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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur 12 mai 2016\\ Conception de produits industriels}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3,5 points}

\medskip

Une firme nationale fabrique des motos dans trois usines: l'usine 1, l'usine 2 et l'usine 3.

Les trois usines fabriquent trois modèles différents de motos : A, B et C.

Le nombre de motos produites par heure de travail dans les trois usines est donné dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Modèle}{Unité}&Usine 1 &Usine 2& Usine 3\\ \hline
A &1 &2 &3\\ \hline
B &8 &5 &5\\ \hline
C &5 &3 &3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $x,\: y$ et $z$ le nombre d'heures de travail respectivement dans l'usine l, dans l'usine 2 et dans l'usine 3.

On note $a,\:b$ et $c$ le nombre total de motos fabriquées respectivement de modèles A, B et C.

Dans la suite de l'énoncé, on admet que cette situation peut se traduire matriciellement par l'égalité
$Y = MX$ dans laquelle :

\[Y = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix},\:M = \begin{pmatrix}1&2&3\\8&5&5\\5&3&3\end{pmatrix},\:\text{et}\:X = \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Durant une période donnée, 50 h de travail ont été effectuées dans l'usine 1, 30 h dans l'usine 2 et 26 h dans l'usine 3. Donner la matrice X correspondante.
		\item Quel est le nombre de motos de modèle A fabriquées pendant cette période ? De modèle B ? De
modèle C ?
	\end{enumerate}
\item Au cours de l'année 2015, ont été fabriquées :
	
\np{21450} motos de modèle A ; \np{62350} motos de modèle B ; \np{38050} motos de modèle C.
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse, une absence de réponse ou une réponse multiple ne rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

On admet que la matrice $M$ est inversible, Donner parmi les trois matrices ci-dessous celle qui est
l'inverse de la matrice $M$.

\[{\footnotesize \text{réponse A :}\:\begin{pmatrix}-1& -2&-3\\-8&-5&-5\\-5&-3&-3\end{pmatrix}\quad \text{réponse B :}\:\begin{pmatrix}0&-3&5\\-1&12&-19\\1&-7&11\end{pmatrix}\quad \text{réponse C :}\:\renewcommand\arraystretch{1.4}\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{8}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\ \frac{1}{5}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}}\renewcommand\arraystretch{1}\]

		\item En déduire le nombre d'heures qui ont été nécessaires dans chaque usine pour réaliser cette
production. Justifier,
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7,5 points}

\medskip

\emph{Un formulaire est fourni enfin d'exercice.}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes, la partie C utilise l'étude de la partie B.}

\smallskip

\begin{center}\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}\end{center}

On considère l'équation différentielle $(E)$ suivante :

\[y'(t) + 0,027y(t) = 0,675\]

où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$: 
 
\[y'(t)+0,027y(t)=0.\]

 \item Déterminer une fonction $g$ constante, solution de l'équation différentielle $(E)$.
 \item Déduire des questions précédentes l'ensemble des solutions de $(E)$.
 \item Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale : $f(0) = 0$.

\end{enumerate}

\smallskip

\begin{center}\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$, par :

\[f(t) = 25 - 25\text{e}^{-0,027t}.\]

Soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification, la réponse juste rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse, une absence de réponse ou une réponse multiple ne rapporte ni n'enlève de point.}
		
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote en $+ \infty$ dont une équation est :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$y = - 0,027t$& $t = 25$& $y = 25$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On  admet que $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
		
Déterminer l'expression de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Avec un logiciel de calcul formel, on obtient le développement limité, à l'ordre 2 au voisinage de zéro, de la fonction $f$ :

\[f(t) = 0,675 t - \np{0,0091125}t^2 + t\epsilon(t)\quad  \text{avec }\: \displaystyle\lim_{t \to  0}\epsilon(t) =  0.\]

	\begin{enumerate}
		\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
		\item Préciser les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$ au voisinage de ce point.
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\begin{center}\textbf{Partie C - Application à l'étude d'un cap}\end{center}

