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%Tapuscrit : J. C. Lazure
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimiste}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{mai 2016}}
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\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Chimiste
session 2016}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

L'entreprise Aubonne fabrique en grande série des fioles de volume théorique $12$~mL
destinées à être utilisées dans un laboratoire.

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\textbf{Dans cette partie, les résultats seront donnés arrondis à } \boldmath $10^{-2}$\unboldmath

\medskip

Sur l'ensemble de la production, on prélève de façon aléatoire $500$ fioles (prélèvement non
exhaustif) dont les volumes en mL se répartissent dans les $10$ classes du tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Classes en mL	&[11,5~;~11,6[ &[11,6~;~11,7[ &[11,7~;~11,8[ &[11,8~;~11,9[ &[11,9~;~12,0[\\ \hline 
Effectifs 		&11 	&27 	&53 	&85 &104\\ \hline \hline
Classes en mL	&\small[12,0~;~12,1[&\small [12,1~;~12,2[&\small[12,2~;~12,3[&\small [12,3~;~12, 4[ &\small[12,4~;~12,5[\\ \hline
Effectifs 		&97 	&60		&30 	&18 &15\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de la moyenne $m$ et de l'écart-type $s$ de cette série.

On pourra prendre pour représentant de chaque classe son milieu, par exemple $11,55$ pour
la classe [11,5~;~11,6[.
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui à toute fiole associe son volume en mL.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $12$ et d'écart-type $0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P(X \leqslant 11,8)$.
		\item Justifier, éventuellement à l'aide d'un graphique, que pour tout $h$ réel positif,
$P(12 - h \leqslant X \leqslant 12 + h) = 1 - 2P(X \leqslant 12 - h)$.
		
Donner alors la probabilité $P(11,8 \leqslant X \leqslant 12,2)$ à partir de celle calculée à la question précédente.
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre $h$ tel que $P(12 - h \leqslant X \leqslant 12 + h) = 0,85$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Un processus de contrôle de la conformité des fioles a été mis au point par l'entreprise.

On s'intéresse dans cette partie aux risques d'erreurs de ce contrôle et on suppose que la
proportion $p$ de fioles conformes est égale à $0,85$.

On prélève une fiole au hasard dans l'ensemble de la production.

On note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $C$ l'évènement \og la fiole prélevée est conforme\fg{} ; on a donc $P(C) = 0,85$.
\item[ ] $A$ l'évènement \og la fiole prélevée est acceptée par le contrôle \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

Une étude préliminaire a permis d'estimer les risques d'erreurs de ce contrôle :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item la probabilité de refuser une fiole sachant qu'elle est conforme est $0,05$.

On a donc $P_C\left(\overline{A}\right) = 0,05$.
\item la probabilité d'accepter une fiole sachant qu'elle n'est pas conforme est $0,1$ :

On a donc $P_{\overline{C}}(A) = 0,1$.
\end{itemize}

\emph{Pour les questions suivantes, on pourra faire un arbre de probabilités.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'une fiole soit acceptée sachant qu'elle est conforme.
\item Déterminer la probabilité qu'une fiole soit acceptée par le contrôle.
\item Déterminer la probabilité qu'une fiole ne soit pas conforme sachant qu'elle a été acceptée
par le contrôle. (Arrondir le résultat au millième).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

À l'occasion d'une commande, un laboratoire reçoit des fioles de l'entreprise, laquelle lui
assure que les fioles ont bien une contenance de $12$~mL. Il envisage d'effectuer un test de
conformité de la commande reçue, avec la valeur $\mu = 12$ annoncée par l'entreprise. Pour réaliser ce test d'hypothèse bilatéral, il effectuera un prélèvement aléatoire, assimilé à un prélèvement avec remise de $100$ fioles prises dans le lot reçu.

Soit $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à un tel prélèvement, associe le volume moyen des $100$
fioles.

