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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations\\}}
\rfoot{\small{12 mai  2016}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\12  mai 2016 - Comptabilité et gestion des organisations}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\begin{center}
\textbf{Partie A -- Probabilités conditionnelles}\end{center}

Pour contacter une compagnie d'assurance, deux possibilités sont offertes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] se rendre en agence;
\item[$\bullet~~$] à distance par téléphone.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Le responsable du pôle \og satisfaction client \fg{} décide de réaliser une enquête afin de savoir si les clients qui se rendent à l'agence ou qui contactent la compagnie par téléphone sont satisfaits de l'accueil.
 
\`A l'issue de l'enquête, réalisée auprès de \np{1000} clients, les résultats sont les suivants :
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]380 se sont rendus en agence
\item[$\bullet~~$]parmi les clients qui se sont rendus en agence, 93\,\% se sont déclarés satisfaits de l'accueil,
\item[$\bullet~~$]parmi les clients qui ont téléphoné, 15\,\% ont déclaré qu'il n'étaient pas satisfaits de l'accueil.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On interroge au hasard un client.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og Le client s'est rendu en agence \fg
\item[ ] $S$ : \og Le client est satisfait de l'accueil \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que l'évènement contraire de $A$ se note $\overline{A}$ , que la probabilité de l'évènement $A$ se note $P(A)$ et que la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé se note $P_B(A)$.

Dans toute cette partie, les probabilités seront arrondies à $10^{- 4}$, si nécessaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur des probabilités: $P(A),\: P_A(S)$ et $P_{\overline{A}}\left(\overline{S}\right)$.
\item L'arbre de probabilités donné en annexe à rendre avec la copie représente la situation. Compléter celui-ci.
\item Calculer la probabilité que le client se soit rendu en agence et qu'il ait été satisfait de l'accueil.
\item Montrer que la probabilité de $S$ est \np{0,8804}.
\item Le responsable a pour objectif qu'il y ait moins de 10\,\% clients non satisfaits par l'accueil. Cet objectif est-il atteint?
\item Sachant que le client a été satisfait, quelle est la probabilité qu'il se soit rendu en agence?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie B -- Loi normale}\end{center}

La compagnie d'assurances s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2016 sur les véhicules qu'elle assure. On note $X$ la variable aléatoire qui â chaque sinistre associe son coût en euros.

L'étude des années précédentes permet de supposer que $X$ suit la loi normale d'espérance \np{1200} et d'écart type $200$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La compagnie estime que pour l'année 2016, elle devra faire face à \np{10000} sinistres. À combien peut-elle estimer le coût de l'ensemble de ces sinistres ?
\item Sans utiliser la calculatrice, expliquer pourquoi on peut estimer qu'environ 95\,\% des sinistres auront un coût compris entre $800$ et \np{1600} euros.
\item Par la méthode de votre choix, calculer $P(X > \np{1000})$. 

Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$.
\item À l'aide de la calculatrice, estimer pour l'année 2016 le pourcentage de sinistres dont le coût sera compris entre \np{1000} et \np{1500}~euros.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C -- Loi binomiale}\end{center}

Un employé prend au hasard $10$ dossiers de sinistres. Ce tirage est assimilé â un tirage avec remise car le nombre de dossiers est très grand.

On suppose que la probabilité que le coût du sinistre dépasse \np{1000} euros est $0,84$.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui pour un lot de 10 dossiers pris au hasard indique le nombre de dossiers du lot dont le coût est supérieur à \np{1000} euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que dans le lot prélevé par l'employé, tous les dossiers aient un cout supérieur à \np{1000} euros. Arrondir la probabilité à $10^{-3}$.
\item Calculer la probabilité que l'employé obtienne dans le lot prélevé au moins six dossiers dont le coût est supérieur à \np{1000}~euros. Arrondir la probabilité à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}
\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes\\
Un formulaire est disponible en fin d'exercice}\end{center}

\textbf{Partie A -- Étude d'une fonction}

\medskip

La population d'une ville entre le 1\up{er} janvier 2015 et le 1\up{er} janvier 2030 est modélisée par la fonction définie sur [0~;~15] par :

\[f(x) = \dfrac{40 x}{x^2 + 25} + 15.\]

Dans ce modèle, $f(x)$ est le nombre d'habitants de la ville en milliers et $x$ le nombre d'années écoulées depuis les 1\up{er} janvier 2015.

