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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{15 mai 2023}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\[7pt]15 mai 2023 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres ou établissement privé hors contrat}}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 10 points}

\emph{Les différentes parties de l'exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

Natacha poursuit ses études à Rennes. Elle utilise trois moyens de transports différents pour se rendre à l'université : le bus, le vélo et le métro.

Depuis le début de ses études, elle constate que 40\,\% de ses trajets se font en bus, 25\,\% en vélo et le reste en métro.
Par ailleurs, elle arrive à l'heure :
\begin{itemize}
\item 8 fois sur 10 lorsqu'elle prend le bus,
\item dans 70\,\% des cas lorsqu'elle prend le vélo,
\item dans 85\,\% des cas lorsqu'elle prend le métro.
\end{itemize}

On choisit au hasard un jour au cours duquel Natacha se rend à l'université.
On notera :
\begin{description}
\item[ ] $B$ l'évènement: \og Natacha prend le bus \fg ;
\item[ ] $V$ l'évènement: \og Natacha part en vélo \fg ;
\item[ ] $M$ l'évènement: \og Natacha prend le métro \fg ;
\item[ ] $H$ l'évènement: \og Natacha arrive à l'heure à la université \fg.
\end{description}

On notera H l'évènement contraire de l'évènement H.

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilité illustrant cette situation.
\item Calculer la probabilité qu'elle ait pris le vélo et arrive à l'heure à l'université.
\item Démontrer que $p(H) = \np{0,7925}$.
\item Natacha est arrivée en retard. Quelle est la probabilité qu'elle ait pris le bus ? Arrondir à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Natacha décide d'acheter une voiture. Elle en a trouvé une au prix de \np{6490}~euros. Elle dispose d'un apport de \np{1990}~euros pour cet achat.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel montant doit-elle emprunter ?
		\item Quel pourcentage du prix de la voiture représente le montant emprunté ? Arrondir à 0,01\,\%.
	\end{enumerate}
\item Pour cet emprunt, la banque lui propose un prêt remboursable sur 4 ans par annuité constante au taux annuel de 2,5\,\% .
Vérifier que Natacha devra rembourser \np{1196,18}~\euro{} par an.

On rappelle que pour calculer une annuité constante, on a la formule: $a = V_0 \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$ où $V_0$ est le montant emprunté, $t$ le taux annuel et $n$ le nombre d'annuités.

\item On a construit le tableau d'amortissement du prêt contracté par Natacha.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A & B &C & D &E &F\\ \hline
1	&période&dette en début de période&intérêts&amortis\-sement&annuité&dette en fin de période\\ \hline
2	&1	&	&112,5	&	&\np{1196,18}	&\np{3416,32}\\ \hline
3	&2	&	&		&	&\np{1196,18}	&\\ \hline
4	&3	&	&		&	&\np{1196,18}	&\\ \hline
5	&4	&	&		&	&\np{1196,18}	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs des cellules B2 et F5 ?
		\item Quelle formule a été saisie en cellule C2 et étirée vers le bas pour compléter la
colonne C des intérêts ?
		\item Calculer la valeur de la cellule D2.
		\item Quel est le coût total du crédit ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

On estime que la probabilité qu'un étudiant français arrive en retard à l'université est de $0,2$.

L'ensemble des universités françaises interrogent les étudiants concernant leur ponctualité.

Chacune choisit alors au hasard un échantillon de $150$ étudiants. Le nombre d'étudiants étant assez important, on assimile cette expérience à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $150$ étudiants, associe le nombre d'étudiants qui arrivent en retard à l'université.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Quelle est la probabilité d'avoir exactement 35 étudiants en retard? Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(X \leqslant  30)$. Arrondir le résultat à $0,001$ près.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}	
\item Pour tout échantillon de 150 étudiants, combien d'étudiants en moyenne arriveront avant le début des cours?
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\large{Exercice 2 } \hfill 10 points}

\emph{Les différentes parties de l'exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Le tableau suivant donne le nombre de visiteurs depuis 2016 d'un parc animalier:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2016&2017 &2018&2019\\ \hline
Nombre de visiteurs en millions&1,35&1,44&1,54&1,60\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global entre 2016 et 2019. Arrondir à 0,01\,\%.
\item Vérifier par le calcul que le taux d'évolution annuel moyen entre 2016 et 2019 est
d'environ 5,83\,\%.
\item On a constaté que $1,2$ million de personnes ont visité le parc en 2020.

Retrouve-t-on entre 2019 et 2020, l'évolution annuelle moyenne constatée à la question 2 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Le nombre de naissances dans le parc animalier depuis 2017 est donné dans le tableau ci- dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2017	&2018	&2019 	&2020		&2021\\ \hline
Rang de l'année: $x_i$		&0		&1 		&2 		&3 			&4\\ \hline
Nombre de naissances: $y_i$	&530 	&645	&905	&\np{1100}	&\np{1695}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$, arrondi à $0,001$ près, est de $0,958$.

On effectue le changement de variable $z_i = \ln y$.

On obtient alors le tableau incomplet ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2017	&2018	&2019 	&2020	& 2021\\ \hline
Rang de l'année: $x_i$			&0		&1 		&2 		&3 	& 4\\ \hline
Nombre de naissances: $y_i$		&530	&645	&905	&\np{1100}&\np{1695}\\ \hline
$z_i = \ln y_i$					&6,273	&		&6,808	&7,003&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs de $z_i$, qui permettent de compléter le tableau ci-dessus pour les années 2018 et 2021. Arrondir les résultats à $0,001$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire, arrondi à $0,001$ près, de la série statistique $\left(x_i~;~z_i\right)$.
		\item Comparer les coefficients de corrélation linéaire des séries $\left(x_i~;~y_i\right)$ et $\left(x_i~;~z_i\right)$ et préciser pour quelle série un ajustement affine est-il le plus pertinent.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$, par la méthode des moindres carrées, sous la forme $z = ax + b$, où les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $0,001$~près.
\item On décide d'approcher ce nuage de points par la droite d'équation: 
\[z = 0,29x + 6,23.\]

Calculer le nombre de naissances envisageables en 2023 selon ce modèle d'évolution.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

En 2017, il y avait besoin de $832$ tonnes de nourriture pour alimenter l'ensemble des animaux du parc animalier.

On modélise l'évolution de la quantité de nourriture nécessaire chaque année par une suite $\left(U_n\right)$ où $U_n$ est le nombre de tonnes de nourriture nécessaire pour l'année $2017 + n$.

On a ainsi: $U_0 = 832$.

On suppose que la quantité de nourriture nécessaire augmente chaque année de 1,25\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $U_1$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(U_n\right)$ ? Préciser sa raison.
\item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

Selon ce modèle :

\begin{enumerate}[resume]
\item Quel serait la quantité de nourriture nécessaire en 2023 ? Arrondir à $0,01$ près.
\item À partir de quelle année peut-on envisager une quantité de nourriture supérieure à \np{1000} tonnes par an ?
\end{enumerate}
\end{document}