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%Tapuscrit : Nicolas Baeyens
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Polynésie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{mai 2012}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2012~\decofourright\\Polynésie  Comptabilité et gestion des organisations}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Ajustement affine}

\medskip
 
Pour les besoins d'une usine qui fabrique des puces, l'entreprise TERRARE extrait du minerai rare. Sa production annuelle $X$ (en tonnes) n'excède pas 2 tonnes et le coût total annuel de la production est noté $Y$ en milliers d'euros (on notera 1 k\euro{} $= 10^3$ \euro).
 
Les résultats des premières années d'exploitation sont consignés dans le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
année 				&2006 	&2007 	&2008 &2009 &2010\\ \hline 
$x_{i}$ (en tonnes) &0,52 	&0,77 	&1,01 &1,36 &1,81\\ \hline 
$y_{i}$ (en k\euro)	&186,7 	&230,9 	&283,1&381,3&558,9\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthogonal.
 
Unités graphiques : 1 cm pour 0,1 unité sur l'axe des abscisses et 2~cm pour 100~unités sur l'axe des ordonnées.
 
Construire le nuage de points associé à cette série statistique sur une feuille de papier millimétré. 
\item La nature de l'activité et le graphique laissent penser qu'un ajustement exponentiel est approprié.
 
On pose $z = \ln y$. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau donnée en annexe à rendre avec la copie.
		
Arrondir à $10^{-3}$ les valeurs de $z_{i}$. 
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $z$. Arrondir à $10^{-3}$. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis à $10^{- 2}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire du 2. c. une expression de $y$ en fonction de $x$, de la forme $y = B\text{e}^{ax}$. Arrondir $B$ à l'entier le plus proche. 
		\item En déduire une estimation du coût de production pour 2~tonnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 0,4\text{e}^{0,3x}.\]
 
On désigne par $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal et par $f'$ sa fonction dérivée. 

Unités graphiques : 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 2~unités sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		 
Étudier le signe de $f'(x)$ et donner le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
 
Tracer $C$ sur une deuxième feuille de papier millimétré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Calcul intégral et applications}

\medskip
 
On admet que le poids moyen de matière extraite, entre l'année 2006 de rang 1 et l'année 2010 de rang 5, est donné par 

\[P_{m} = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $P_{m} = \dfrac{1}{3}\left(\text{e}^{1,5}  - \text{e}^{0,3}\right)$.
\item Donner la valeur approchée de $P_{m}$ arrondie à $10^{-3}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip
 
Un fabricant d'ampoules fluocompactes dispose de trois chaînes de montage A, B, C :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item la chaîne de montage A fournit 20\,\% de la production totale de l'usine, 
\item la chaîne de montage B fournit 20\,\% de la production totale de l'usine, 
\item la chaîne de montage C fournit 60\,\% de la production totale de l'usine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Les ampoules qui sortent des trois chaînes sont testées :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item le pourcentage d'ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage A est 1,2\,\%, 
\item le pourcentage d'ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage B est 3,3\,\%, 
\item le pourcentage d'ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage C est 1,5\,\%.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item A l'événement \og l'ampoule est issue de la chaîne de montage A \fg 
\item B l'événement \og l'ampoule est issue de la chaîne de montage B \fg 
\item C l'événement \og l'ampoule est issue de la chaîne de montage C \fg 
\item D l'événement \og l'ampoule est défectueuse\fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le pourcentage d'ampoules défectueuses sur la production totale de l'usine s'élève à 1,8\,\%. 
\item Calculer la probabilité qu'une ampoule provienne de la chaîne B sachant qu'elle est défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie les résultats seront arrondis à \boldmath$10^{-2}$\unboldmath}

\medskip
 
On prélève au hasard 50 ampoules dans la production totale d'une journée de l'usine. 

On assimile ce tirage à un tirage avec remise. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 ampoules, associe le nombre d'ampoules qui sont défectueuses. 

On rappelle que la probabilité pour qu'une ampoule prise au hasard soit défectueuse est de $0,018$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer $P(X = 2)$. 
\item Calculer la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{C. Loi normale}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie les résultats seront arrondis à } \boldmath $10^{-4}$

\medskip
 
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à toute ampoule prélevée au hasard dans la production journalière de l'usine, associe sa durée de vie en heures.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne \np{8300} et d'écart type $250$.
 
Calculer la probabilité $P(Y \leqslant \np{8615})$.
\item Ces ampoules sont vendues dans le commerce, mais les informations concernant leur durée de vie ont dû être légèrement modifiées pour tenir compte du nombre moyen d'allumages et d'extinctions.
 
On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $\sigma$. 

On trouve, avec les précisions fournies par la table ou la calculatrice, que $P(Y \leqslant  \np{7436}) = \np{0,2912}$ et  

$P(Y \leqslant  \np{8204}) = \np{0,8531}$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $m$ et $\sigma$ vérifient l'équation $1,05\sigma + m = \np{8204}$. 
		\item En admettant que $m$ et $\sigma$ vérifient également l'équation $- 0,55 \sigma + m = \np{7436}$, déterminer $m$ et $\sigma$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{3cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
A. 2.  a. \textbf{tableau 1}
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
année 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010 \\ \hline
$x_{i}$	&0,52 	&0,77 	&1,01 	&1,36 	&1,81 \\ \hline 
$y_{i}$	&186,7 	&230,9 	&283,1 	&381,3 	&558,9 \\ \hline 
$z_{i}$	&		&		&		&		& \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}