Le cap d'un bateau est l'angle entre la direction du bateau et la direction du nord géographique, exprimé en degré et mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.8)
%\psgrid
\psline{->}(1.2,1.2)(1.2,5)
\psline{->}(1.2,1.2)(3.2,3.5)
\psarc{<-}(1.2,1.2){1.3cm}{47}{90}
\uput[ul](1.2,5){Nord}
\uput[ur](1.35,2.6){Cap $f(t)$}
\uput[dr](3.2,3.5){Direction du bateau}
\uput[d](1.2,0.5){Bateau}
\pspolygon(1.8,1.9)(1.1,1.7)(0.6,1)(1.1,0.55)(1.75,1.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Contrôler le cap d'un voilier nécessite une vigilance permanente. C'est pourquoi on utilise un pilote automatique de bateau qui permet de faire tendre le cap vers une valeur précise et préalablement fixée.

On admet que la fonction étudiée dans la partie B modélise ce cap. Plus précisément $f(t)$ représente le cap, exprimé en degré, d'un bateau en fonction du temps $t$, exprimé en seconde, après une action sur le pilote automatique.

Pour répondre aux questions de la partie C, on pourra utiliser l'élude de la fonction $f$ réalisée dans la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le cap qui a été précisé au pilote automatique
\item Déterminer le temps nécessaire, arrondi à la seconde, pour obtenir un cap supérieur à 24,9~\degres.

\emph{Dans cette question. Toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie sera prise en compte dans la notation}
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{FORMULAIRE}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Les solutions de l'équation différentielle homogène $\left(E_0\right)$ , \:$ay'(t) + by(t) = 0$ sont les fonctions $y$ définies sur un intervalle $I$ par :

\[y(t) =   k\text{e}^{-\frac{b}{a}t},\:\text{ avec }\:k \: \text{ constante réelle}.\]\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{Un designer souhaite créer une nouvelle police de caractère
stylisée.

Pour ce faire, il utilise des courbes de Bézier.

Il souhaite s'inspirer de la lettre majuscule L cursive ci-contre.}\hfill \parbox{0.25\linewidth}{{\Huge $\mathcal{L}$}}

\bigskip

Les études suivantes concernent la lettre L du designer vue comme la réunion de deux ares de courbes de Bézier. La partie supérieure est l'arc de courbe $C_1$ étudiée dans la partie A et la partie inférieure est l'arc de courbe $C_2$ étudiée dans la partie B.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude de la partie supérieure de la lettre L}

\medskip

L'objectif de cette partie est d'étudier la courbe de Bézier $C_1$ associée aux quatre points de contrôle successifs:

\[P_0(0~;~4) \quad ; \quad  P_1(10~;~0) \quad ; \quad P_2(3~;~8) \textrm{ et } P_3(1~;~0).\]

\begin{enumerate}
 \item L'arc de courbe $C_1$ est tracé \textbf{sur l'annexe 1 à rendre avec la copie}.
      \begin{enumerate}
      \item Placer les points de contrôle $P_0$,\: $P_1$,\: $P_2$ et $P_3$.
      \item Pour chaque valeur de $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$, l'algorithme de construction par barycentres successifs (appelé algorithme de De Casteljau) permet de construire le point $M_{1}(t)$ de paramètre $t$ de la courbe de Bézier $C_1$.
      
Utiliser cet algorithme pour la valeur $t =0,5$ et placer le point $M_{1}(0,5)$ associé.

Laisser les traits de construction apparents.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   \end{enumerate}
\item L'arc de courbe $C_1$ est défini par la représentation paramétrique :

\[\begin{cases}x = f_1(t)\\y = g_1(t)\end{cases} \textrm{ où } t \in [0~;~1].\]

      \emph{On ne demande pas de déterminer les expressions des fonctions $f_1$ et $g_1$.}
      
En utilisant la courbe $C_1$ réalisée en annexe 1, compléter les deux dernière lignes du tableau des variations conjointes des deux fonctions $f_1$ et $g_1$, situé en annexe 2 à rendre avec la copie.

