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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\lfoot{\small{Métropole}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2008~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations\\Él\'ements de correction}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Étude d'une fonction}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
 
%\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \np{125504}\text{e}^{-1,9x}}.\]
	
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} où l'unité est 2~cm.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \left (\np{125504}\text{e}^{-1,9x}\right) =  0$ ; en déduire $\displaystyle\lim_{x \to  + \infty} f(x)$.
		Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \left (\np{125504}\text{e}^{-1,9x}\right) =  0$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  1 + \left (\np{125504}\text{e}^{-1,9x}\right) =  1$ et finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) =  3$.
		\item  %En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
		Le r\'esultat pr\'ec\'edent montre que la droite $\Delta$ d'\'equation $y = 3$ est asymptote \`a $C$ au vosinage de plus l'infini.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de $[0~;~ + \infty[$,~ $f'(x) =	\dfrac{\np{715372,8}\text{e}^{-1,9x}}{\left(1 + \np{125504}\text{e}^{-1,9x}\right)^2}$.
On a $\left(\np{125504}\text{e}^{-1,9x} \right)' = - 1,9 \times \np{125504}\text{e}^{-1,9x} = - \np{238457,6}\text{e}^{-1,9x}$.

Donc $f'(x) = - \dfrac{3 \times \left(- \np{238457,6}\text{e}^{-1,9x}\right)}{\left(1 + \np{125504}\text{e}^{-1,9x} \right)^2} = \dfrac{\np{715372,8}\text{e}^{-1,9x}}{\left(1 + \np{125504}\text{e}^{-1,9x} \right)^2}$.
		\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $[0~;~ + \infty[$.
		Tous les termes de la d\'eriv\'ee sont sup\'erieurs \`a z\'ero : la d\'eriv\'ee est sup\'erieure \`a z\'ero sur $[0~;~+ \infty[$; donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle de $f(0) = \dfrac{3}{\np{125505}}$ \`a $3$.
		\item  %Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
		On a donc le tableau de variations suivant :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2)\psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.15,2.5){$0$} \uput[u](5.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.2){$f'(x)$} \rput(3.5,2.2){$+$}
\rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[u](1.4,0){$\frac{3}{\np{125505}}$} \uput[d](5.8,2){$3$}
\psline{->}(1.5,0.5)(5.5,1.5)
\end{pspicture} 
\end{center}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$.\\
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9\\ \hline
$f(x)$	&0	&0,01	&0,05	&0,29	&1,25	&2,48	&2,91	&2,99\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini au début. Sur l'axe des abscisses, commencer la graduation à 3.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(10,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(10,4)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{3}{10}{3 1 125504 2.71828 1.9 x mul exp div add div}
\rput(8.5,3.2){\textcolor{cyan}{ $C$}}
\psline[linecolor=red,arrowsize=2pt 3]{->}(0,2.5)(7,2.5)
\psline[linecolor=red,arrowsize=2pt 3]{->}(7,2.5)(7,0)
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 2,5$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
Graphiquement on trouve que $f(10) \approx 2,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$,~$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{1,9x}}{\text{e}^{1,9x} + \np{125504}}$.
En reprenant l'\'enonc\'e et en multipliant chaque terme du quotient par $\text{e}^{1,9x}$, on obtient :

$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{1,9x}}{\text{e}^{1,9x} + \np{125504}\text{e}^{-1,9x}\text{e}^{1,9x}} = \dfrac{3\text{e}^{1,9x}}{\text{e}^{1,9x} + \np{125504}}$.
\item  %Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{3}{1,9}\ln \left(\text{e}^{1,9x} + \np{125504}\right)$.\\
%Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
$F$ est d\'erivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = \dfrac{3}{1,9} \times \dfrac{1,9\text{e}^{1,9x}}{\text{e}^{1,9x} + \np{125504}} = \dfrac{3\text{e}^{1,9x}}{\text{e}^{1,9x} + \np{125504}} = f(x)$ d'apr\`es la question pr\'ec\'edente.

$F$ est donc une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la valeur moyenne $V_{m}$ de $f$ sur [0~;~9].
$V_{m} = \dfrac{1}{9 - 0}\displaystyle\int_{0}^9 f(x) \:\text{d}x = \dfrac{1}{9}[F(9) - F(0)] = \dfrac{1}{9}\left[\dfrac{3}{1,9}\ln \left(\text{e}^{1,9\times 9} + \np{125504}\right) - \dfrac{3}{1,9}\ln \left(\text{e}^{1,9 \times 0} + \np{125504}\right)  \right] = \dfrac{1}{3\times 1,9}\left[\ln \left(\text{e}^{17,1} + \np{125504}\right) - \ln \left(1 + \np{125504} \right)  \right] = 
\dfrac{1}{5,7}\left[\ln \left(\text{e}^{17,1} + \np{125504}\right) - \ln \np{125505}\right]$.
			
		\item  %Donner la valeur approchée de $V_{m}$  arrondie à $10^{-2}$.
$V_{m}\approx 0,94$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Application de la partie A}

%\begin{center}
%\textbf{Dans cette partie, utiliser des résultats obtenus à la partie A.}
%\end{center}
 
\medskip 

%On admet que le nombre de systèmes GPS vendus en France au cours de l'année $(2000 + n)$ est égal à $f(n)$ millions où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer le nombre de systèmes GPS vendus en France en 2005.
On a $f(5) = \dfrac{3}{1 + \np{125504}\text{e}^{-1,9\times 5}} /approx \np{290000}$.