Par exemple, $f(2)$ est une estimation du nombre d'habitants de la ville (en milliers) le 1\up{er} janvier 2017.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'habitants le 1\up{er} janvier 2015.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, en détaillant les calculs que, pour tout nombre réel $x$ de [0~;~15], 
		
\[f'(x) = \dfrac{- 40 (x - 5)(x + 5)}{\left(x^2 + 25\right)^2}.\]

		\item Étudier le signe de $x - 5$ sur l'intervalle [0~;~15].
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur [0~;~15] puis le tableau de variation complet de $f$ sur [0~;~15].
	\end{enumerate}
\item En utilisant le modèle et les résultats obtenus précédemment, à quelle date la population de la ville sera-t-elle maximale et quel sera le nombre d'habitants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B -- Calcul intégral}

\medskip

On note $I = \displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ est définie sur [0~;~15] par 

\[F(x) = 20 \ln \left(x^2 + 25\right) + 15 x.\]

Démontrer que, $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~15].

\item Sans calculatrice, montrer que $I = 20 \ln 2 + 75$, en précisant les étapes du 

calcul.
\item En déduire une estimation de la population moyenne de la ville entre le 1\up{er}~janvier 2015 et le 1\up{er} janvier 2030. Arrondir cette estimation à la centaine d'habitants.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C -- Suites numériques}

\medskip

Dans cette ville, on compare l'évolution de la fréquentation de deux écoles A et B. En 2015, l'école A compte $310$ élèves et l'école B en compte $280$. On fait l'hypothèse que, chaque année, l'effectif de l'école A augmente de 10 élèves tandis que celui de l'école B augmente de 5\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le nombre d'élèves de l'école B pour l'année $2015 + n$ peut être modélisé par une suite géométrique $\left(b_n\right)$ dont on précisera la raison et le premier terme $b_0$.
\item La capacité de l'école B est de $450$ élèves.

L'école B pourra-t-elle accueillir tous les élèves prévus par le modèle en 2025 ?
\item La feuille de calcul en annexe présente les prévisions d'effectifs des deux écoles pour les années à venir. Les résultats y sont arrondis à l'unité. Quelle formule peut-on écrire en C3 pour obtenir par recopie vers le bas les effectifs de l'école A ?

Compléter sur \textbf{l'annexe à rendre avec la copie} la colonne C avec les valeurs manquantes.
\item On considère l'algorithme ci-dessous. 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|l|X|}\hline
1.&\textbf{Variables} :			& $N$ entier, $A$ et $B$ réels\\
2.&\textbf{Initialisation} :	& $N = 0,\: A = 310$ et $B = 280$\\
3.&\textbf{Traitement} :		&TANT QUE $A \geqslant B$\\
4.&								&affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
5.&								&affecter à $B$ la valeur $1,05 \times B$\\
6.&								&affecter à $A$ la valeur $A + 10$\\
7.&								&Fin TANT QUE\\
8.&\textbf{Sortie} :			& Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle est la valeur de $N$ affichée à la sortie de cet algorithme ?

Que représente cette valeur de $N$ dans le contexte de l'énoncé ?
\end{enumerate}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\large \textbf{Formulaire}}\\
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I,\: v$ ne s'annulant pas sur $I$, alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est définie et dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par :\\ 
\multicolumn{1}{|c|}{$\left(\dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$}\\
Si $u$ est une fonction strictement positive, définie et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $(\ln u)$ est définie et dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par :\\
\multicolumn{1}{|c|}{$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$}\\
$a$ et $b$ étant deux nombres strictement positifs on a : $\ln a - \ln b = \ln \dfrac{a}{b}$.\\
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$ (avec $a < b$) alors sa valeur moyenne sur $[a~;~b]$ est :\\
\multicolumn{1}{|c|}{\rule[-5mm]{0mm}{10mm}$\dfrac{1}{b - a}\times \displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t$}\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
{\large\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1 - Partie A}

\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A$}\naput{\ldots}}
	{\TR{$S$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,62}}
	{\TR{$S$}\naput{0,85}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots}
	}	
}

\vspace{3cm}

\textbf{Exercice 2 - Partie C}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B &C &D\\ \hline
1&Année 	&$n$ 	&école A&école B\\ \hline
2&2015 		&0 		&310 	&280\\ \hline
3&2016 		&1 		&		&294\\ \hline
4&2017 		&2 		&		&309\\ \hline
5&2018 		&3 		&		&324\\ \hline
6&2019 		&4 		&		&340\\ \hline
7&2020 		&5 		&		&357\\ \hline
8&2021 		&6 		&		&375\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}