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%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2014\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}

\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Pour chaque composant sortant de l'usine, on a constaté qu'il pouvait présenter au maximum deux défauts indépendants. Si au moins un des défauts est constaté, le composant est dit hors d'usage. Si le composant ne présente aucun défaut, on dit qu'il est conforme. 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] Le défaut 1 : la puce électronique est mal placée, cela concerne 2\,\% des composants. 
\item[ ] Le défaut 2 : le composant est surdimensionné, cela concerne 5\,\% des composants.
\end{description} 
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

On prélève au hasard un composant produit par cette entreprise. Tous les composants ont la même probabilité d'être prélevés. On considère les deux évènements suivants : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ]A : \og le composant prélevé présente le défaut 1 \fg{} ; 
\item[ ]B : \og le composant prélevé présente le défaut 2 \fg. 
\end{description} 
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le composant prélevé présente les deux défauts ? 
\item Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit hors d'usage ? 
\item Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit conforme ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

On prélève 100 composants au hasard. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce choix de 100 composants à un tirage avec remise de 100 composants. 

On admet que la probabilité qu'un composant soit conforme est $0,93$. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 composants, associe le nombre de composants conformes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Déterminer l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable aléatoire $X$. On arrondira les résultats si nécessaire à $10^{- 1}$. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement F : \og tous les composants prélevés sont conformes \fg est très proche de $0$. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement F : \og au moins deux composants prélevés sont hors d'usage \fg. Arrondir le résultat à $10^{- 2}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} 

\medskip

On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ par une variable aléatoire $Z$ qui suit la loi normale de moyenne $m = 93$ et d'écart type $\sigma = 2,55$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(89 \leqslant Z \leqslant 95)$. On arrondira le résultat à $10^{- 4}$. 
\item Calculer $P(Z \geqslant 89)$. On arrondira le résultat à $10^{- 4}$. 
\item Déterminer le plus grand nombre entier $n$ tel que $P(Z  \geqslant n) \geqslant 0,95$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

Une marque a mis sur le marché une nouvelle machine destinée aux entreprises. 

\medskip

On a relevé pendant six trimestres consécutifs, en fin du trimestre, la quantité de machines vendues au total depuis la première mise sur le marché. 

\medskip

Le tableau suivant indique cette quantité, notée $y$, en fonction du rang $t$ du trimestre.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ &1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline 
$y$ &256&330 	&423 	&544 	&698 	&896\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
 
On sait donc par exemple qu'en fin de première année, c'est-à-dire lorsque $t = 4$, cette marque a vendu $544$~machines. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage des six points de coordonnées $(t~;~y)$ de ce tableau sur une feuille de papier millimétré. 

Pour cela, construire un repère orthogonal du plan en prenant pour unités graphiques : 


\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 1~cm pour un trimestre sur l'axe des abscisses, gradué de $0$ à $100$ ; 
\item 1~cm pour 100~machines en ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $y$ en $t$ ainsi que le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Arrondir les valeurs au millième. 
\item Tracer cette droite sur le graphique précédent. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer ce point sur le graphique précédent. 
\item À l'aide de cette régression, donner une estimation du nombre de machines vendues 2~ans après le lancement. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie on modélise les quantités de machines vendues depuis le lancement par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$ où $n$ est le rang du trimestre mesuré à partir de la mise sur le marché de la machine. 

\medskip

On pose $u_1 = 256$ et $u_3 = 423$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_3$ en fonction de $q$. 
\item En déduire la valeur de $q^2$ puis calculer une valeur approchée de $q$ à 0,01 près. 
\item On admet que $u_n = 256 \times 1,28^{n -1}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. 

À l'aide de ce modèle  : 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une estimation du nombre de machines vendues 2~ans après le lancement. 
		\item Déterminer le rang du trimestre à partir duquel la quantité de machines vendues dépassera \np{2000}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~10] par 

\[f(x) = 200\text{e}^{0,25x}.\] 

\begin{enumerate}
\item On modélise la quantité totale de machines vendues depuis le lancement jusqu'au trimestre de rang $n$ par $f(n)$. Justifier ce choix. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable et on désigne par $f'$ sa dérivée. Calculer $f'(x)$ et donner le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10]. 
		\item Le nombre total de machines qui pourront être vendues ne dépassera jamais \np{5000}. Au delà de quelle année le modèle décrit dans la question précédente ne pourra certainement plus convenir ? 
		\item Soit $I$ l'intégrale $\displaystyle\int_1^{10} f(x)\:\text{d}x$.
		
Montrer que $I = 800\left(\text{e}^{2,5} -  \text{e}^{0,25}\right)$. 
		\item En déduire la valeur moyenne $V_m$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10]. Donner une valeur arrondie à l'unité.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}