Les valeurs seront données avec la précision permise par le graphique, sans calcul. aucune justification n'est attendue.
\item Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la tangente à la courbe $C_1$ au point $P_3$.      
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude de la partie inférieure de la lettre L}

\medskip

On désigne par $a$ un nombre réel.

On souhaite compléter la courbe $C_1$ par une courbe de Bézier $C_2$ en respectant les contraintes suivantes : 
\begin{itemize}
 \item les points de contrôle successifs à la courbe $C_2$ sont 
 
\[P_3(1~;~0) \quad ; \quad  P_4(0~;~a) \quad ; \quad P_5(-3~;~3,5) \textrm{ et } P_6(4~;~0).\]

 \item les courbes ont même tangente au point $P_3$.
\end{itemize}


\begin{enumerate}
 \item Dans les conditions énoncées ci-dessus, montrer alors que $a = - 4$.
\end{enumerate}

Par la suite, on admettra que les points de contrôle successifs de la courbe $C_2$ sont 

\[P_3(1~;~0) \quad ; \quad  P_4(0~;~-4) \quad ; \quad P_5(-3~;~3,5) \textrm{ et } P_6(4~;~0).\]

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on rappelle que la courbe de Bézier 
$C_2$ associée aux 4 points de contrôle successifs $P_3,\: P_4,\: P_5$ et $P_6$ est l'ensemble des points $M_2(t)$ tels que :

\[\vect{OM_2(t)} =   B_0(t)\vect{OP_3} + B_1(t)\vect{OP_4} + B_2(t)\vect{OP_5} + B_3(t)\vect{OP_6}\]

où $t \in [0~;~1]$ et les $B_i(t)$ sont les polynômes de Bernstein de degré 3 donnés par la	 formule : 

\[B_{i}(t)  = \binom{3}{i}t^{i}(1 - t)^{3 - i}.\]

On rappelle que les coefficients $\binom{3}{i}$ sont des coefficients binomiaux qui peuvent être obtenus par la formule $\binom{3}{i}=\dfrac{3!}{i!(3 - i)!}$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que $B_2(t)=-3t^ 3+3t^2$
\item On admet que  \[\begin{array}{l c l}
B_{0}(t)&=&- t^3 + 3t^2 - 3t + 1\\ 
B_{1}(t)&=&3t^3 - 6t^2 + 3t\\
B_{3}(t)&=&t^3.
\end{array}\]
      \begin{enumerate}
       \item L'arc de courbe $C_2$ est défini par la représentation paramétrique :
       
\[\begin{cases}x=f_2(t)\\y=g_2(t)\end{cases} \textrm{ où } t \in [0~;~1].\]

Montrer que 

\[f_2(t)=12t^3-6t^2-3t+1.\]

	    On admet que :
	    
\[g_2(t)=-22,5t^3+34,5t^2-12t.\]

	\item Étudier les variations de la fonction $f_2$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ et compléter alors le tableau des variations conjointes situés sur l'annexe 3 à rendre avec la copie. On arrondira si nécessaire les valeurs au dixième.	
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Les résultats concernant la fonction $g_2$ notés dans le tableau précédent peuvent être utilisés.\\
Il n'est pas demandé de les retrouver.}

\medskip

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
 \item Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la tangente à la courbe $C_2$ au point $M_2(1)$.
 \item Tracer les tangentes à la courbe $C_2$ aux points $M_2(0)$, $M_2(\frac29)$, $M_2(0,5)$, $M_2(0,8)$ et $M_2(1)$ puis la courbe $C_2$ sur la figure 1 où est déjà représenté l'arc $C_1$.
 \item Le designer trouve que la boucle inférieure de la lettre est trop grande. Pour corriger ce défaut, il souhaite déplacer le point $P_6$, en le gardant sur la droite d'équation $x=4$. Proposer une position possible pour le point $P_6$ qui permettrait de réduire la boucle inférieure de la lettre.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Annexe 1}