\textbf{Construction du test}

À l'hypothèse nulle $H_0 : \mu = 12$, on oppose l'hypothèse alternative $H_1 : \mu \ne  12$.

Sous l'hypothèse nulle $H_0$, on admet que $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne $12$ et
d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} = 0,02$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En se plaçant sous l'hypothèse $H_0$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ du réel $h$ tel que la probabilité $P\left(\mu - h \leqslant  \overline{X} \leqslant \mu + h\right)$ soit égale à $0,95$.
\item En déduire l'intervalle d'acceptation de l'hypothèse $H_0$ au seuil de risque de 5\,\%.

Énoncer alors la règle de décision du test.
\item Le laboratoire, après avoir prélevé $100$ fioles, constate un volume moyen de $11,79$~mL sur cet échantillon.

Appliquer le test à l'échantillon puis conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\textbf{(Les résultats seront écrits sur la feuille de réponses donnée en annexe)}

\medskip

L'entreprise souhaite évaluer le rendement $Y$, nombre de fioles produites par la machine
par minute, en fonction de deux paramètres : $T$ (température de travail du verre donnée en
degré Celsius) et $P$ (pression de soufflage du verre donnée en bar).

Les niveaux extrêmes pris en compte sont:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$T$ (température de travail du verre) : \np{1050} \degres C à \np{1200} \degres C
\item[ ]$P$ ( pression de soufflage du verre) : $20$ bars à $30$ bars
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

$X_1$ est le facteur représentant la température de travail du verre et $X_2$ celui représentant la pression de soufflage du verre.

On a : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$X_1 = - 1$ pour $T = \np{1050}$ \degres C et $X_1 = 1$ pour $T= \np{1200}$ \degres C
\item[ ]$X_2 = - 1$ pour $P = 20$ bars et $X_2 = 1$ pour $P = 30$ bars.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

Le plan complet est formé de 4 combinaisons possibles, les résultats sont consignés dans le
tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Expérience 	&$X_1$	& $X_2$	& $Y$ \small(nombre de fioles produites par minute)\\ \hline
\No1 		&$-1$	& $-1$	& 75\\ \hline
\No2 		&1		& $-1$	& 85\\ \hline
\No3 		&$-1$ 	&1		& 80\\ \hline
\No4 		&1		& 1		& 70\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère que l'expression du modèle est de la forme:

\[Y = a_0 +a_1X_1 + a_2X_2 + a_{12}X_1X_2 + \epsilon \quad \text{où }\epsilon \text{ est l'erreur commise}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter la matrice des expériences et des effets construite selon l'algorithme de
Yates, ci-jointe en Annexe 1; calculer une estimation ponctuelle de chacun des
coefficients du modèle.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression du modèle $Y=a_0 +a_1X_1+a_2 X_2+a_{12}X_1X_2+ \epsilon$.
		\item À l'aide de ce modèle, quel rendement peut-on prévoir pour une température de
\np{1100} \degres C et une pression de $27$ bars? On donnera le résultat arrondi à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La loi de refroidissement de Newton s'énonce ainsi : \og la vitesse de refroidissement d'un corps
chaud inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu
ambiant. \fg

On appelle $T_0$ la température (en \degres C) du milieu ambiant, $f(t)$ la température (en \degres C) d'un produit chimique à l'instant $t$ (en min).

D'après la loi énoncée, $f$ est solution de l'équation différentielle:

\[(E) :\quad  y' = \alpha \left(y - T_0\right)\]

où $y$ est une fonction de variable $t$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, $y'$ sa fonction dérivée et $\alpha$ un coefficient de proportionnalité (avec $\alpha  \ne 0$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~+\infty[$ l'équation différentielle $\left(E_0\right) :\quad  y'- \alpha y = 0$.
\item Déterminer un réel $c$ tel que la fonction $h$ constante définie sur $[0~;~+\infty[$ par $h(f)=c$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire la solution générale de $(E)$.
\item Dans une pièce où la température est $T_0 = 20$ \degres C, une personne verse dans un récipient un produit chimique dont la température initiale est $80$ \degres C.

