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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{14 mai 2013}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2013\\ Conception de produits industriels}}

\vspace{0,25cm}

{\large Le sujet comporte  3 exercices  indépendants qui seront traités sur des copies séparées}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

Les quatre questions suivantes sont indépendantes. Pour les questions 2 et 4, toute trace de recherche, même non aboutie, sera valorisée. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans un repère de l'espace \Oijk, on donne les points A$(-2~;~4~;~1)$, B$(3~;~5~;~-1)$ et C$(0~;~3~;~4)$. 

Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre G des points A, B et C. 
\item Dans un repère orthonormé de l'espace \Oijk, on donne les points A$(1~;~3~;~2)$, B(0~;~5~;~-2) et C$(a~;~2~;~2)$ où $a$ est un nombre réel. 

Déterminer la valeur de $a$ pour que le triangle ABC soit rectangle en A. 

On pourra utiliser le produit scalaire. 
\item Soient les matrices suivantes : $A = \begin{pmatrix}1 &3\\-2& a\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}2& 4\\-1& 3\end{pmatrix}$ où $a$ est un nombre réel. 

Déterminer $a$ pour que le produit $AB$ soit égal à $AB = \begin{pmatrix}- 1&13\\- 9&7 \end{pmatrix}$.  
\item Soient les matrices suivantes : $A = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}4&- 2&- 1&1\\ - 1&1&1&1\end{pmatrix}$,  

$C = \begin{pmatrix}2& 0& 1& c\end{pmatrix}$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres réels.

Déterminer les valeurs de $a, b$ et $c$ pour que l'on ait l'égalité matricielle suivante : $A \times B = C$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip
 
Les deux parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
 
\textbf{Partie A : résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[(E)\::\quad  y'' + 4y' + 5y = 10x + 3 \]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right)\::\quad  y'' + 4y' + 5y = 0.\]
 
\item Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ telles que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = ax + b$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 4$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude locale d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 2\text{e}^{- 2x} \sin (x) + 2x - 1.\]
 
On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction définie par $x \longmapsto \text{e}^{- 2x}$. 
		\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction définie par $x \longmapsto \sin x$. 
		\item En déduire le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{- 2x} \sin (x)$. 
		\item Finalement, montrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est 

\[f(x) = - 1 + 4x - 4x^2 + x^2\epsilon(x) \quad \text{avec}\quad  \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] 
 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question précédente une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$. 
		\item Étudier les positions relatives de $C$ et de $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$ et illustrer cette situation par un schéma.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

Soit $m$ un réel strictement positif dont on ne connait pas la valeur.

On considère les points $P_{0}(0~;~0),\: P_{1}(1~;~m)$ et $P_{2}(3~;~0)$ dans un repère orthogonal \Ouv{} d'unité graphique 4~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. On remarque que $P_{0}$ est égal à $O$, origine du repère.
 
On considère la courbe de Bézier définie par les points de définition $P_{0}, P_{1}, P_{2}$. Soit $t$ un réel variant entre $0$ et $1$.
 
On pose $B_{0,~2}(t) = (1 - t)^2,\: B_{1,~2}(t) = 2t(1 - t)$ et $B_{2,~2}(t) = t^2$.
 
On rappelle que la courbe de Bézier définie par trois points de définition $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ est décrite par le point $M(t)$ qui satisfait à l'égalité vectorielle 

\[\vect{OM}(t) = \sum_{i=0}^2 B_{i,~2}(t) \vect{OP_{i}}.\]

Comme $m$ est variable on a une famille de courbes de Bézier de paramètre $m$. 

On note $\Gamma_{m}$ la courbe de Bézier associée au paramètre $m$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : travail graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prend $m = 8$. Placer les points $P_{0}, P_{1}$ et $P_{2}$ sur le graphique de l'annexe  à rendre avec la copie. 
\item Quels sont les éléments géométriques que vous pouvez déjà donner pour la construction de la courbe de Bézier définie par ces trois points de contrôle ? 
\item Construire graphiquement (par la méthode des barycentres ou par toute autre méthode) le point $M\left(\frac{1}{2}\right)$ de cette courbe. 
\item À l'aide des questions 2. et 3. tracer l'allure de $\Gamma_{8}$, la courbe de Bézier correspondant à $m = 8$. 
\item On prend maintenant $m = 1,5$. Placer, sur le même graphique, les nouveaux points $P_{1}$ et $M\left(\frac{1}{2}\right)$ correspondant à cette valeur de $m$. 
\item Tracer l'allure de $\Gamma_{1,5}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : travail numérique}

\medskip
 
Soit le point $A(1~;~2)$. On se demande s'il existe une courbe de la famille de courbes $\Gamma_{m}$ qui passe par le point $A$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point A sur le graphique. Au vu des deux courbes tracées dans la partie A, que peut-on supposer sur la valeur de $m$ ? 
\item Démontrer que les coordonnées de $M(t)$ parcourant $\Gamma_{n}$ sont: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& t^2 + 2t\\ 
y(t) &=& m \times  2t(1 - t)
\end{array}\right.\]
 
On remarque que l'ordonnée de $M(t)$ dépend de $t$ et de $m$. 
\item Justifier que l'on est conduit à résoudre le système de deux équations à deux inconnues $t$ et $m$ suivant: 

\[\left\{\begin{array}{l c l r}
t^2 + 2t -1 &=&0&\quad (1)\\
2mt(1 - t) &=& 2&\quad (2)
\end{array}\right.\]
 
\item On calcule d'abord les valeurs de $t$ possibles. Pour cela, résoudre l'équation (1) pour $t$ variant dans [0~;~1]. 

En déduire qu'il existe une unique solution $t_{0}$ dont on donnera la valeur exacte. 
\item Remplacer $t$ par $t_{0}$ dans l'équation (2). En déduire qu'il existe une seule valeur de $m$ possible que l'on notera $m_{0}$. En déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près. 
\item Y a-t-il une courbe de la famille $\Gamma_{m}$ qui passe par le point A ? Si oui, laquelle ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C : vérification}

\medskip
 
Pour la suite de l'exercice, on choisit pour $m$ la valeur $m_{0} = 4,12$. On considère la courbe de Bézier $\Gamma_{m_{0}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un tableau de valeurs $(t,~ x(t),~ y(t))$, établi pour la valeur $m = m_{0}$, est proposé en annexe  à rendre avec la copie. 

Compléter ce tableau à l'aide de la calculatrice. Donner les résultats arrondis à $10^{-2}$.
 
On ne demande pas d'étudier les variations conjointes de $x(t)$ et $y(t)$. 
\item Tracer $\Gamma_{m_{0}}$ avec soin sur le graphique de l'annexe  à rendre avec la copie. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Exercice 3 : partie A}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.45,-1)(3.4,8.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(3.4,8.25)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(3.75,8.2)
\uput[u](3.3,0){$x$}\uput[r](0,8.1){$y$}
%\rput(2,6){\Large $m = 8$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,1	&0,2	&0,3	&0,414	&0,5	&0,6	&0,7	&0,8	&0,9	&1\\ \hline
$x(t)$	&0	&		&0,44	&		&		&1,25	&		&		&		&		&\\ \hline
$y(t)$	&0	&		&1,32	&		&		&2,06	&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}