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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations session 2003}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

Une usine fabrique deux types de pièces, notées $a$ et $b$, pour du matériel électrique.

Les pièces sont réalisées dans deux matériaux différents, métal et céramique.

\emph{Dans ce qui suit, sauf indication contraire, tous les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-2}$.}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A -- Organisation de données et calculs de probabilité} 
\end{center}

On admet que dans un stock de \np{10000} pièces :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 40\,\% des pièces fabriquées sont en céramique ;
\item[$\bullet~$] 30\,\% des pièces fabriquées sont de type $a$ ;
\item[$\bullet~$] dans les pièces de type $b$, il y autant de pièces métalliques que de pièces en céramique.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau ci-dessous à l'aide des informations précédentes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& Nombre de pièces de type $a$&Nombre de pièces de type $b$&Total\\ \hline%
Nombre de pièces métalliques &&&\\ \hline%
Nombre de pièces en céramique&&&\\ \hline%
Total&&&\np{10000}\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\item On prélève une pièce au hasard dans le stock de \np{10000} pièces.

Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies. On désigne par :

\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og la pièce est du type $a$ \fg{} ;
\item[ ] $B$ l'évènement \og la pièce est en métal \fg{} ;
\item[ ] $M$ l'évènement \og la pièce est en métal \fg{} ;
\item[ ] $M$ l'évènement \og la pièce est en céramique \fg. 
\end{description}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(A \cap C)$.
		\item Calculer la probabilité que la pièce soit de type $a$ ou en céramique.
		\item On note $p_{A}(C) = p(C/A)$ la probabilité de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
		
Calculer $p_{A}(C)$.
		\item Calculer la probabilité qu'une, pièce soit en métal sachant qu'elle est de type $b$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{Partie B -- Loi binomiale} \end{center}

On prélève au hasard 10 pièces dans la production d'une journée. Cette production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10~pièces.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 10~pièces, associe le nombre de pièces en céramique de ce prélèvement.
On suppose que la probabilité de l'évènement \og la pièce est en céramique \fg{} est 0,4.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux pièces en céramique.
\item Calculer la probabilité d'obtenir au plus deux pièces en céramique.
\end{enumerate}
	
\begin{center}\textbf{Partie C -- Loi normale} \end{center}

Dans cette partie, on s'intéresse à la masse des pièces fabriquées. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute pièce prélevée 	au hasard dans un stock important de ces pièces associe sa masse, en grammes. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de moyenne 342 et d'écart-type 20.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(Y \leqslant 368)$.
\item Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans ce stock ait une masse supérieure ou égale à 330~grammes.
\item Calculer $M$ tel que $p(Y \leqslant M) = 0,85$. Arrondir à l'unité.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A--Étude d'une fonction} \end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par :

\[f(x) = \dfrac{1}{1 - \ln 2}\left[x - \ln (x + 1)\right]\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unité graphique 10~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f'(x) = \dfrac{1}{1 - \ln 2}\dfrac{x}{x + 1}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~1].
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&0,1&0,2&0,5&0,8&0,9&1\\ \hline%
$f(x)$&&0,02&&&0,70&& \\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~1] par $g(x) = x - f(x)$.

On admet que $g$ est croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{\ln 2} - 1\right]$ et que $g$ est décroissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\ln 2} - 1~;~1\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire le tableau de variations de $g$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ sur [0~;~1].
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.

(On rappelle que l'unité graphique est 10~cm.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie B--Application économique} \end{center}

\medskip

On appelle masse salariale la somme des salaires versés chaque mois par une entreprise. La répartition de la masse salariale entre les employés peut être décrite par une fonction $f$, telle que $f(x)$ représente le pourcentage de salaires perçus par le pourcentage $x$ de salariés les moins bien rémunérés. Par exemple $f(0,8) = 0,70$ signifie que 70\,\% de la masse salariale totale est constituée de la somme des salaires perçus par les 80\,\% des employés les moins bien rémunérés.

Une telle fonction doit vérifier les conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $x \in [0~ ;~1], \quad f(0) = 0, \quad f(1) = 1$ ;
\item[$\bullet~$] $f$ est croissante sur [0~;~1] ;
\item[$\bullet~$] pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \leqslant x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $f$ définie dans la partie A peut décrire la répartition de la masse salariale d'une entreprise.
\item En utilisant la fonction $f$ de la partie A, donner :
	\begin{enumerate}
		\item le pourcentage de la masse salariale perçue par les 10\,\% des employés les moins bien rémunérés.
		\item le pourcentage de la masse salariale perçue par les 10\,\% des employés les mieux rémunérés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}