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%Merci à Jacques Nguyen   de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{9 novembre 2015}}
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\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur 9 novembre 2015~\decofourright\\ groupement A Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Lors de l'étude des signaux, on rencontre des signaux de type créneau qui sont modélisés par des fonctions en escalier.}

\smallskip

Soit la fonction $f$ paire et périodique de période $2\pi$ définie de la façon suivante :

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\{\begin{array}{l c l l l}
f(t) &= &2\pi &\text{lorsque}&0 \leqslant t < \dfrac{\pi}{4}\\
f(t) &= &3\pi&\text{lorsque}&\dfrac{\pi}{4} \leqslant t < \dfrac{3\pi}{4}\\
f(t) &=& 0&\text{lorsque}&\dfrac{3\pi}{4}\leqslant t < \pi
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\textbf{Partie A. Étude de la fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer une représentation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- \pi~;~3\pi]$ dans le repère figurant dans \textbf{le document réponse 1}.
\item Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi}f(t)\:\text{d}t$.
\item En déduire la valeur moyenne $\mu(f)$ de $f$ sur une période.

On rappelle que : $\mu(f) = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\:\text{d}t$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Série de Fourier associée à la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On rappelle que la série de Fourier associée à une fonction T-périodique continue par morceaux sur $\R$ est 

\[s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\left(a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin(n \omega t\right),\quad \text{avec}\: \omega = \dfrac{2\pi}{\text{T}}.\]

$a_0$ est la valeur moyenne de la fonction sur une période.

La fonction $f$ étant paire, les coefficients $b_n$ sont nuls et pour les entiers non nuls $n$ les coefficients $a_n$ vérifient : $a_n = \dfrac{4}{\text{T}}\displaystyle\int_{0}^{\text{T}/2} f(t)\cos (n \omega t)\:\text{d}t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour les entiers $n$ non nuls : $a_n = \dfrac{2}{n}\left[3\sin \left(\dfrac{3n\pi}{4}\right) - \sin \left(\dfrac{n\pi}{4}\right)\right]$.
\item Exprimer simplement $a_1$ et $a_2$ puis compléter le \textbf{tableau du document réponse 1}.
\item On appelle somme partielle d'ordre $n$ de la série de Fourier de la fonction $f$, la fonction $s_n$ telle que : $s_n(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{k = 1}^n\left(a_k \cos(k \omega t) + b_k \sin (k \omega t)\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la somme partielle d'ordre 7 de la série de Fourier de la fonction $f$.
		\item Les sommes partielles d'ordres 2 et 11 de la série de Fourier de $f$ ont été représentées sur le graphique donné dans le document réponse 1, l'une en pointillés, l'autre en trait plein.
		
Qu'observe-t-on si on compare ces représentations à celle de la fonction $f$ obtenue à la question \textbf{A. 1.} ?
		
Indiquer à quelle somme partielle correspond chaque courbe du graphique donné.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Puissance moyenne du signal sur l'intervalle } \boldmath $[0~;~2\pi]$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} (f(t))^2\:\text{d}t = \dfrac{11}{2}\pi^2$.
\item On pose : $p(n) = a_0^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(a_k^2 + b_k^2\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(9)$. Arrondir la réponse au millième.
		\item Montrer que si on prend $p(9)$ comme valeur approchée de $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} (f(t))^2\:\text{d}t $ on commet une
erreur inférieure à 3\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

On étudie un système chargé de réguler la variation de pression à l'intérieur d'un caisson.

On choisit une échelle dans laquelle la valeur initiale de la pression est prise en origine et la valeur à atteindre vaut 1.