Montrer que la température du produit à l'instant $t$ vérifie : $f(t) = 60\text{e}^{\alpha t} + 20$, où $\alpha$  est le coefficient de proportionnalité défini précédemment.
\item Sachant que 2 minutes plus tard, le produit est à $60$ \degres C.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul algébrique la valeur exacte de $\alpha$.
		\item Vérifier que $\alpha \approx - 0,2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = 60\text{e}^{-0,2t} +20.\]

La représentation graphique $C_f$ de $f$ dans un repère orthogonal est donnée en annexe 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Interpréter l'ordonnée du point de $C_f$ d'abscisse $0$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item Interpréter ce résultat : à quoi correspond-il dans le contexte de la partie A ?
 	\end{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction définie par $g(t) = \dfrac{1}{5}\displaystyle\int_{t - 5}^t  f(x)\:\text{d}x$ où $t \geqslant 5$.

$g$ désigne la température mesurée par un appareil plongé dans le corps.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(t)$.En donner une interprétation.
		\item Compléter le tableau de valeurs $\left(\text{on arrondira à } 10^{-1}\right)$ fourni en \textbf{Annexe 2} puis tracer la courbe de $g$ sur le graphique donné dans cette même annexe.
		
Quelle remarque peut-on faire ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{Annexe 1 :\\
À rendre avec la copie}}

\medskip

\textbf{Exercice 1 - Partie D Feuille des réponses à joindre à la copie}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Matrice des effets :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Expérience 	&Moyenne&$X_1$	& $X_2$	&$X_1X_2$ 	&$Y$ \tiny(nombre de fioles produites par minute)\\ \hline
\No 1 		&		&$- 1$	&$- 1$	& 			&75\\ \hline
\No 2 		&		&1		&$- 1$	& 			&85\\ \hline
\No 3 		&		&$- 1$ 	&1		& 			&80\\ \hline
\No 4 		&		&1		&1		& 			&70\\ \hline
Effets 		&$a_0$ 	&$a_1$ 	&$a_2$ 	&$a_{12}$	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Calcul des estimations ponctuelles des coefficients du modèle:

On précisera le calcul effectué pour $a_0$.

$a_0 \approx  \ldots\ldots\ldots$.
\smallskip

$a_1 \approx  \ldots\ldots\ldots$.
\smallskip

$a_2 \approx  \ldots\ldots\ldots$.
\smallskip

$a_{12} \approx  \ldots\ldots\ldots$.
\smallskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item Expression du modèle:
		
$Y \approx \dotfill$.
		\item \begin{tabular}{l}
		Pour $T = \np{1100}$ \degres C, le niveau est \ldots\ldots.\\
		Pour $P = 27$ bars, le niveau est \ldots\ldots.
		\end{tabular}
		
Donc le rendement prévu pour une température de \np{1100} \degres C et une pression de $27$ bars est :
		
$Y \approx \dotfill$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 :\\
À rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2 :}
\end{flushleft}

\textbf{Représentation graphique \boldmath $C_f$ \unboldmath\:  de }\boldmath $f$\unboldmath
\medskip

\psset{unit=0.06667cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(170,88)
\multido{\n=0+5}{35}{\psline[linestyle=dotted,dash=3pt 2pt,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,88)}
\multido{\n=0+5}{18}{\psline[linestyle=dotted,dash=3pt 2pt,linewidth=0.5pt](0,\n)(170,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(170,88)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{170}{60 2.71828 0.2 x mul exp div 20 add}
\uput[u](168,0){$t$} \uput[l](0,87){$y$}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Tableau de valeurs à remplir}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&5	&10	&15	&20	&25	&50	&100&150\\ \hline
$g(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}


\end{document}