondis à $0,01$ près.
\item Dans cette question, on décide d'ajuster le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la droite d'équation : $y = 1,1x + 9$.

Selon ce modèle :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une estimation, en milliers d'euros, du bénéfice en 2025.
		\item Déterminer l'année à partir de laquelle le bénéfice dépassera \np{22000}~euros pour la première fois. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul qui donne l'évolution annuelle
d'une année par rapport à la précédente) du nombre de produits vendus entre 2017 et
2022.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.9cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A			&B		&C		&D		&E		&	F		&G\\ \hline
1	&Année		& 2017 	&2018	&2019 	&2020	&2021 		&2022\\ \hline
2	& Nombre de 
produits vendus	& 620 	&700	&810 	&928	&\np{1092}	&\np{1289}\\ \hline
3	&Évolution 
annuelle en \%	&\cellcolor{gray}	&12,9\,\%&15,7\,\%& 14,6\,\%&&18\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La plage des cellules C3 à G3 est au format pourcentage, arrondie à 0,1\,\% près.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, saisie dans la cellule C3, permet d'obtenir par recopie
vers la droite les taux annuels successifs de la ligne 3.
		\item Calculer la valeur de la cellule F3, arrondie à 0,1\,\% près.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution global entre 2017 et 2022, arrondi à 1\,\%.
		\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen entre 2017 et 2022, arrondi à 0,1\,\% 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On suppose dans cette partie, qu'à partir de l'année 2022, le nombre de produits vendus augmente chaque année de 16\,\%.

On décide de modéliser ce nombre par une suite $
\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le nombre de produits vendus l'année $(2022 + n)$ .

Ainsi $u_0 = \np{1289}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur arrondie à l'unité de $u_1$, et $u_2$.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. 
\item Donner le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

L'entreprise prévoit d'investir dans une nouvelle plateforme numérique de vente à distance dès que le nombre de produits vendus dépassera \np{3000}.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter les différentes lignes non renseignées dans l'algorithme en \textbf{annexe}  pour qu'après exécution, la variable $N$ contienne l'année à partir de laquelle, le nombre de produits  vendus dépassera pour la première fois \np{3000} produits 
selon ce modèle,
		\item Déterminer l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le nombre de produits
vendus dépassera pour la première fois  \np{3000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\Large Annexe à remettre avec la copie}\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 1 : Partie A}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M_1$}\taput{\ldots}}
	{
	\TR{$D$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M_2$}\taput{\ldots}}
	{
	\TR{$D$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M_3$}\tbput{\ldots}}
	{
	\TR{$D$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}
	}	
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 2 : Partie C}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$N \gets 0$\\
$U \gets \ldots\ldots$\\
Tant que \ldots\ldots\ldots\\
\qquad $N \gets \ldots$\\
\qquad $U \gets \ldots * U$\\
Fin Tant que\\
$N \gets 2022 +N$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}