On rappelle que la fonction échelon unité, notée $U$, est définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
U(t) &=& 0 \:\text{~~lorsque }\:t < 0\\
U(t) &=& 1 \:\text{~~lorsque } t \geqslant 0.
\end{array}\right.\]

On donne un extrait de formulaire pour la transformation de Laplace :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\textbf{Fonction causale} 	&\textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline
$t \longmapsto  U(t - \alpha)$, avec $\alpha$ constante réelle& $p \longmapsto \dfrac{1}{p}\text{e}^{- \alpha p}$\\ \hline
$t\longmapsto  \text{e}^{-at} \sin(\omega t)U(t),$ avec $\omega$ constante réelle& $p\longmapsto \dfrac{\omega}{(p+a)^2 + \omega^2}$\\ \hline
$t \longmapsto \text{e}^{-at} \cos(\omega t)U(t),$ avec $\omega$ constante réelle&$p\longmapsto \dfrac{p + a}{(p+a)^2 + \omega^2}$\\ \hline
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{~} \\ \hline
$t \longmapsto f(t)U(t)$& $p \longmapsto F(p)$\\ \hline
$t \longmapsto f(t-\alpha)U(t - \alpha)$, avec $\alpha$ constante réelle& $p \longmapsto F(p)\text{e}^{-\alpha p}$\\ \hline
$t \longmapsto  f'(t)U(t)$& $p \longmapsto  pF(p) - f\left(0^{+}\right)$\\ \hline
$t  \longmapsto f''(t)U(t)$& $p \longmapsto  p^2F(p) -  pf\left(0^{+}\right) - f'\left(0^{+}\right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A : Première commande}

À l'instant $t = 0$, on commande le passage de la pression initiale ($0$ dans l'échelle choisie) à la pression souhaitée ($1$ dans l'échelle choisie).

La pression à l'instant $t$ à l'intérieur du caisson (dans l' échelle choisie) est modélisée par une fonction $s$ qui vérifie : 

\[\dfrac{1}{101}s''(t) + \dfrac{2}{101}s'(t) + s(t) = U(t)\qquad (1)\]

La pression initiale valant 0 dans l'échelle choisie, on a : $s(0) = 0$.

On admet de plus que : $s'(0) = 0$.

On note $S$ la transformée de Laplace de la fonction $s$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'égalité (1) ci-dessus, montrer que : $S (p) =  \dfrac{101}{p\left(p^2 +2p+101\right)}$.
		\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{0,5cm}|X|}\hline
1&ElémentsSimples$\left[101/\left(p \left(p^2 + 2p + 101\right)\right)\right]$

$\to \dfrac{1}{p} + \dfrac{- p - 2}{p^2 + 2p + 101}$\\ \hline
2&FormeCanonique$\left[p^2 + 2p + 101\right]$

$\to (p + 1)^2 + 100$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En déduire que : $S(p) = \dfrac{1}{p}  - \dfrac{p + 1}{(p + 1)^2 + 10^2} - \dfrac{1}{(p+1)^2 + 10^2}$.
		\item Montrer que pour tout réel positif ou nul $t$ : 
		
$s(t) = 1 - \left[\cos (10t) + \dfrac{1}{10}\sin (10t)\right]\text{e}^{-t}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel positif ou nul $t$ : $s'(t) = \dfrac{101}{10}\sin (10t)\text{e}^{-t}$.
\item On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : $f(t) = \sin (10t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est périodique de période $\dfrac{2\pi}{10}$.
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,2.6)
\psframe(8.5,2.6)\psline(0,1)(8.5,1)\psline(0,2)(8.5,2)
\psline(4,0)(4,2.)\psline(6,0)(6,2.)
\uput[u](2,1.9){$t$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](6,1.9){$\frac{\pi}{10}$} \uput[u](8,1.9){$\frac{2\pi}{10}$} 
\rput(2,1.5){Signe de $f(t) = \sin (10t)$}
\rput(2,0.5){Sens de variation de $s$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Les maximums relatifs successifs de la courbe représentant la fonction $s$ ont pour
coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{10} + \dfrac{k\pi}{5}~;~1 + \text{e}^{- \left(\frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5}\right)}\right)$, avec $k$ entier naturel.

