%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS CPI }, pdftitle = {Métropole mai 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Conception de produits industriels}} \rfoot{\small{13 mai 2015}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur 13 mai 2015\\ Conception de produits industriels}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Une entreprise fabrique trois types de pièces différentes: P$_1$, P$_2$ et P$_3$. Un programme de production pour une journée donnée s'exprime par un triplet $(x,~y,~z)$. Plus précisément, le programme de production $(x,~y,~z)$ correspond à la production de $x$ pièces de type P$_1$, $y$ pièces de type P$_2$ et $z$ pièces de type P$_3$ au cours d'une journée donnée. Pour réaliser un programme de production $(x,~y,~z)$, on utilise $a$ kilogrammes d'acier, $b$ kilogrammes de bois et cela nécessite $t$ heures de travail, ce que l'on résume par le triplet $(a,~b,~t)$. Pour une pièce de type P$_1$, on a besoin de 0,5 kg d'acier, 1 kg de bois et 1 h de travail. Pour une pièce de type P$_2$, on a besoin de 1 kg d'acier, 2 kg de bois et 1 h de travail. Pour une pièce de type P$_3$, on a besoin de 1,5 kg d'acier, 2 kg de bois et 3 h de travail. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $a = 0,5x + y + 1,5z$. Exprimer également $b$ et $t$ en fonction de $x,\: y$ et $z$. \medskip Dans la suite de l'énoncé, on admet que ces expressions peuvent se traduire matriciellement par l'égalité $Y = AX$ dans laquelle $A = \begin{pmatrix} 0,5& 1& 1,5\\1&2&2\\1&1&3\end{pmatrix},$ $X = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix},\: Y = \begin{pmatrix}a\\b\\t\end{pmatrix}$. \item Durant une journée,l'entreprise a produit 37 pièces de type P$_1$, 52 de type P$_2$ et 65 de type P$_3$. \begin{enumerate} \item Écrire la matrice $X$ correspondant à cette journée. \item Déterminer la quantité d'acier, de bois et le nombre d'heures de travail pour la production de cette journée. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel fournit sur la ligne marquée ($\% \circ 2$) l'expression de la matrice $A^{-1}$, matrice inverse de $A$. \setlength\parindent{1cm} \begin{description} \item[ ] $(\%i1)\quad A : \text{matrix}\: ([0,5~;~1~;~1,5],\:[1~;~2~;~2],\: [1~;~1~;~3]) $; \item[ ] $(\%o 1)\quad \begin{bmatrix}0,5&1&1,5\\1&2&2\\1&1&3\end{bmatrix}$ \item[ ] $(\%i 2)\quad \text{invert} (A)$ ; \item[ ] $(\%o 2)\quad \begin{bmatrix}- 8,0&3,0&2,0\\2,0&0,0&-1,0\\2,0&-1,0&0,0\end{bmatrix}$ \end{description} \setlength\parindent{0cm} \begin{enumerate} \item Utiliser ce résultat pour résoudre le système $(S)$ d'inconnues $x, y$ et $z$ : \[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l} 0,5x + y + 1,5z &=& 163\\ \phantom{0,5}x + 2y + 2z &=& 277\\ \phantom{0,5}x + y + 3z &=& 274 \end{array}\right.\] \item Lors d'une journée de production, 163~kg d'acier et 277~kg de bois ont été utilisés et 274~heures de travail ont été nécessaires. Quelles quantités de pièces de chaque type P$_1$, P$_2$ et P$_3$ ont été fabriquées dans cette journée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \begin{center} \emph{Un formulaire est disponible en fin d'exercice} \end{center} \textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante} \bigskip \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(E) :\quad y'' - 2y' + y = - 2\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$,\: $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $(H) :\quad y'' - 2y' + y = 0$. \item Déterminer une fonction constante qui est solution particulière de l'équation $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (4 - 3x)\text{e}^x - 2.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 2$. Que peut-on en déduire d'un point de vue graphique ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie par : $f'(x) = (1 - 3x)\text{e}^x$. \item Déterminer suivant les valeurs de $x$ le signe de $f'$. \item En déduire les variations de la fonction $f$. On regroupera les résultats dans un tableau de variations en faisant apparaître la valeur de l'extremum. