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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Chimiste}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Chimiste~\decofourright\\ session 2000}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 13 points}

\medskip

On se propose d'étudier le système de réactions successives suivant:  A $\to $ B $\to $ C.

On appelle $x(t),\: y(t)$ et $z(t)$ les concentrations respectives des produits A, B et C à l'instant 
$t$ exprimé en minute.

À l'instant $t = 0$, on a les concentrations initiales: $x(0) = a,\: y(0) = 0$ et $z(0) = 0$.

Les lois de la cinétique chimique montrent que $x,\: y$ et $z$ sont solutions sur $[0~;~+ \infty[$ du
système (S) :

\[\left\{\begin{array}{l c l r}
\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}&=&- k_1x& (1)\\
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}&=&k_1x - k_2y& (2)\\
\dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}&=& k_2y &(3)
\end{array}\right.\]

où $k_1$ et $k2$ sont deux nombres réels distincts.

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (1).

Déterminer la solution de (1) qui vérifie la condition $x(0) = a$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les solutions $y$ du système (S) vérifient l'équation différentielle
		
\[(4) :\qquad  y' + k_2 y = a k_1 \text{e}^{-k_1 t}.\]
		
		\item Résoudre l'équation différentielle (4). 
		
Déterminer la solution de (4) qui vérifie la
condition $y(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $t \geqslant 0$, on a : $x'(t) + y'(t) + z'(t) = 0$.
		\item En déduire à l'aide des conditions initiales, la solution $z$ du système (S).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On a réalisé une expérience du type A $\to $ B $\to $ C, à une température fixe et on a obtenu les
résultats suivants sur les concentrations du produit A :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ (en min) 					&0	&0,5	&1 		&2 		&4,5 	&6 		&7\\ \hline
$x_i = x\left(t_i\right)$
 (en mol$\cdot \text{L}^{-1}$)	&2 	&1,213 	&0,736 	&0,271 	&0,022 	&0,005 &0,002\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On pose : $X = \ln x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant des résultats arrondis à $10^{-2}$ près :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ (en min) 	&0	&0,5	&1 		&2 		&4,5 	&6 	&7\\ \hline
$X_i = \ln x_i$	& 	& 		& 		& 		& 		& 	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près du coefficient de corrélation de la série
statistique $\left(t_i~;~X_i\right)$.
		
Un ajustement affine de $X$ en $t$ par la méthode des moindres carrés est-il justifié ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la forme $X = \alpha t + \beta$ de la droite de régression de $X$ en $t$ par la méthode des moindres carrés.
		
On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près des coefficients $\alpha$ et $\beta$.
		\item Sachant que l'étude théorique montre que pour tout $t \in [0~;~+ \infty[$, on a $x(t) = a \text{e}^{- k_1 t}$  et que $x(0) = 2$, déterminer une valeur approchée de $k_1$ à $10^{-2}$ près.
		
On admet pour la suite que : $a = 2 \:;\: k_1 = 1 \:;\: k_2 = 0,5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

On considère les fonctions $x,\: y$ et $z$ définies sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[x(t) = 2\text{e}^{-t}\qquad  y(t) = 4\left(\text{e}^{-O,5t} - \text{e}^{- t}\right) \qquad z(t) = 2\left(1 - 2\text{e}^{- 0,5t} + \text{e}^{- t} \right).\]

On appelle $\mathcal{C}_1,\: \mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthogonal \Oij.

(Les unités graphiques sont : 2 cm pour l'unité en abscisse et 5 cm pour l'unité en ordonnée).

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_1$ est tracée sur la feuille donnée en annexe.

En déduire le tableau de variation de la fonction $x$.
\item Étudier les variations de la fonction $y$.

On appelle $t_M$ la valeur de $t$ pour laquelle $y$ admet un maximum $y_M$. Déterminer les valeurs
exactes de $t_M$ et de $y_M$.

Dresser le tableau de variation de $y$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\mathcal{C}_3$ admet une asymptote $\Delta$.
		\item Étudier les variations de $z$ et dresser son tableau de variation.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\Delta$ et les courbes $\mathcal{C}_1,\: \mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ dans le repère \Oij.
\item On appelle $\tau$ l'instant où les concentrations des produits A et B sont égales.
	
Déterminer par lecture graphique une valeur approchée de $\tau$ exprimé en minute.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

Dans la fabrication de comprimés effervescents , il est prévu que chaque comprimé doit
contenir \np{1625} mg de bicarbonate de sodium. Afin de contrôler la fabrication de ces
médicaments, on a prélevé un échantillon de $150$ comprimés et on a mesuré la quantité de
bicarbonate de sodium pour chacun d'eux. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau
suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Classes &[\np{1610}~;~\np{1615}[&[\np{1615}~;~\np{1620}[& [\np{1620}~;~\np{1625}[&[\np{1625}~;~\np{1630}[&[\np{1630}~;~\np{1635}[\\ \hline
Effectifs& 7 &8 &42 &75 &18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En convenant que les valeurs mesurées sont regroupées au centre de chaque classe,
calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la moyenne $m$ et de l'écart type $s$ de cet
échantillon.
\item À partir des résultats obtenus pour cet échantillon, assimilé à un échantillon non exhaustif,
donner les estimations ponctuelles $\hat{M}$ et $\hat{\sigma}$ de la moyenne $M$ et de l'écart type $\sigma$ de la quantité de bicarbonate de sodium dans la population (formée de l'ensemble de tous les
comprimés fabriqués et supposée très grande).

Dans la question suivante on prendra pour valeur de $\sigma$ son estimation $\hat{\sigma}$.
\item On appelle $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille $n = 150$ associe la
quantité moyenne de bicarbonate de sodium de cet échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item $\overline{X}$ peut-elle être approchée par une loi classique ? Si oui, laquelle ? Donner
ses paramètres.
		\item Déterminer un intervalle de confiance de la quantité moyenne de bicarbonate de sodium
dans la population avec le coefficient de confiance 95\,\%.
		
Calculer l'amplitude de cet intervalle et interpréter le résultat.
		\item Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon prélevé pour connaître avec le
coefficient de confiance 95\,\% la quantité moyenne de bicarbonate de sodium dans la
population à 1~mg près ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
{\Large \textbf{Annexe}}
\bigskip

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\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(10,3)
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\uput[u](0.2,1.75){\blue $\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}