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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{13 mai 2014}}
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\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur 13 mai 2014\\ Conception de produits industriels}}

\vspace{0,25cm}

{\large Le sujet comporte  3 exercices  indépendants qui seront traités sur des copies séparées}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions, une seule réponse est exacte. 
Chaque réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

On ne demande aucune justification.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ une matrice à 2 lignes et 3 colonnes, et $N$ une matrice à 3 lignes et 2 colonnes.

Le produit $M \times N$ est une matrice à :
 
Réponse A : 2 lignes et 2 colonnes 

Réponse B : 3 lignes et 3 colonnes 

Réponse C : 2 lignes et 3 colonnes 

Réponse D : 3 lignes et 2 colonnes 
\item Dans un repère orthonormal de l'espace les points A(1~;~0~;~2), B$(-1~;~1~;~1)$, C(2~;~1~;~0) sont donnés. 
 
On considère le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\a\\b\end{pmatrix}$  où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. Le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur 
normal au plan (ABC) si :
 
Réponse A : $a = 2$ et $b = 0$ 

Réponse B : $a - 1$ et $b = 1$ 

Réponse C : $a = 5$ et $b = 3$
\item Dans un repère orthonormal direct du plan, les points A$(0~;~1~;~1)$,  B(0~;~13~;~1) et C$\left(3\sqrt{3}~;~4~;~1\right)$ sont donnés. On rappelle que  si $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont deux vecteurs du plan,  le produit scalaire des deux vecteurs est donné par 

$\vect{u} \cdot \vect{v} = \left\|\vect{u}\right\| \times \left\|\vect{v}\right\| \cos \left(\vect{v}~;~\vect{v}\right)$. Une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ est :
 
Réponse A : $\dfrac{\pi}{6}$ radians 
 
Réponse B : $\dfrac{\pi}{4}$ radians

Réponse C : $\dfrac{\pi}{3}$ radians
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2  \hfill 7 points}

\medskip
 
L'objet de cet exercice est l'étude de la diminution de température d'une pièce métallique, laissée à l'air libre après l'avoir chauffée.
 
Cette température est modélisée par une fonction $f$ du temps $t$  définie pour tout $t$ appartenant 
à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. L'unité de $f(t)$ est le degré Celsius (\degres~C) et celle de $t$ est l'heure.
 
\begin{center}\textbf{Les deux parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center}
 
\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle 

\[(E) : \quad y' + 3y = 51,\]

dans laquelle l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right) :\quad  y'+ 3y = 0.\]
 
\item Déterminer la fonction constante, solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Sachant qu'à l'instant initial $t = 0$, la température de la pièce métallique est égale à $220$\degres~C, déterminer l'expression de $f(t)$ pour  tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B Étude globale de la fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) =  203\text{e}^{- 3t} + 17.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$. 
		\item Que peut-on en déduire graphiquement pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Une demi-heure après avoir laissé la pièce à l'air libre, sa température sera-t-elle inférieure à 40 \degres C ? Justifier. 
\item On admet que la pièce métallique peut être tenue en main si sa température est inférieure ou égale à 38 \degres C. Au bout de combien de minutes après avoir arrêté de la chauffer est-on sûr que la pièce métallique pourra être tenue en main ? On donnera la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée à la minute près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 10 points}
 
\begin{center}\textbf{Penser à rendre la feuille Annexe dûment complétée}\end{center}

\emph{On se propose de concevoir une nouvelle police de caractère pour la lettre \og v \fg{} minuscule, tracée dans le plan muni d'un repère orthonormal} \Oij. \emph{La courbe formant cette lettre est la réunion de deux courbes de Bézier : $C_{1}$ et $C_{2}$.}

\medskip
 
Dans le repère \Oij, on se donne les points O, A, B,  C et F de coordonnées : 

\[\text{O}(0~;~0), \text{A}(-5~;~3), \text{B}(-2~;~4), \text{C} (-4~;~- 5) \:\:\text{et F}\left(2~;~\dfrac{5}{2}\right).\]

Le point E est le symétrique du point C  par rapport au point O. 

La courbe de Bézier $C_{1}$ est obtenue à partir des quatre points, de définition A, B, C et O dans cet ordre. 

La courbe de Bézier $C_{2}$ est obtenue à partir des quatre points de définition O, E, A et F dans cet ordre.

\bigskip
 
\textbf{A. Tracé de l'arc de courbe } \boldmath $C_{1}$.\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe, placer les points A, B, C et O puis les tangentes à la courbe $C_{1}$ aux points A et O. 
\item Pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], on note $M_{1}(t)$ le point de paramètre $t$ de la courbe $C_{1}$. Sur l'\textbf{annexe} les points $M_{1}\left(\dfrac{1}{4}\right)$ et $M_{1}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ sont déjà placés. 