En 2005, \np{290000} GPS environ ont \'et\'e vendus.
\item  %Donner le nombre total de systèmes GPS vendus pendant les quatre années 2004, 2005, 2006 et 2007.
On calcule $f(4) + f(5) + f(6) + f(7) \approx \np{4070000}$ GPS vendus durant ces quatre ann\'ees.
\item  %Indiquer au cours de quelle année les ventes de systèmes GPS dépassent \np{2500000}~unités.
$f(7) \approx \np{247902}$ et$f(8) \approx \np{290858}$.

Les ventes de systèmes GPS d\'epasseront les \np{2500000}~unités au cours de la l'ann\'ee 2008.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

%\begin{center}
%\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
%\end{center}
%
%Dans cet exercice on s'intéresse aux factures comptabilisées chaque mois dans un grand garage.

\medskip

\textbf{A. Loi binomiale}

%\begin{center}
%\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-2}$. \unboldmath
%\end{center}

%À la fin d'un mois donné, on considère une liasse importante de factures.\\
On note $E$ l'évènement : \og une facture prélevée au hasard dans la liasse de factures est erronée. \fg

%On suppose que $P(E) = 0,03$.
%
%On prélève au hasard 20~factures dans la liasse pour vérification. La liasse contient assez de factures pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20~factures.
%
%On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de factures de ce prélèvement qui sont erronées.

\begin{enumerate}
\item  %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Chaque pr\'el\`evement de 20 factures est constitu\'e de 20 \'epreuves \'el\'ementaires ind\'ependantes puisque le pr\'el\`evement est assimil\'e \`a un tirage avec remise

Chaque \'epreuve \'el\'ementaire d\'ebouche sur deux r\'esultats seulement : la facture est erron\'ee, \'ev\`enement de probabilit\'e $p = 0,03$, ou facture non erron\'ee, \'ev\`enement de probabilit\'e $1 - p = 1 - 0,03 = 0,97$.

La variable al\'eatoire $X$ qui associe \`a ces tirages le nombre de fa	ctures erron\'ees suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n = 20~;~p = 0,03)$.
\item  %Calculer la probabilité qu'aucune facture de ce prélèvement ne soit erronée.
On a $p(X = 0) = C_{20}^0 0,03^0 \times 0,97^{20} \approx 0,54$.
\item  %Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux factures soient erronées.
On calcule $p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) \approx 0,98$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Loi normale}

\medskip

%\begin{center}
%\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-2}$. \unboldmath
%\end{center}
%
%À la fin d'un autre mois, on s'intéresse au montant de l'ensemble des factures éditées pendant ce mois.
%
%On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque facture prélevée au hasard dans l'ensemble des factures éditées pendant le mois, associe son montant en euros. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $840$ et d'écart type $400$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer $P(Y \leqslant  1500)$.
On a $P(Y \leqslant  \np{1500}) \approx 0,95$.
\item  %Pour les factures dont le montant est supérieur ou égal à $600$ euros et inférieur ou égal à \np{1500}~euros, le garage propose le paiement en trois fois sans frais.
On calcule $p(600 \leqslant Y \leqslant \np{1500}) \approx 0,68$.

%Calculer la probabilité qu'une facture prélevée au hasard dans l'ensemble des factures éditées pendant le mois puisse être réglée en trois fois sans frais, c'est-à-dire : $P(600 \leqslant  Y \leqslant  \np{1500})$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip

%Les factures du garage sont de deux types : les factures provenant de l'atelier de mécanique et les factures provenant de l'atelier de carrosserie.
%
%On admet, qu'un autre mois, 65\:\% des factures proviennent de l'atelier de mécanique et le reste de l'atelier de carrosserie.
%
%Dans l'ensemble des factures de ce mois, 2\:\% des factures provenant de l'atelier de mécanique sont erronées et 1\:\% des factures provenant de l'atelier de carrosserie sont erronées.
%
%On prélève au hasard une facture dans l'ensemble des factures de ce mois. Toutes les factures ont la même probabilité d'être prélevées.
%
%On considère les évènements suivants  :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $M$ : \og la facture prélevée provient de l'atelier de mécanique \fg{} ;
%\item[] $C$ : \og la facture prélevée provient de l'atelier de carrosserie \fg{} ;
%\item[] $D$ : \og la facture est erronée \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
     
\begin{enumerate}
\item %Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(M),~ P(C),~P_{M}(D)$ et $P_{C}(D)$.

%(\emph{On rappelle que $P_{M}(D) = P(D/M)$ est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement est réalisé}).
On trouve $p(M) = 0,65\quad ; \quad p(C) = 0,35 \quad ;\quad p_{M}(D) = 0,02\quad ; \quad p_{C}(D) = 0,01$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(D \cap M)$ et $P(D \cap C)$.
$P(D \cap M) = 0,013$.

$P(D \cap C) = \np{0,0035}$.		 
		\item  %Déduire de ce qui précède $P(D)$.
Par somme de deux pr\'ec\'edents r\'esultats on obtient :

$P(D) = \np{0,0165}$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que la facture prélevée provienne de l'atelier de carrosserie sachant qu'elle est erronée. Arrondir à $10^{-4}$.
$p_{v}(D) = \dfrac{p(C \cap D)}{p(D)} = \dfrac{\np{0,0035}}{\np{0,0165}} = \dfrac{35}{165} = \dfrac{7}{33} \approx \np{0,21212121} \approx \np{0,2121}$.
\end{enumerate}
\end{document}