\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Comptabilité et gestion}, pdftitle = {Métropole - 9 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion\\}} \rfoot{\small{9 mai 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\9 mai 2017 - Comptabilité et gestion\footnote{Candidats libres}}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \bigskip Dans ce problème. on s'intéresse à l'évolution des salaires nets annuels moyens pour des postes à temps complet en France depuis 1950. Tous les salaires sont indiqués en euros. \smallskip En particulier, on a relevé dans le tableau suivant le salaire net annuel moyen (en euros) des salariés en poste à temps complet en France pour chaque année entre 2005 et 2012. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012\\ \hline Salaire net annuel moyen (en euros) &\np{22443} &\np{22809} &\np{23527} &\np{24287} &\np{24626} &\np{25139} &\np{25735} &\np{26106}\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source : Insee. déclaration annuelle de données sociales (DADS)}}\\ \end{tabularx} \end{center} \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip \begin{center}\textbf{PARTIE A: Étude d'une fonction} \end{center} On définit la fonction $f$ sur $\R$ par \[f(x) = 410\text{e}^{0,1x}.\] \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item On admet que le salaire net annuel moyen (exprimé en euros) entre les années 1950 et 1985 est modélisé par la fonction $f$. Dans ce modèle, $f(x)$ est une estimation du salaire net annuel moyen et $x$ le nombre d'années écoulées depuis 1950. Par exemple, $f(1)$ est une estimation du salaire net annuel moyen des salariés en poste à temps complet en 1951. \begin{enumerate} \item Calculer $f(10)$. Arrondir le résultat à l'euro. Interpréter par une phrase dans le contexte de l'exercice le résultat obtenu. \item D'après les données du tableau fourni au début de l'énoncé, ce modèle aurait-il pu convenir pour les années 2005 à 2012 ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B : Taux d'évolution} \medskip À partir des données du tableau fourni au début de l'énoncé : \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux global d'évolution du salaire net annuel moyen entre 2005 et 2012, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\%. \item Calculer le taux moyen annuel d'évolution du salaire net annuel moyen entre 2005 et 2012, exprimé en pourcentage et arrondi à 0,01\,\%. \item En supposant que le salaire net annuel moyen augmente annuellement de 2,2\,\% depuis 2012, quel devrait être ce salaire, arrondi à l'unité, en 2018 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C : Utilisation d'un ajustement affine} \medskip Le tableau suivant, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2004, donne le salaire net annuel moyen $y_i$ (en euros) des salariés en poste à temps complet en France pour chaque année entre 2005 et 2012. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012\\ \hline \small Rang de l'année : $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline \small Salaire net annuel moyen (en euros) : $y_i $ &\np{22443}&\np{22809} &\np{23527} &\np{24287} &\np{24626} &\np{25139} &\np{25735} &\np{26106}\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source : Insee, déclaration annuelle de données sociales (DADS)}} \end{tabularx} \end{center} Un nuage de points représentant la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné sur le graphique situé \textbf{sur le document réponse à fendre avec la copie}. \medskip \begin{enumerate} \item Donner sans justifier le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$. Arrondir $r$ au millième. Expliquer pourquoi le résultat obtenu permet d'envisager un ajustement affine. \item Donner sans justifier l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir au centième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 540x + \np{21900}$. Cette droite est tracée sur le graphique situé sur le document réponse à rendre avec la copie. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le salaire net annuel moyen prévu par ce modèle d'ajustement en 2018. On laissera les traits de construction apparents. \item Selon ce modèle, en quelle année, pour la première fois, le salaire net annuel moyen sera-t-il supérieur à \np{32000}~\euro{} ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \bigskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \bigskip \textbf{PARTIE A : Mathématiques financières} \medskip L'entreprise SAVOL, spécialisée dans la fabrication de drones, souhaite ouvrir une nouvelle chaîne de production afin de commercialiser un nouveau produit. Pour financer cet investissement, elle décide d'emprunter \np{120000}~\euro{} auprès d'un établissement financier. L'emprunt, au taux annuel de 3\,\%, sera remboursé en 5 annuités constantes. \smallskip L'entreprise établit un tableau d'amortissement en essayant une annuité de \np{26500}~\euro. Ce tableau, fourni \textbf{sur le document réponse à rendre avec la copie}, est dressé en calculant pour chaque année: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] I'intérêt : capital en début d'année $\times$ taux d'intérêt \item[$\bullet~~$] l'amortissement : annuité $-$ intérêts \item[$\bullet~~$] le capital en fin d'année : capital en début d'année $-$ amortissement. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la formule saisie en cellule C4, puis recopiée vers le bas, pour calculer les intérêts de l'année. \item Donner la formule saisie en cellule D4, puis recopiée vers le bas, pour calculer l'amortissement. \item Donner la formule saisie en cellule F4, puis recopiée vers le bas, pour calculer le capital restant dû en fin d'année. \item Dans le tableau donné \textbf{sur le document réponse à rendre avec la copie}, compléter la dernière ligne correspondant à l'année 5. \item D'après le tableau d'amortissement précédemment complété, l'annuité doit-elle être inférieure ou supérieure à \np{26500}~\euro{}? Justifier la réponse. \item On rappelle la formule de calcul d'une annuité $a$ constante : $a = C \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}$ où $C$ est le montant emprunté, $t$ le taux annuel et $n$ le nombre d'annuités. \begin{enumerate} \item Calculer l'annuité constante, arrondie à l'euro, permettant de rembourser le capital de \np{120000}~\euro{} emprunté sur 5 ans. \item En déduire le coût total du crédit avec cette nouvelle annuité. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B : Probabilités conditionnelles} \medskip L'entreprise possède actuellement deux chaînes de production, l'une pour des drones à deux hélices et l'autre pour des drones à quatre hélices. Il arrive que les batteries des drones fabriqués aient un défaut et dans ce cas, on dira que les drones sont défectueux. On souhaite avoir une idée du pourcentage de drones défectueux sur l'ensemble de la production. \medskip On prélève $500$~drones dans la production de l'entreprise et on obtient les résultats suivants : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]300 drones possèdent deux hélices, \item[$\bullet~~$]parmi les drones à deux hélices, 2\,\% sont défectueux, \item[$\bullet~~$]parmi les drones à quatre hélices, 96\,\% ne présentent aucun défaut. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip Un drone est choisi au hasard parmi les $500$~drones prélevés. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$A$ : \og le drone possède deux hélices \fg{}: \item[$\bullet~~$]$D$ : \og le drone est défectueux \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur des probabilités : $P(A)$,\: $P_A(D)$ et $P_{\overline{A}}\left(\overline{D}\right)$. \item Représenter la situation par un arbre pondéré de probabilités. \item Calculer la probabilité que le drone possède deux hélices et soit défectueux. \item Montrer que la probabilité qu'un drone pris au hasard soit défectueux est égale à $0,028$. \item Sachant que le drone est défectueux, quelle est la probabilité qu'il possède quatre hélices ? Arrondir le résultat au millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C : Loi normale} \medskip L'entreprise s'intéresse à l'autonomie des batteries produites pour ses drones. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque batterie prélevée dans la production associe sa durée d'autonomie en minutes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $40$ et d'écart-type $4$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la durée moyenne d'autonomie d'une batterie. \item Recopier et compléter la phrase suivante : \og Environ 95\,\% des batteries ont une autonomie comprise entre ...... et ...... minutes. \fg \item Une batterie dont l'autonomie est inférieure à $30$ minutes est rejetée. Déterminer le pourcentage, arrondi à 0,01\,\% près, de batteries rejetées. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe} \vspace{2cm} \textbf{GRAPHIQUE (Exercice 1 -- Partie C)} \medskip \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.00057cm} \begin{pspicture}(-1,-1000)(16.5,14000) \multido{\n=0.0+0.5}{33}{\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](\n,0)(\n,14000)} \multido{\n=0+500}{29}{\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](0,\n)(16,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=21000,Dy=1000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(16.5,14000) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{540 x mul 900 add} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.75](1,1443)(2,1809)(3,2527)(4,3287)(5,3626)(6,4139)(7,4735)(8,5106)\uput[u](15.5,9400){\blue $D$} \end{pspicture} \vspace{2cm} \textbf{Exercice 2 Partie A} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{A} &\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}\\ \hline 1 & &\footnotesize Taux annuel&3\,\% & & &\\ \hline 2 & & & & & &\\ \hline 3 &\footnotesize Année &\footnotesize Capital restant dû en début d'année&\footnotesize Intérêts de l'année&\footnotesize Amortis\-sement du capital&\footnotesize Annuité constante&\footnotesize Capital restant dû en fin d'année\\ \hline 4 &Année 1 &\np{120000,00}&\np{3600,00}&\np{22900,00}&\np{26500,00}&\np{97100,00}\\ \hline 5 &Année 2 &\np{97100,00}&\np{2913,00}&\np{23587,00}&\np{26500,00}&\np{73513,00}\\ \hline 6 &Année 3 &\np{73513,00}&\np{2205,39}&\np{24294,61}&\np{26500,00}&\np{49218,40}\\ \hline 7 &Année 4 &\np{49218,40}&\np{1476,55}&\np{25023,45}&\np{26500,00}&\np{24194,94}\\ \hline 8 &Année 5 & & & & &\\ \hline 9 & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}