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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations\\}}
\rfoot{\small{12 mai  2015}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations}}

\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

\emph{Les trois parties de cet ex
ercice sont indépendantes.}

\medskip

Le centre d'approvisionnement d'une chaine de magasin spécialisée dans le jardin et
l'animalerie vient de recevoir une importante livraison de sable noir et blanc pour la décoration des fonds
d'aquarium, de la part d'un nouveau fournisseur.

Ce sable d'une granulométrie importante est déjà conditionné en sacs d'environ 3 litres.

À l'issue d'une série de tests, deux types de défauts sont apparus, notés respectivement \textbf{c} et \textbf{j}.

Le défaut \textbf{c} consiste en la présence d'agrégats calcaires.

Le défaut \textbf{j} consiste en la présence de \og grains \fg{} de sable jaune.

On dit qu'un sac est défectueux s'il présente au moins un des deux défauts \textbf{c} ou \textbf{j}.

\begin{center}

\textbf{Partie A - Évènements indépendants, probabilités conditionnelles}

\end{center}

On prélève un sac au hasard dans cette livraison.

On note $C$, l'évènement \og  le sac présente le défaut \textbf{c} \fg{} et $J$ l'évènement \og  le sac présente le défaut \textbf{j} \fg.

On suppose que ces deux évènements sont indépendants.

Les tests préalables ont permis d'établir que 2\,\% des sacs présentent le défaut \textbf{c} et que 3\,\% des sacs présentent le défaut \textbf{j}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur des probabilités $P(C)$ et $P(J)$.
\item On note $E$ l'évènement : \og le sac présente les deux défauts \textbf{c} et \textbf{j} \fg, Justifier que $p(E) = \np{0,0006}$.
\item On note $D$ l'évènement : \og le sac est défectueux \fg. Justifier que $P(D) = \np{0,0494}$.
\item On note $A$ l'évènement : \og le sac ne présente aucun défaut \fg. Calculer $P(A)$.
\item Sachant que le sac choisi au hasard est défectueux, calculer la probabilité que le sac présente les deux défauts. Le résultat sera arrondi à $10^{-4}$.

\textbf{Dans tout ce qui suit,  les probabilités demandées sont à arrondir à}\boldmath $10^{-3}$\unboldmath.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{Partie B - Loi binomiale}

\end{center}

On prélève au hasard 40 sacs pour vérification, le stock étant assez important pour assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un sac soit défectueux est \np{0,0494}.

On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de 40~sacs associe le nombre de sacs
défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux sacs défectueux.
\item Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, il y ait au moins trois sacs défectueux.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{Partie C - Loi normale}

\end{center}

On s'intéresse dorénavant au volume d'un sac. La variable aléatoire qui à chaque sac associe sa
contenance en litres est notée $V$. On admet, au vu des résultats de tests effectués, que $V$ suit la loi
normale d'espérance $3,15$ et d'écart-type $0,1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur d'un  nombre réel $a$ tel que : 
		
		$P(3,15 - a < V < 3,15 + a) = 0,95$ à $10^{-2}$ près.
		\item Interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
	\end{enumerate}
\item Un sac dont le volume est inférieur à 2,9 litres est rejeté.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, à l'aide de la calculatrice, la probabilité qu'un sac soit rejeté.
		\item Sans calcul supplémentaire et en expliquant votre démarche, donner la probabilité qu'un sac
ait un volume supérieur à 3,4~litres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\bigskip

L'INSEE fournit les valeurs du taux d'équipement en micro-ordinateur des ménages français pour la 
période de 2004 à 2011, présentées dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années						&2004 	& 2005 	& 2006 	& 2007 	& 2008 	& 2009 	& 2010 	& 2011\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
Taux d'équipement : $y_i$	&44,7 	& 49,6 	& 54,3 	& 58,7 & 62,8 	& 66,7 	& 69,7 	& 73,2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le taux est estimé en fin d'année. Par exemple, 44,7\,\% des ménages français étaient équipés en
micro-ordinateur fin 2004.

À partir de ces données, on souhaite effectuer des prévisions sur le taux d'équipement en microordinateur
des ménages français.

\begin{center}
\textbf{Partie A - Ajustement affine}
\end{center}

Un nuage de points représentant la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un ajustement affine vous semble-t-il indiqué sur la période 2004 à 2011 ? Justifier.
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire, arrondi au millième, de cette série.
		
Le coefficient calculé confirme-t-il la réponse à la question précédente ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). Tracer cette droite
sur \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}.
\item Quel taux d'équipement (arrondi au dixième) a-t-on avec cet ajustement pour 2012 ?
\item D'après cet ajustement, déterminer par le calcul, à partir de quelle année le taux d'équipement
dépassera les 85\,\%.
\item D'après cet ajustement, déterminer à partir de quelle année le taux d'équipement atteindra
les 100\,\%. Cela vous semble-t-il réaliste ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B - Ajustement proposé par un tableur}
\end{center}

On décide d'utiliser la fonction \og courbe de tendance \fg{} du tableur. Parmi les courbes proposées, on
choisit celle représentant la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = - 0,154x^2 + 5,45x + 39,36\]

$f(x)$ donne alors une estimation du taux d'équipement pour l'année de rang $x$.

(le rang $x$ est mesuré à partir de l'année 2003 : 2004 est l'année de rang 1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$ :
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
		
Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le tableau de variations de cette fonction, en précisant la valeur du maximum et la  limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		
Préciser le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.
		\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer sur quelle période le taux d'équipement dépassera les 85\,\%.
On laissera apparents les traits de construction permettant de répondre à cette question.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.
		\item Les prévisions à long terme effectuées à l'aide de cet ajustement vous semblent-elles réalistes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C - Avec une fonction logistique}
\end{center}

On sait par expérience que, pour l'étude des taux d'équipement, une fonction logistique est souvent appropriée. Pour l'équipement en micro ordinateur des ménages français, on décide d'utiliser la fonction $g$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac{100}{1 + 1,47\text{e}^{-0,17x}}.\]

$g(x)$ donne alors une estimation du taux d'équipement pour l'année de rang $x$.

(le rang $x$ est mesuré à partir de l'année 2003 : 2004 est l'année de rang 1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que la limite de $\text{e}^{-0,17x}$  en $+ \infty$ est $0$, déterminer la limite de  $g$ en $+ \infty$.
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item Que peut-on déduire de ce résultat pour le taux d'équipement en micro-ordinateurs des
ménages français ?
			\end{enumerate}
\item Avec ce dernier modèle, déterminer le taux d'équipement que l'on  peut espérer atteindre en 2016.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 partie A et B}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.11cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(35,105)
\rput{-90}(0,100){
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}
\end{pspicture}
\end{center}
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