On pose pour tout entier naturel $k$ :\: $m_k = 1 + \text{e}^{- \left(\frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5}\right)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné dans le document réponse 2.
		\item On considère que l'équilibre du système est atteint dès qu'un maximum de la courbe représentant la fonction $s$ a une ordonnée $m_k$ inférieure ou égale à $1,02$.
		
Sachant que l'unité de temps est la seconde, combien de temps faut-il pour que l'équilibre soit atteint ? Arrondir au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	
\textbf{Partie B : Modification de la commande}
	
	\medskip
	
On souhaite réduire l'amplitude des variations de la pression à l'intérieur du caisson pendant le passage de la valeur initiale à la valeur souhaitée et atteindre plus rapidement l'équilibre du système. Pour cela, on commande l' augmentation de pression à l'intérieur du caisson en deux temps.
	
À l'instant $t = 0$, on demande le passage de $0$ à $0,5$ (dans l'échelle choisie) puis, à l'instant $t = \dfrac{\pi}{10}$, on demande le passage de $0,5$ à $1$.

La pression à l'instant $t$ à l'intérieur du caisson (dans l'échelle choisie) est alors modélisée par une fonction $r$ qui, sauf en $\dfrac{\pi}{10}$, vérifie : 
	
\[\dfrac{1}{101}r"(t) + \dfrac{2}{101} r'(t) + r(t) = \dfrac{1}{2}U(t) + \dfrac{1}{2}U\left(t - \dfrac{\pi}{10}\right). \qquad (2)\]

De plus $r(0) = 0$ et on admet que $r'(0) = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $R$ la transformée de Laplace de la fonction $r$. Montrer que :

\[R(p) = \dfrac{1}{2}\dfrac{ 101}{p\left(p^2 + 2p + 101\right)}\left(1 + \text{e}^{- \frac{\pi}{10}p} \right).\]

\item En déduire que: $r(t) = \dfrac{1}{2}s(t)U(t) + \dfrac{1}{2}s\left(t - \dfrac{\pi}{10}\right)U\left(t - \dfrac{\pi}{10}\right)$.
\item On admet que la courbe de la fonction $r$ présente des maximums relatifs successifs
d'abscisses $\dfrac{\pi}{5} + \dfrac{k\pi}{5}$ et d'ordonnées $n_k = 1 + \dfrac{1 - \text{e}^{- \frac{\Pi}{10}}}{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{10} - \frac{k\pi}{5}}$, avec $k$ entier naturel non nul.

On donne dans le \textbf{document réponse 2} les premières valeurs de $n_k$.
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $s$ étudiée dans la \textbf{Partie A} et la fonction $r$ sont représentées sur le graphique du document réponse 2.
		
Indiquer sur le graphique la fonction représentée par chaque courbe.
		\item La commande en deux temps étudiée dans la \textbf{Partie B} répond-elle aux objectifs que l'on s'était fixés ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A question 1}
\end{flushleft}

\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-5,-4.2)(13,4.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-5,-4.2)(13,4.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\uput[d](-4,0){$-\pi$}\uput[d](4,0){$\pi$}
\uput[d](8,0){$2\pi$}\uput[d](12,0){$3\pi$}
\uput[l](0,4){$4\pi$}\uput[l](0,-4){$-4\pi$}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B question 2}
\end{flushleft}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
$n$ &0							&1 	&2 	&3 			&4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
valeur exacte de $a_n$& $2\pi$	&	&	&$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$&0&$- \dfrac{2\sqrt{2}}{5}$&$\dfrac{4}{3}$&$- \dfrac{2\sqrt{2}}{7}$&0&$\dfrac{2\sqrt{2}}{9}$\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B question 3}
\end{flushleft}