\medskip

\psset{unit=1cm,algebraic=true,arrowsize=5pt}
\def\xmin{-3}\def\ymin{-4.5}\def\xmax{10.5}\def\ymax{8.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\parametricplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{1}{22*t^3-51*t^2+30*t|-28*t^3+36*t^2-12*t+4}
\psdot(4.4,2.8)\rput[t](4.4,2.7){$M_1(\alpha)$}
\psdot(5.2,3.15)\rput[bl](5.2,3.15){$M_1(\beta)$}
\psdot(4.2,3.727)\rput[b](4.2,3.8){$M_1(\gamma)$}
% \parametricplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{1}{12*t^3-6*t^2-3*t+1|-22.5*t^3+34.5*t^2-12*t}
\end{pspicture*}

\newpage

\textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Annexe 2}

\medskip

\textbf{Tableau des variations conjointes (partie A question 2.)}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,6.5)
%\psgrid
\psframe(11,6.5)
\psline(0,0.5)(11,0.5)\psline(0,3)(11,3)
\psline(0,5.5)(11,5.5)\psline(0,6)(11,6)
\psline(1,0)(1,6.5)
\rput(0.5,6.25){$t$}\rput(0.5,0.25){$g'_1(t)$}
\rput(0.5,1.75){$g_1(t)$}\rput(0.5,4.25){$f_1(t)$}
\rput(0.5,5.75){$f'_1(t)$}
\uput[u](1.1,5.9){$0$} \uput[u](3.5,5.9){$\alpha$} \uput[u](6,5.9){$\beta$} 
\uput[u](8.5,5.9){$\gamma$} \uput[u](10.85,5.9){$1$}
\uput[u](2.25,5.5){$+$}\uput[u](4.75,5.5){$+$}\uput[u](6,5.5){$0$}
\uput[u](7.25,5.5){$-$}\uput[u](9.25,5.5){$-$}
\uput[u](1.1,3){$0$}\rput(3.5,4.25){4,4}\uput[d](6,5.5){5,2}\rput(8.5,4.25){4,2}
\uput[u](10.85,3){1}
\rput(3.5,0.25){0}\rput(8.5,0.25){0}
\psline{->}(1.4,3.4)(3,4.1)\psline{->}(3.8,4.4)(5.6,5.1)
\psline{->}(6.4,5)(8,4.4)\psline{->}(9,4)(10.6,3.4)
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Annexe 2}

\medskip

\textbf{Tableau des variations conjointes (partie A question 3. b.)}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,6.6)
%\psgrid
\psframe(11,6.6)
\psline(0,0.5)(11,0.5)\psline(0,3)(11,3)
\psline(0,5.5)(11,5.5)\psline(0,6)(11,6)
\psline(1,0)(1,6.6)
\rput(0.5,6.25){$t$}\rput(0.5,0.25){$g'_2(t)$}
\rput(0.5,1.75){$g_2(t)$}\rput(0.5,4.25){$f_2(t)$}
\rput(0.5,5.75){$f'_2(t)$}
\uput[u](1.1,6){$0$} \uput[u](3.5,5.9){$\frac29$} \uput[u](6,5.9){$\frac12$} 
\uput[u](8.5,5.9){$\frac45$} \uput[u](10.85,6){$1$}
\rput(2.25,0.25){$-$}\rput(4.75,0.25){$+$}\rput(3.5,0.25){$0$}
\rput(7.25,0.25){$+$}\rput(9.25,0.25){$-$}\rput(8.5,0.25){$0$}
\uput[d](1.1,3){$0$}\uput[u](3.5,0.5){$- 1,2$}\rput(6,1.75){$-0,2$}\uput[d](8.5,3){1}
\uput[u](10.85,0.5){0}
%\rput(3.5,0.25){0}\rput(8.5,0.25){0}
\psline{->}(1.4,2.5)(3,1)\psline{->}(4,1)(5.25,1.5)
\psline{->}(6.5,2)(8,2.5)\psline{->}(9,2.5)(10.5,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}