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% Tapuscrit François Dreyfürst
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	{	\begin{center}
		\textbf{\Large #1}
		\end{center}
	}
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   \stepcounter{numexo}
   \textbf{Exercice \arabic{numexo} : \hfill#1 points}  \break
       }

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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien sup\'erieur}%tapez un titre
\lfoot{\small{BTS CGO }}
\cfoot{\small \thepage{} / \pageref{LastPage}}
\rfoot{\small{Mai 2009 - Nouvelle calédonie -}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
\Titre{\decofourleft~BTS CGO nouvelle calédonie nov 2009 Correction~\decofourright}
\Large \blue
\exo{10} \normalsize \red \vspace{-1 cm}
\section*{\emph{A. Loi binomiale}} \black

\begin{enumerate} 
\item  
\begin{cursive} On prélève au hasard dans le stock, un véhicule , on a deux issues : 
\begin{itemize} \item[$\bullet$] On appelle succès l'év\`enement : \og le véhicule est défectueux \fg.  $p=P(E) = 0,2$.
\item[$\bullet$] On appelle échec l'év\`enement : \og le véhicule n'est pas défectueux \fg.  $q=1-p=0,8$.
\end{itemize}

On répète 20 fois l'expérience de manière indépendante (Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 véhicules).\\
La  variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,2$.
\end{cursive}
\item  $p(X=1)=C_{20}^1 \times0,2\times0,8^19= 0,06$ \cadre{$p(X=1)=0,06$}
\item  $p(X\leq 1)=p(X=0)+p(X=1)=C_{20}^0\times0,2^0\times0,8^20+C_{20}^1\times0,2\times0,8^19=0,07$ \cadre{$p(X\leq 1)=0,07$}
\item $p(X\geq 2)=1-p(X<2)=1-p(X\leq1)=1-0,07$ \cadre{$p(X\geq 2) =0,93$}
\item $E(X)=n\times p = 20 \times 0,2=4$ \cadre{$E(X)=4$}. \\
Si on effectue un grand nombre de prélévement de 20 véhicules, en moyenne 4 véhicules sur 20 seront défectueux.
\item $\sigma(X)=\sqrt{npq}=\sqrt{20 \times 0,2 \times 0,8}$ \cadre{$\sigma \approx 1,79$}
\item D'après la question 5 sur 20 véhicules prélevés, 4 sont défectueux.

$4\times 500=2~00O$

\cadre{En moyenne lorsqu'on préléve 20 véhicules, il faut prévoir 2~0000 \texteuro\ de réparations}
\end{enumerate} \red

\section*{\emph{C. Probabilités conditionnelles}} \black

\begin{enumerate}
\item  \bm{13} \begin{itemize}
\item[$\bullet$] On admet que pendant un mois donné, l'atelier a produit 40\:\% des véhicules et que le reste est produit par l'atelier $b$. donc $p(A)=0,4$ et donc $p(B)=0,6$
\item[$\bullet$] On admet que 10\:\% des véhicules provenant de l'atelier $a$ sont défectueux et que 15\:\% des véhicules provenant de l'atelier $b$ sont défectueux. donc $p_A(D)=0,1$ et $p_B(D)=0,15$
\end{itemize}~~

\cadre{$p(A)=0,4$, $p(B)=0,6$,\\ $p_A(D)=0,1$ et $p_B(D)=0,15$}
\emp~
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0,9$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,15$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0,85$}
}
}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item \bm{10}  $P(D \cap A)=p(A)\times p_A(D)=0,4 \times 0,1$ \cadre{$P(D \cap A)=0,04$}\\
		 et $P(D \cap B)=p(B)\times p_B(D)=0,6 \times 0,15$ \cadre{$p(D \cap B)=0,09$}.\emp
		\cadre{$p(D \cap A)=0,04$ \\ $p(D \cap B)=0,09$}
		\item  $p(D)=p(D \cap A)+p(D \cap B)=0,04+0,09$. donc \cadre{$p(D)=0,13$}
	\end{enumerate} 
\item $p_D(A)=\dfrac{p(A \inter D)}{p(D)}=\dfrac{0,04}{0,13}$ \cadre{$p_D(A)=\dfrac{4}{13}=0,31$}
\end{enumerate}

