%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}  
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS CPI },
pdftitle = {Métropole mai 2014},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur 13 mai 2015\\ Conception de produits industriels}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise fabrique trois types de pièces différentes: P$_1$,  P$_2$ et P$_3$.

Un programme de production pour une journée donnée s'exprime par un triplet $(x,~y,~z)$.

Plus précisément, le programme de production $(x,~y,~z)$ correspond à la production de $x$ pièces de
type P$_1$, $y$ pièces de type P$_2$ et $z$ pièces de type P$_3$ au cours d'une journée donnée.

Pour réaliser un programme de production $(x,~y,~z)$, on utilise $a$ kilogrammes d'acier, $b$ kilogrammes
de bois et cela nécessite $t$ heures de travail, ce que l'on résume par le triplet $(a,~b,~t)$.

Pour une pièce de type P$_1$, on a besoin de 0,5 kg d'acier, 1 kg de bois et 1 h de travail.

Pour une pièce de type P$_2$, on a besoin de 1 kg d'acier, 2 kg de bois et 1 h de travail.

Pour une pièce de type P$_3$, on a besoin de 1,5 kg d'acier, 2 kg de bois et 3 h de travail.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $a = 0,5x + y + 1,5z$.

Exprimer également $b$ et $t$ en fonction de $x,\: y$ et $z$.

\medskip

Dans la suite de l'énoncé, on admet que ces expressions peuvent se traduire matriciellement par
l'égalité $Y = AX$ dans laquelle $A = \begin{pmatrix}
0,5& 1& 1,5\\1&2&2\\1&1&3\end{pmatrix},$

$X = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix},\: Y =  \begin{pmatrix}a\\b\\t\end{pmatrix}$.
\item Durant une journée,l'entreprise a produit 37 pièces de type P$_1$, 52 de type P$_2$ et 65 de type P$_3$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice $X$ correspondant à cette journée.
		\item Déterminer la quantité d'acier, de bois et le nombre d'heures de travail pour la production de cette journée.
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel fournit sur la ligne marquée ($\% \circ 2$) l'expression de la matrice $A^{-1}$, matrice inverse de $A$.

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] $(\%i1)\quad  A : \text{matrix}\: ([0,5~;~1~;~1,5],\:[1~;~2~;~2],\: [1~;~1~;~3]) $;
\item[ ] $(\%o 1)\quad \begin{bmatrix}0,5&1&1,5\\1&2&2\\1&1&3\end{bmatrix}$
\item[ ] $(\%i 2)\quad \text{invert} (A)$ ;
\item[ ] $(\%o 2)\quad \begin{bmatrix}- 8,0&3,0&2,0\\2,0&0,0&-1,0\\2,0&-1,0&0,0\end{bmatrix}$
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}	
	
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser ce résultat pour résoudre le système $(S)$ d'inconnues $x, y$ et $z$ :
		
\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
0,5x + y + 1,5z 			&=& 163\\
\phantom{0,5}x + 2y + 2z 	&=& 277\\
\phantom{0,5}x + y + 3z 	&=& 274
\end{array}\right.\]

		\item Lors d'une journée de production, 163~kg d'acier et 277~kg de bois ont été utilisés et 274~heures de travail ont été nécessaires.

Quelles quantités de pièces de chaque type P$_1$, P$_2$ et P$_3$ ont été fabriquées dans cette journée ?		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\begin{center}
\emph{Un formulaire est disponible en fin d'exercice}
\end{center}

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante}

\bigskip

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y'' - 2y' + y = - 2\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$,\: $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(H) :\quad  y'' - 2y' + y = 0$.
\item Déterminer une fonction constante qui est solution particulière de l'équation $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (4 - 3x)\text{e}^x - 2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 2$. Que peut-on en déduire d'un point de vue graphique ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie par : $f'(x) = (1 - 3x)\text{e}^x$.
		\item Déterminer suivant les valeurs de $x$ le signe de $f'$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$. On regroupera les résultats dans un tableau de variations en faisant apparaître la valeur de l'extremum.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer à l'aide du tableau de variations que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution
unique $x_0$ dans l'intervalle [1~;~2].
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de $x_0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Calcul intégral}

\medskip
		
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a déterminé une primitive de la fonction $f$.
		
