\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pgf,tikz} \usetikzlibrary{arrows} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS CGO}, pdftitle = {Métropole - 12 mai 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations\\}} \rfoot{\small{12 mai 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\12 mai 2016 - Comptabilité et gestion des organisations}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \bigskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \begin{center} \textbf{Partie A -- Probabilités conditionnelles}\end{center} Pour contacter une compagnie d'assurance, deux possibilités sont offertes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] se rendre en agence; \item[$\bullet~~$] à distance par téléphone. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le responsable du pôle \og satisfaction client \fg{} décide de réaliser une enquête afin de savoir si les clients qui se rendent à l'agence ou qui contactent la compagnie par téléphone sont satisfaits de l'accueil. \`A l'issue de l'enquête, réalisée auprès de \np{1000} clients, les résultats sont les suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]380 se sont rendus en agence \item[$\bullet~~$]parmi les clients qui se sont rendus en agence, 93\,\% se sont déclarés satisfaits de l'accueil, \item[$\bullet~~$]parmi les clients qui ont téléphoné, 15\,\% ont déclaré qu'il n'étaient pas satisfaits de l'accueil. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $A$ : \og Le client s'est rendu en agence \fg \item[ ] $S$ : \og Le client est satisfait de l'accueil \fg \end{description} \setlength\parindent{0mm} On rappelle que l'évènement contraire de $A$ se note $\overline{A}$ , que la probabilité de l'évènement $A$ se note $P(A)$ et que la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé se note $P_B(A)$. Dans toute cette partie, les probabilités seront arrondies à $10^{- 4}$, si nécessaire. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur des probabilités: $P(A),\: P_A(S)$ et $P_{\overline{A}}\left(\overline{S}\right)$. \item L'arbre de probabilités donné en annexe à rendre avec la copie représente la situation. Compléter celui-ci. \item Calculer la probabilité que le client se soit rendu en agence et qu'il ait été satisfait de l'accueil. \item Montrer que la probabilité de $S$ est \np{0,8804}. \item Le responsable a pour objectif qu'il y ait moins de 10\,\% clients non satisfaits par l'accueil. Cet objectif est-il atteint? \item Sachant que le client a été satisfait, quelle est la probabilité qu'il se soit rendu en agence? \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{Partie B -- Loi normale}\end{center} La compagnie d'assurances s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2016 sur les véhicules qu'elle assure. On note $X$ la variable aléatoire qui â chaque sinistre associe son coût en euros. L'étude des années précédentes permet de supposer que $X$ suit la loi normale d'espérance \np{1200} et d'écart type $200$. \medskip \begin{enumerate} \item La compagnie estime que pour l'année 2016, elle devra faire face à \np{10000} sinistres. À combien peut-elle estimer le coût de l'ensemble de ces sinistres ? \item Sans utiliser la calculatrice, expliquer pourquoi on peut estimer qu'environ 95\,\% des sinistres auront un coût compris entre $800$ et \np{1600} euros. \item Par la méthode de votre choix, calculer $P(X > \np{1000})$. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$. \item À l'aide de la calculatrice, estimer pour l'année 2016 le pourcentage de sinistres dont le coût sera compris entre \np{1000} et \np{1500}~euros. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie C -- Loi binomiale}\end{center} Un employé prend au hasard $10$ dossiers de sinistres. Ce tirage est assimilé â un tirage avec remise car le nombre de dossiers est très grand. On suppose que la probabilité que le coût du sinistre dépasse \np{1000} euros est $0,84$. Soit $Y$ la variable aléatoire qui pour un lot de 10 dossiers pris au hasard indique le nombre de dossiers du lot dont le coût est supérieur à \np{1000} euros. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité que dans le lot prélevé par l'employé, tous les dossiers aient un cout supérieur à \np{1000} euros. Arrondir la probabilité à $10^{-3}$. \item Calculer la probabilité que l'employé obtienne dans le lot prélevé au moins six dossiers dont le coût est supérieur à \np{1000}~euros. Arrondir la probabilité à $10^{-3}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \begin{center} \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes\\ Un formulaire est disponible en fin d'exercice}\end{center} \textbf{Partie A -- Étude d'une fonction} \medskip La population d'une ville entre le 1\up{er} janvier 2015 et le 1\up{er} janvier 2030 est modélisée par la fonction définie sur [0~;~15] par : \[f(x) = \dfrac{40 x}{x^2 + 25} + 15.\] Dans ce modèle, $f(x)$ est le nombre d'habitants de la ville en milliers et $x$ le nombre d'années écoulées depuis les 1\up{er} janvier 2015. Par exemple, $f(2)$ est une estimation du nombre d'habitants de la ville (en milliers) le 1\up{er} janvier 2017. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'habitants le 1\up{er} janvier 2015. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée \begin{enumerate} \item Montrer, en détaillant les calculs que, pour tout nombre réel $x$ de [0~;~15], \[f'(x) = \dfrac{- 40 (x - 5)(x + 5)}{\left(x^2 + 25\right)^2}.\] \item Étudier le signe de $x - 5$ sur l'intervalle [0~;~15]. \item En déduire le signe de $f'(x)$ sur [0~;~15] puis le tableau de variation complet de $f$ sur [0~;~15]. \end{enumerate} \item En utilisant le modèle et les résultats obtenus précédemment, à quelle date la population de la ville sera-t-elle maximale et quel sera le nombre d'habitants ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B -- Calcul intégral} \medskip On note $I = \displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A. \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $F$ est définie sur [0~;~15] par \[F(x) = 20 \ln \left(x^2 + 25\right) + 15 x.\] Démontrer que, $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~15]. \item Sans calculatrice, montrer que $I = 20 \ln 2 + 75$, en précisant les étapes du calcul. \item En déduire une estimation de la population moyenne de la ville entre le 1\up{er}~janvier 2015 et le 1\up{er} janvier 2030. Arrondir cette estimation à la centaine d'habitants. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C -- Suites numériques} \medskip Dans cette ville, on compare l'évolution de la fréquentation de deux écoles A et B. En 2015, l'école A compte $310$ élèves et l'école B en compte $280$. On fait l'hypothèse que, chaque année, l'effectif de l'école A augmente de 10 élèves tandis que celui de l'école B augmente de 5\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que le nombre d'élèves de l'école B pour l'année $2015 + n$ peut être modélisé par une suite géométrique $\left(b_n\right)$ dont on précisera la raison et le premier terme $b_0$. \item La capacité de l'école B est de $450$ élèves. L'école B pourra-t-elle accueillir tous les élèves prévus par le modèle en 2025 ? \item La feuille de calcul en annexe présente les prévisions d'effectifs des deux écoles pour les années à venir. Les résultats y sont arrondis à l'unité. Quelle formule peut-on écrire en C3 pour obtenir par recopie vers le bas les effectifs de l'école A ? Compléter sur \textbf{l'annexe à rendre avec la copie} la colonne C avec les valeurs manquantes. \item On considère l'algorithme ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|l|X|}\hline 1.&\textbf{Variables} : & $N$ entier, $A$ et $B$ réels\\ 2.&\textbf{Initialisation} : & $N = 0,\: A = 310$ et $B = 280$\\ 3.&\textbf{Traitement} : &TANT QUE $A \geqslant B$\\ 4.& &affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\ 5.& &affecter à $B$ la valeur $1,05 \times B$\\ 6.& &affecter à $A$ la valeur $A + 10$\\ 7.& &Fin TANT QUE\\ 8.&\textbf{Sortie} : & Afficher $N$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelle est la valeur de $N$ affichée à la sortie de cet algorithme ? Que représente cette valeur de $N$ dans le contexte de l'énoncé ? \end{enumerate} \bigskip \renewcommand\arraystretch{1.7} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\large \textbf{Formulaire}}\\ Si $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I,\: v$ ne s'annulant pas sur $I$, alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est définie et dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par :\\ \multicolumn{1}{|c|}{$\left(\dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$}\\ Si $u$ est une fonction strictement positive, définie et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $(\ln u)$ est définie et dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par :\\ \multicolumn{1}{|c|}{$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$}\\ $a$ et $b$ étant deux nombres strictement positifs on a : $\ln a - \ln b = \ln \dfrac{a}{b}$.\\ Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$ (avec $a < b$) alors sa valeur moyenne sur $[a~;~b]$ est :\\ \multicolumn{1}{|c|}{\rule[-5mm]{0mm}{10mm}$\dfrac{1}{b - a}\times \displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t$}\\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{center} {\large\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 1 - Partie A} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A$}\naput{\ldots}} {\TR{$S$}\naput{\ldots} \TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,62}} {\TR{$S$}\naput{0,85} \TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots} } } \vspace{3cm} \textbf{Exercice 2 - Partie C} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B &C &D\\ \hline 1&Année &$n$ &école A&école B\\ \hline 2&2015 &0 &310 &280\\ \hline 3&2016 &1 & &294\\ \hline 4&2017 &2 & &309\\ \hline 5&2018 &3 & &324\\ \hline 6&2019 &4 & &340\\ \hline 7&2020 &5 & &357\\ \hline 8&2021 &6 & &375\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}