\medskip

\def\psPiQ{.785398163}

\psset{algebraic,plotpoints=4000,unit=0.875cm}
\psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=\psPiQ,linewidth=1.25pt}
\begin{pspicture}(-1.25,-4)(3.5,4)
%somme partielle d'ordre 2
\psplot[linestyle=dashed]
{-1.25}{3.25}{%
2+2/\psPi*Sum(%
i,%indice
1,%debut
1,%pas
2,%fin
(3*sin(3*i*\psPiQ)-sin(i*\psPiQ))*cos(i*x*\psPi)/i%fonction
)%
}%
%(2*\psPi+2*sqrt(2)*cos(x*\psPi)-4*cos(2*x*\psPi))/\psPi}%serie de Fourier developpee
\psaxes[
	xsubticks=4,%
	labels=none,%
	xticksize= -4 4,
	xsubticksize=1,
	subticklinestyle=solid,
	yticksize=-1.25 3.25,%taille 
	tickcolor=black,
	linecolor=black,%
	linewidth=1pt,
   ]{-}(0,0)(-1.3,-4.2)(3.25,4.2)

%somme partielle d'ordre 7
\psplot{-1.25}{3.25}{%
2+2/\psPi*Sum(%
i,%indice
1,%debut
1,%pas
11,%fin
(3*sin(3*i*\psPiQ)-sin(i*\psPiQ))*cos(i*x*\psPi)/i%fonction
)%
}%
%(2*\psPi+2*sqrt(2)*cos(x*\psPi)-4*cos(2*x*\psPi))/\psPi}%serie de Fourier developpee
\psaxes[
	xsubticks=4,%
		labels=none,%
	xticksize= -4 4,
	xsubticksize=1,
	subticklinestyle=solid,
	yticksize=-1.25 3.25,%taille 
	tickcolor=black,
	linecolor=black,%
	linewidth=1pt,
   ]{-}(0,0)(-1.3,-4.2)(3.25,4.2)

%origine
\rput(-.1,-.3){$0$}

%graduations en abscisses   
\rput(-.97,-.4){$-\pi$}
\rput(.97,-.4){$\pi$}
\rput(1.97,-.4){$2\pi$}
\rput(2.97,-.4){$3\pi$}

%graduation en ordonnees
\rput(-.1,-4.2){$-4\pi$}
\rput(-.1,4.1){$4\pi$}
 \end{pspicture}
%\end{minipage}
%\hfill
%}
\end{center}
\newpage

\begin{center}

\textbf{Document réponse 2 à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A question 4. a.}
\end{flushleft}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$									&0	& 1 &2 		&3 	&4 	&5	& 6 &7\\ \hline
valeur arrondie au millième de $m_k$&	&	&1,208	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B question 3.}
\end{flushleft}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
valeur arrondie au millième de $n_k$&1,053 &1,028 &1,015 &1,008 &1,004 &1,002 &1,001\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=2.2cm,yunit=4.4cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(5,2)
\multido{\n=0.000000+.314159}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,-0.2)(\n,2)}
\multido{\n=0.0+.5}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20]{->}(0,0)(-0.1,-0.2)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20](0,0)(0,0)(5,2)
\uput[dr](0,0){0}
\uput[d](3.14159,0){$\pi$}
\uput[d](1.5708,0){$\pi/2$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{5}{1 x RadtoDeg 10 mul cos x RadtoDeg 10 mul sin 0.1 mul add  2.71828 x  exp div  sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.314}{1 x RadtoDeg 10 mul cos x RadtoDeg 10 mul sin 0.1 mul add  2.71828 x  exp div  sub 0.5 mul}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.314}{5}{1 x RadtoDeg 10 mul cos x RadtoDeg 10 mul sin 0.1 mul add  2.71828 x  exp div  sub 0.5 mul 1 x 0.314 sub RadtoDeg 10 mul cos x 0.314 sub RadtoDeg 10 mul sin 0.1 mul add  2.71828 x 0.314 sub   exp div  sub 0.5 mul add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}