Une capture d'écran est donnée ci~dessous :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{8cm}|}\hline
\textbf{Xcas en ligne.} Tapez une instruction dans cette console \\
(assistant avec la bouée).\\ \hline
integrate$((4-3x)*\text{exp}(x)-2,x)$\\
\multicolumn{1}{|c|}{$(- 3x + 7)\text{e}^x - 2x$}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une valeur approchée au dixième de l'aire, en unité d'aire du domaine délimité par la
courbe $C$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = x_0$ (on prendra 1,1
pour valeur approchée de $x_0$).
\item En déduire une valeur approchée au dixième de l'aire en cm$^2$, de ce même domaine.

\begin{center}
\textbf{Formulaire}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|X|}\hline
Équation différentielle : $ay'' + by' + cy = 0$&$\bullet~~$Si $\Delta > 0,\: f(x) = A\text{e}^{r_1 x} + B\text{e}^{r_2 x}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique.\\
Équation caractéristique :&$\bullet~~$Si $\Delta = 0,\: f(x) = (Ax + B)\text{e}^{rx}$ où $r$ est la racine double de l'équation caractéristique.\\
$ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.&$\bullet~~$Si $\Delta < 0,\: f(x) = [A\cos (\beta x) + B \sin (\beta x)]\text{e}^{\alpha x}$ où $r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et $r_2 = \alpha - \text{i}\beta$ sont les racines complexes conjuguées de  l'équation caractéristique.\\ \hline
Dérivée d'un produit&La fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et on a\\
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables
sur un intervalle $I$.& $(uv)' = u'v + uv'$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

En robotique. on doit souvent planifier des trajectoires pour permettre à un robot de se déplacer
d'un point initial à un point final. La trajectoire peut alors être décomposée en une juxtaposition de
courbes B-splines.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

Nous allons nous intéresser à l'étude de la portion de trajectoire qui débute au point A de
coordonnées (4~;~7) et se termine au point B de coordonnées (6~;~1).

On souhaite construire la courbe B-spline $\Gamma$ obtenue à partir de quatre points de définition $P_0,\: P_1,\: P_2$ et $P_3$ et des trois polynômes de Riesenfeld du second degré. Les quatre points sont donnés par leurs coordonnées dans le repère \Oij{} ;

\[P_0(0~;~8), P_1(8~;~6), P_2 (1~;~0)\quad  \text{et}\quad P_3(11~;~2).\]

\begin{enumerate}
\item On rappelle que les polynômes de Riesenfeld $R_i$ de degré 2, pour $i$ prenant les valeurs 0, 1 ou 2, sont définis pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] par :

\[R_i(t) = 3\displaystyle\sum_{j=0}^{2 - i} (- 1)^j \dfrac{(t + 2 - i - j)^2}{j!(3 - j)!}.\]

Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1], $R_1(t) = - t^2 + t + \frac{1}{2}$.

\textbf{(On pourra utiliser ce résultat dans, la suite de l'exercice).}

Dans la suite de l'exercice, \textbf{on admet que}, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~1] ;

\[R_0(t) = \dfrac{t^2}{2} - t + \dfrac{1}{2}\quad \text{et}\quad  R_2(t) = \dfrac{1}{2}t^2.\]

\item La courbe B-spline $\Gamma$ cherchée est la réunion de deux arcs de courbe $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$.

$\Gamma_1$ est l'ensemble des points $M_1(t)$ tels que :

\[\vect{\text{O}M_1(t)} = R_0(t)\vect{\text{O}P_0} + R_1(t)\vect{\text{O}P_1} + R_2(t)\vect{\text{O}P_2}, \quad  t \in [0~;~1]\]

$\Gamma_2$ est l'ensemble des points $M_2(t)$ tels que :

\[\vect{\text{O}M_2(t)} = R_0(t)\vect{\text{O}P_1} + R_1(t)\vect{\text{O}P_2} + R_2(t)\vect{\text{O}P_3}, \quad  t \in [0~;~1]\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $M_1(0)$ est le milieu du segment $\left[P_0P_1\right]$.
		\item L'arc de courbe $\Gamma_1$ est défini par la représentation paramétrique :
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& f_1(t)\\ 
y &=& g_1(t)
\end{array}\right. \quad \text{où}\: t\: \text{ appartient à l'intervalle}\: [0~;~1]\]

On admet que :

\[f_1(t) = - \dfrac{15}{2}t^2 + 8t + 4.\]

Montrer que

\[g_1(t) = - 2t^2 - 2t + 7.\]

		\item Étudier les variations de $f_1$ et $g_1$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique à réaliser sur votre copie.
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à l'arc de courbe $\Gamma_1$ au point $M_1(0)$, puis au point $M_1\left(\frac{8}{15}\right)$ puis au point $M_1(1)$.
		\item Construire sur le graphique de l'annexe, les tangentes à l'arc de courbe $\Gamma_1$ aux points $M_1(0),\:M_1\left(\frac{8}{15}\right)$ puis au point $M_1(1)$  puis construire l'arc de courbe $\Gamma_1$.