Pour chaque valeur de $t \in  [0~;~1]$, l'algorithme de construction par barycentres successifs (appelé algorithme de De Casteljau) permet de construire le point $M_{1}(t)$. Utiliser cet algorithme pour construire $M_{1}\left(\dfrac{3}{4}\right)$. \textbf{On laissera apparents les traits de construction}. 
\item À l'aide des éléments construits, tracer l'allure de la courbe $C_{1}$ sur l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude et tracé de l'arc de courbe }\boldmath $C_{2}$.\unboldmath

\medskip

Pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], on note $M_{2}(t)$ le point de paramètre $t$ définissant la courbe de Bézier $C_{2}$.
 
On rappelle que les polynômes de Bernstein $B_{i, 3}$ de degré 3, pour $i$ prenant les valeurs 0, 1, 2 ou 3, sont définis pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] par : 

\[B_{i, 3}(t)  = \dfrac{3!}{i!(3 - i)!}t^{i}(1 - t)^{3 - i}.\]

Comme l'origine du repère est un des points de définition les points $M_{2}(t)$ sont donc définis, par la relation vectorielle simplifiée 	: 

\[\vect{\text{O}M_{2}(t)} =   B_{1, 3}(t)\vect{\text{OE}} + B_{2, 3}(t)\vect{\text{OA}} + B_{3,3}(t) \vect{\text{OF}}, \: \text{pour}\: t \in [0~;~ 1].\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point E. Placer les points E et F sur l'annexe à rendre avec la copie. 
\item Développer, réduire et ordonner le polynôme $B_{2, 3}(t)$. 
\item On admet que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], on a : 

\[\begin{array}{l c l}
B_{0, 3}(t)&=&- t^3 + 3t^2 - 3t + 1\\ 
B_{1, 3}(t)&=&3t^3 - 6t^2 + 3t\\
B_{3, 3}(t)&=&t^3.
\end{array}\]

Montrer que l'abscisse $x$ du point $M_{2}(t)$ de la courbe $C_{2}$ admet pour expression :
 
\[x = f(t) =  29t^3 - 39t^2 + 12t,\: \text{pour}\: t \in [0~;~1].\]
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ où, $f'$ est la dérivée de la fonction $f$,  définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(t) = 29t^3 - 39t^2 +12t$. On admet que la fonction $f$ est dérivable. 
		\item Résoudre l'équation $f'(t) = 0$ sur l'intervalle [0~;~1]. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près des deux solutions que l'on nommera $t_{1}$ et $t_{2}$ avec $t_{1} < t_{2}$. 
		\item On admet que l'ordonnée $y$ du point $M_{2}(t)$ de la courbe $C_{2}$ a pour expression :
		 
\[y = g(t) =  8,5t^3 - 21t^2 + 15t\: \text{pour}\: t \in  [0~;~1].\] 

On admet également que la fonction $g$ ainsi définie est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~\alpha[$, décroissante sur l'intervalle $[\alpha~;~1]$, o\`u  $\alpha \approx  0,52$, que $f(\alpha) \approx  - 0,23$, et que $g(\alpha) \approx 3,32$ à $10^{- 2}$ près.
 
Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle [0~;~1].
	\end{enumerate} 
\item À l'aide du tableau des variations conjointes précédent, préciser le ou les points de la courbe $C_{2}$ où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
 
Préciser également le ou les points de la courbe $C_{2}$ où la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées. 
\item Compléter le tableau de valeurs des fonctions $f$ et $g$ sur l'annexe à rendre avec la copie. Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près. 
\item Tracer les tangentes à la courbe $C_{2}$, aux points $M_{2}(0), M_{2}\left(t_{1}\right),  M_{2}(\alpha), M_{2}\left(t_{2}\right)$ et $M_{2}(1)$, puis tracer la courbe $C_{2}$ ,sur l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Étude de la réunion des deux courbes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les deux courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ se raccordent en O. Montrer qu'elles ont même tangente en ce point 
\item Si on change les coordonnées de l'un des points de définition autre que le point O d'une des deux courbes, les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ ont-elles toujours même tangente au point O ?  Justifier votre réponse. 
\item La boucle de la lettre \og v \fg{} minuscule ne satisfait pas au concepteur. Pour remédier à cela, il décide de déplacer le point F en F$'$(2~;~2) sans bouger les autres points de définition.

Indiquer l'impact que ce déplacement a sur la taille de la boucle du \og v \fg{} minuscule.
 
\emph{On ne fera aucun calcul pour répondre à cette question.} 
\end{enumerate} 

\newpage

{\large \textbf{ANNEXE II rendre avec la copie}}

\vspace{1.5cm}

\begin{center}
\psset{unit=0.618cm}
\begin{pspicture*}(-9.2,-5.2)(10.2,5.5)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=5,subgriddiv=1](-9.2,-5.2)(10.2,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-9.2,-5.2)(10.2,5.5)
\psdots(-3.6,2.25)(-2.85,0)
\uput[dl](-3.6,2.25){$M_{1}\left(1/4\right)$}
\uput[ur](-2.85,0){$M_{1}\left(1/2\right)$}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&0,10	&0,20	&0,30	&0,52		&0,70	&0,80	&0,90	& 1\\  \hline 
$f(t)$	&0	&		&		&		&$- 0,23$	&		&		&		&\\ \hline 
$g(t)$	&0	&		&		&		&$3,32$		&		&		&		&\\ \hline  
\end{tabularx}
\end{document}