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer à l'aide du tableau de variations que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $x_0$ dans l'intervalle [1~;~2]. \item Déterminer à l'aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de $x_0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Calcul intégral} \medskip À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a déterminé une primitive de la fonction $f$. Une capture d'écran est donnée ci~dessous : \begin{center} \begin{tabular}{|m{8cm}|}\hline \textbf{Xcas en ligne.} Tapez une instruction dans cette console \\ (assistant avec la bouée).\\ \hline integrate$((4-3x)*\text{exp}(x)-2,x)$\\ \multicolumn{1}{|c|}{$(- 3x + 7)\text{e}^x - 2x$}\\ \hline \end{tabular} \end{center} On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une valeur approchée au dixième de l'aire, en unité d'aire du domaine délimité par la courbe $C$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = x_0$ (on prendra 1,1 pour valeur approchée de $x_0$). \item En déduire une valeur approchée au dixième de l'aire en cm$^2$, de ce même domaine. \begin{center} \textbf{Formulaire} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|X|}\hline Équation différentielle : $ay'' + by' + cy = 0$&$\bullet~~$Si $\Delta > 0,\: f(x) = A\text{e}^{r_1 x} + B\text{e}^{r_2 x}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique.\\ Équation caractéristique :&$\bullet~~$Si $\Delta = 0,\: f(x) = (Ax + B)\text{e}^{rx}$ où $r$ est la racine double de l'équation caractéristique.\\ $ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.&$\bullet~~$Si $\Delta < 0,\: f(x) = [A\cos (\beta x) + B \sin (\beta x)]\text{e}^{\alpha x}$ où $r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et $r_2 = \alpha - \text{i}\beta$ sont les racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\ \hline Dérivée d'un produit&La fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et on a\\ $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.& $(uv)' = u'v + uv'$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 8 points} \medskip En robotique. on doit souvent planifier des trajectoires pour permettre à un robot de se déplacer d'un point initial à un point final. La trajectoire peut alors être décomposée en une juxtaposition de courbes B-splines. Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. Nous allons nous intéresser à l'étude de la portion de trajectoire qui débute au point A de coordonnées (4~;~7) et se termine au point B de coordonnées (6~;~1). On souhaite construire la courbe B-spline $\Gamma$ obtenue à partir de quatre points de définition $P_0,\: P_1,\: P_2$ et $P_3$ et des trois polynômes de Riesenfeld du second degré. Les quatre points sont donnés par leurs coordonnées dans le repère \Oij{} ; \[P_0(0~;~8), P_1(8~;~6), P_2 (1~;~0)\quad \text{et}\quad P_3(11~;~2).\] \begin{enumerate} \item On rappelle que les polynômes de Riesenfeld $R_i$ de degré 2, pour $i$ prenant les valeurs 0, 1 ou 2, sont définis pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] par : \[R_i(t) = 3\displaystyle\sum_{j=0}^{2 - i} (- 1)^j \dfrac{(t + 2 - i - j)^2}{j!(3 - j)!}.\] Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], $R_1(t) = - t^2 + t + \frac{1}{2}$. \textbf{(On pourra utiliser ce résultat dans, la suite de l'exercice).} Dans la suite de l'exercice, \textbf{on admet que}, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] ; \[R_0(t) = \dfrac{t^2}{2} - t + \dfrac{1}{2}\quad \text{et}\quad R_2(t) = \dfrac{1}{2}t^2.\] \item La courbe B-spline $\Gamma$ cherchée est la réunion de deux arcs de courbe $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$. $\Gamma_1$ est l'ensemble des points $M_1(t)$ tels que : \[\vect{\text{O}M_1(t)} = R_0(t)\vect{\text{O}P_0} + R_1(t)\vect{\text{O}P_1} + R_2(t)\vect{\text{O}P_2}, \quad t \in [0~;~1]\] $\Gamma_2$ est l'ensemble des points $M_2(t)$ tels que : \[\vect{\text{O}M_2(t)} = R_0(t)\vect{\text{O}P_1} + R_1(t)\vect{\text{O}P_2} + R_2(t)\vect{\text{O}P_3}, \quad t \in [0~;~1]\] \begin{enumerate} \item Montrer que le point $M_1(0)$ est le milieu du segment $\left[P_0P_1\right]$. \item L'arc de courbe $\Gamma_1$ est défini par la représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& f_1(t)\\ y &=& g_1(t) \end{array}\right. \quad \text{où}\: t\: \text{ appartient à l'intervalle}\: [0~;~1]\] On admet que : \[f_1(t) = - \dfrac{15}{2}t^2 + 8t + 4.