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%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie novembre 2012}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2012~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}

\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des conserves alimentaires dont l'étiquette annonce une masse de 250~grammes.

Les masses obtenues pour un échantillon de 500~conserves prises au hasard sont données dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Masse (en g) &[235~;~240[ &[240~;~245[ &[245~;~250[ &[250~;~255[&[255~;~260[\\ \hline 
Nombre de conserves &33 &67 &217 &132 &51\\ \hline
\end{tabularx} 

\bigskip

\textbf{Partie A : Probabilités conditionnelles}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, calculer, en utilisant les milieux des classes, la masse moyenne ainsi que l'écart type a des conserves de cet échantillon. On fournira les valeurs arrondies au dixième. 
		\item Calculer le pourcentage des conserves alimentaires ayant une masse comprise entre 240 et 255 grammes.
	\end{enumerate} 
\item On prélève au hasard une conserve de l'échantillon. 
On considère les deux évènements suivants :
 
$A$ : \og la conserve a une masse strictement inférieure à 250 grammes \fg{} ; 

$B$ : \og la conserve a une masse au moins égale à 240 grammes \fg.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(A)$ et $P(B)$.
		\item Déterminer $P_{B}(A)$. Arrondir au millième.
		\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : Loi binomiale}

\medskip
 
Parmi l'échantillon de 500~conserves, on choisit successivement, au hasard et avec remise, 30~conserves. On note $X$ la variable aléatoire qui à un tel prélèvement associe le nombre de conserves de masse strictement inférieure à 250~grammes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de $X$. 
		\item Interpréter ce résultat par une phrase.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $P(X = 15)$ et $P(X = 20)$ (arrondir au millième).
 
Interpréter à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C : Loi normale}

\medskip
 
Dans cette partie, on admet que la variable aléatoire $Y$ qui à chaque conserve associe sa masse suit la loi normale de paramètres $m = 249$ et $\sigma = 5$.
 
On précisera la méthode utilisée (lecture de tables ou utilisation de la calculatrice).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(240 < y < 255)$ et comparer avec le résultat obtenu à la question 1 b de la partie A. 
\item Déterminer le nombre réel $a$ tel que $P(249 - a \leqslant Y \leqslant 249 + a) = 0,97$.
 
Interpréter à l'aide d'une phrase. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\begin{center}
\emph{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : Valeur actuelle et valeur acquise}

\medskip
 
On place une somme d'argent notée $S_{0}$ au taux annuel de 5,5\,\%, ce placement étant à intérêts composés. 

Pour tout entier naturel $n, S_{n}$ désigne le capital disponible au bout de $n$ années.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(S_{n}\right)$ est géométrique. Préciser la raison de cette suite. 
\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $S_{0}$ et de $n$. 
\item En déduire $S_{0}$ en fonction de $S_{n}$ et de $n$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes}

\medskip
 
Un artisan souhaite acheter un nouveau matériel en janvier 2013.
 
Le fournisseur lui fait une offre d'achat à crédit au taux annuel de 5,5\,\% qui consiste en le versement de quatre annuités du même montant égal à $\np{3000}$~\euro{} comme l'indique le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\small 1\up{er} versement Décembre 2013 &\small  2\up{e} versement Décembre 2014&\small 3\up{e} versement Décembre 2015&\small 4\up{e} versement Décembre 2016 \\ \hline
\small Achat du nouveau matériel livré en janvier 2013 &
$u_{0} = \np{3000}$~\euro& $u_{1} = \np{3000}$& $u_{2} = \np{3000}$&$u_{3} = \np{3000}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le prix comptant que l'artisan pourrait demander au fournisseur du matériel est la somme \textbf{des valeurs actuelles au début 2013} des quatre annuités $u_{0}, u_{1}, u_{2}$ et $u_{3}$. 

On notera $a_{0}, a_{1}, a_{2}$, et $a_{3}$ les valeurs actuelles correspondantes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $a_{0} = \dfrac{u_{0}}{1,055}, a_{1} = \dfrac{u_{0}}{1,055^2}, a_{2} = \dfrac{u_{0}}{1,055^3}$ et $a_{3} = \dfrac{u_{0}}{1,055^4}$. 
\item En déduire que le prix comptant du matériel facturé à l'artisan est : 

\[C = \dfrac{\np{3000}}{1,055^4} +  \dfrac{\np{3000}}{1,055^3}+ \dfrac{\np{3000}}{1,055^2} + \dfrac{\np{3000}}{1,055}.\]
 
\item Justifier que : $C = \dfrac{\np{3000}}{1,055^4}\left( 1 + 1,055 + 1,055^2 + 1,055^3\right)$.  
\item On rappelle que pour $q$ différent de 1 et pour tout entier naturel $n$,

\[1 + q + q^2 + \ldots + q_{n} = \dfrac{q^{n + 1} - 1}{q - 1}\] 

En déduire que $C = \np{3000} \times \dfrac{1 - 1,055^{- 4}}{0,055}$.
\item Donner l'arrondi, au centime d'euro, du prix comptant que l'artisan acceptera de payer pour son nouveau matériel. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude d'une fonction}

\medskip
 
On admet que le prix comptant au taux d'actualisation de 5,5\,\% d'une suite de $n$ annuités constantes égales à \np{3000}~\euro{} est $C = \np{3000} \times \dfrac{1 - 1,055^{-n}}{0,055}$.

Dans la partie précédente, on a obtenu ce résultat avec $n = 4$.

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~8] par 

\[f(x) = \dfrac{\np{3000}}{0,055} \left(1 - 1,055^{-x}\right).\]
 
On rappelle que $1,055^{- x} = \text{e}^{- x \ln (1,055)}$.

Sa courbe $\mathcal{C}_{f}$ est donnée en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On envisage soit un paiement comptant soit un paiement à crédit.
 
Quel est le prix comptant associé à un crédit de deux ans an taux de 5,5\,\% (annuités constantes égales à \np{3000}~\euro) ?
 
Quelle est l'économie réalisée si on choisit le paiement comptant ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $f^{\prime}(x) = \dfrac{\np{3000}}{0,055} \times \ln (1,055) \times 1,055^{-x}$  où $f^{\prime}$ est la fonction dérivée de $f$ sur [0~;~8].
		\item Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ sur [0~;~8]. 
		\item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	\end{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement le nombre d'années de versements de crédit correspondant à un prix comptant inférieur à \np{15000}~\euro.
 
Les constructions utiles seront reportées sur l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe (à rendre avec la copie)\\Exercice 2}
\medskip
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\end{center}
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