\Large \blue

\exo{10} \normalsize \red %\vspace{-1 cm}

\vspace{-1 cm} \red

\section*{\emph{A. Étude d'une fonction}} \black

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \bm{8} \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 36\ln x + 150.\] 
\beqn f'(x)&=&	\dfrac{1}{2} \times 2x -36 \dfrac{1}{x} \\
	&=& x\times \dfrac{x}{x} -\dfrac{x}{36} \\
	&=& \dfrac{x^2-36}{x} =\dfrac{x^2-6^2}{x}\\
	&=& \dfrac{(x-6)(x+6)}{x} \eeqn
\emp \bm{8}		Donc pour tout nombre réel $x$ de [6~;~30], \cadre{$f'(x) = \dfrac{(x - 6)(x + 6)}{x}$}. \emp
\\ \bm{8}		\item $$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{6}&&\tx{30}\cr
\tx{x-6}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{x+6}&&\tx{+}&\cr
\tx{x}&&\tx{+}&\cr
\tx{f'(x)}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
}$$ \emp~\bm{8}
		\item $$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{6}&&\tx{30}\cr
\tx{f'(x)}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{168-36\ln(6)}&\fm&\txh{600-36\ln(30)}\cr
}$$
\emp
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ &6 &10 &15 &20 &25 &30 \\ \hline% 
$f(x)$&104&117&165&242&347&478  \\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip

		\item \psset{xunit=0.2cm , yunit=0.01cm}
\begin{pspicture*}(1,-100)(35,725)
\def\xmin{5} \def\xmax{30} \def\ymin{0} \def\ymax{700}
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\psset{xunit=0.2cm , yunit=0.01cm}
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\def\F{.5 x mul x mul 36 x ln mul sub 150 add}
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\def\G{22.5 x mul}
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\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=100,Ox=\xmin,Oy=0]{-}(\xmin,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{\emph{B. Calcul intégral}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $H$ la fonction définie sur [6~;~30] par $H(x) = x \ln(x) - x$.
		
$H'(x)=1\times\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)+1-1=\ln(x)$ \\
\cadre{Donc 
 $H$ est une primitive sur [6~;~30] de la fonction $h$ définie par $h(x) = \ln(x)$.} 
\item  \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 36\ln x + 150.\]  donc $F(x)=\dfrac{1}{2} \dfrac{x^3}{3}-36\left(x \ln(x) - x\right)+150x$ donc \cadre{$F(x)=\dfrac{x^3}{6}+186x-36x\ln(x)$}
\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  \beqn I &=& \displaystyle \int_{6}^{30}  f(x)\:\text{d}x \\
		&=& F(30)-F(6)\\
		&=& \dfrac{30^3}{6}+186\times 30-36\times30\ln(30)-\left(\dfrac{6^3}{6}+186\times6-36 \times 6\ln(6) \right) \\
		&=& 4~500+5~580-1080\ln(30)-36-1~116+216\ln(6) \\
		&=& \np{8~928} - \np{1~080} \ln(30) + 216 \ln(6) \eeqn
\cadre{ $I = \np{8928} - \np{1080} \ln(30) + 216 \ln(6)$. }
		\item On a  $V_{m}=\dfrac{1}{30-6} I$ donc \cadre{$V_m=235,07$}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{\emph{C. Application économique}}

On admet que le coût total de production pour $x$ articles produits, avec $6 \leqslant  x \leqslant 30$, est $f(x)$~euros, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \cadre{$r(x)=22,5\times x$}
\item si on vend 20 articles alors on a $B(20)=22,5 \times 20 - f(20)$
donc $B(20)=450-\dfrac{400}{2}+36 \ln(20)-150$ donc $B(20)=100+36\ln(20)$

\cadre{Le bénéfice pour 20 articles fabriqués et vendus est de 207,85\texteuro}
\item Graphiquement on regarde ou l'écart entre la courbe et la droite est le plus important.

\cadre{Il faut fabriquer et vendre 24 articles pour que le bénéfice soit maximal}
\end{enumerate}

\newpage% \topmargin -25 mm \textheight 280 mm 

\psset{xunit=0.4cm , yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(2.5,75)(32.5,725)
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