Placer les points de définition $P_0,\: P_1,\: P_2$ et $P_3$ ainsi que les points $A$ et $B$.
		\item L'arc de courbe $\Gamma_2$ est tracé sur le graphique de l'annexe, avec ses tangentes aux points $M_2\left(\frac{7}{17}\right)$et $M_2\left(\frac{3}{4}\right)$. Il est défini par la représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& f_2(t)\\ 
y &=& g_2(t)
\end{array}\right. \quad \text{où}\: t\: \text{ appartient à l'intervalle}\: [0~;~1]\]

Compléter, \textbf{à l'aide de la courbe}, le tableau des variations conjointes des fonctions $f_2$ et $g_2$, situé sur l'annexe. Les valeurs seront données par lecture graphique, sans calcul.
	\end{enumerate}
\item \textbf{On admet} que l'arc de courbe $\Gamma_2$ est défini par La représentation paramétrique :
			\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x &=& f_2(t)&=&\dfrac{17}{2}t^2 - 7t  + \dfrac{9}{2}\\ 
y &=& g_2(t)&=&4t^2 - 6t + 3
\end{array}\right. \quad \text{où}\: t\: \text{ appartient à l'intervalle}\: [0~;~1]\]

	\begin{enumerate}
		\item On admet que les arcs de courbe $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, se raccordent en un point $I$. Déterminer les coordonnées du point $I$.
		\item Montrer que les arcs de courbe $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ ont même tangente en $I$.
\item On souhaite modifier le début de la trajectoire et prendre comme point initial le point $A'$ de
coordonnées (3~;~5). Les points de définition $P_1,\: P_2$ et $P_3$ sont inchangés.
		
En utilisant la question 2. a., donner la position du point $P_0$ pour que la nouvelle condition soit
satisfaite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(11,8)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](0,0)(11,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.3,-0.3)(11,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(11,8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](4.5,3)(3.058,1.208)(4.031,0.75)(6,1)
\parametricplot[linewidth=1.25pt]{0}{1}{8.5 t dup mul mul 7 t mul sub 4.5 add t dup mul 4 mul 6 t mul sub 3 add}
\uput[ul](3.5,2.4){$\Gamma_2$}
\uput[u](4.5,3){$M_2(0)$}\uput[l](3.058,0.699){$M_2\left( \frac{7}{17}\right)$}
\uput[d](4.031,0.75){$M_2\left( \frac{3}{4}\right)$}\uput[dr](6,1){$M_2(1)$}
\psline{<->}(3.131,0.75)(4.931,0.75)
\psline{<->}(3.058,0.308)(3.058,2.108)
\end{pspicture}
\bigskip

L'arc de courbe $\Gamma_2$ est défini par la représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& f_2(t)\\ 
y &=& g_2(t)
\end{array}\right. \quad \text{où}\: t \: \text{appartient à l'intervalle}\: [0~;~1]\]

\vspace{0,5cm}

\textbf{Tableau des variations conjointes des fonctions \boldmath $f_2$ et $g_2$ \unboldmath (à compléter) :}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,7)
\psframe(12,7)\psline(0,2)(12,2)\psline(0,3)(12,3)\psline(0,5)(12,5)\psline(0,6)(12,6)
\psline(1,0)(1,7)
\uput[u](0.5,5.9){$t$} \uput[u](1.1,5.9){$0$} 
\uput[u](4.77,5.9){$\dfrac{7}{17}$} \uput[u](8.44,5.9){$\dfrac{3}{4}$} 
\uput[u](11.8,5.9){$1$} 
\rput(0.5,5.5){$f'_2(t)$} \rput(0.5,4){$f_2(t)$}
\rput(0.5,2.5){$g'_2(t)$}\rput(0.5,1){$g_2(t)$}
\rput(4.77,5.5){$0$} \rput(8.44,2.5){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}