\] Montrer que \[g_1(t) = - 2t^2 - 2t + 7.\] \item Étudier les variations de $f_1$ et $g_1$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique à réaliser sur votre copie. \item Donner un vecteur directeur de la tangente à l'arc de courbe $\Gamma_1$ au point $M_1(0)$, puis au point $M_1\left(\frac{8}{15}\right)$ puis au point $M_1(1)$. \item Construire sur le graphique de l'annexe, les tangentes à l'arc de courbe $\Gamma_1$ aux points $M_1(0),\:M_1\left(\frac{8}{15}\right)$ puis au point $M_1(1)$ puis construire l'arc de courbe $\Gamma_1$. Placer les points de définition $P_0,\: P_1,\: P_2$ et $P_3$ ainsi que les points $A$ et $B$. \item L'arc de courbe $\Gamma_2$ est tracé sur le graphique de l'annexe, avec ses tangentes aux points $M_2\left(\frac{7}{17}\right)$et $M_2\left(\frac{3}{4}\right)$. Il est défini par la représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& f_2(t)\\ y &=& g_2(t) \end{array}\right. \quad \text{où}\: t\: \text{ appartient à l'intervalle}\: [0~;~1]\] Compléter, \textbf{à l'aide de la courbe}, le tableau des variations conjointes des fonctions $f_2$ et $g_2$, situé sur l'annexe. Les valeurs seront données par lecture graphique, sans calcul. \end{enumerate} \item \textbf{On admet} que l'arc de courbe $\Gamma_2$ est défini par La représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l c l} x &=& f_2(t)&=&\dfrac{17}{2}t^2 - 7t + \dfrac{9}{2}\\ y &=& g_2(t)&=&4t^2 - 6t + 3 \end{array}\right. \quad \text{où}\: t\: \text{ appartient à l'intervalle}\: [0~;~1]\] \begin{enumerate} \item On admet que les arcs de courbe $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, se raccordent en un point $I$. Déterminer les coordonnées du point $I$. \item Montrer que les arcs de courbe $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ ont même tangente en $I$. \item On souhaite modifier le début de la trajectoire et prendre comme point initial le point $A'$ de coordonnées (3~;~5). Les points de définition $P_1,\: P_2$ et $P_3$ sont inchangés. En utilisant la question 2. a., donner la position du point $P_0$ pour que la nouvelle condition soit satisfaite. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(11,8) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](0,0)(11,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.3,-0.3)(11,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(11,8) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](4.5,3)(3.058,1.208)(4.031,0.75)(6,1) \parametricplot[linewidth=1.25pt]{0}{1}{8.5 t dup mul mul 7 t mul sub 4.5 add t dup mul 4 mul 6 t mul sub 3 add} \uput[ul](3.5,2.4){$\Gamma_2$} \uput[u](4.5,3){$M_2(0)$}\uput[l](3.058,0.699){$M_2\left( \frac{7}{17}\right)$} \uput[d](4.031,0.75){$M_2\left( \frac{3}{4}\right)$}\uput[dr](6,1){$M_2(1)$} \psline{<->}(3.131,0.75)(4.931,0.75) \psline{<->}(3.058,0.308)(3.058,2.108) \end{pspicture} \bigskip L'arc de courbe $\Gamma_2$ est défini par la représentation paramétrique : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& f_2(t)\\ y &=& g_2(t) \end{array}\right. \quad \text{où}\: t \: \text{appartient à l'intervalle}\: [0~;~1]\] \vspace{0,5cm} \textbf{Tableau des variations conjointes des fonctions \boldmath $f_2$ et $g_2$ \unboldmath (à compléter) :} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,7) \psframe(12,7)\psline(0,2)(12,2)\psline(0,3)(12,3)\psline(0,5)(12,5)\psline(0,6)(12,6) \psline(1,0)(1,7) \uput[u](0.5,5.9){$t$} \uput[u](1.1,5.9){$0$} \uput[u](4.77,5.9){$\dfrac{7}{17}$} \uput[u](8.44,5.9){$\dfrac{3}{4}$} \uput[u](11.8,5.9){$1$} \rput(0.5,5.5){$f'_2(t)$} \rput(0.5,4){$f_2(t)$} \rput(0.5,2.5){$g'_2(t)$}\rput(0.5,1){$g_2(t)$} \rput(4.77,5.5){$0$} \rput(8.44,2.5){$0$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}