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%Tapuscrit : Nicolas Baeyens
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{mai 2011}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2011~\decofourright\\Métropole  Comptabilité et gestion des organisations}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip
\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $p(F)=0,7$ $p(G)=0,3$ $p_F(D)=0,05$ et $p_G(D)=0,10$
\item \begin{enumerate}
\item $p(F \cap D)=p(F) \times p_F(D)=0,7\times 0,05$. \cadrr{$p(F \cap D)=0,035$}
\item $p(G \cap D)=p(G) \times p_G(D)=0,3\times 0,1$. \cadrr{$p(F \cap D)=0,03$}
\end{enumerate}
\item $p(D)=p(F \cap D)+p(G \cap D)=0,035+0,03$. \cadrr{$p(D)=0,065$}
\item $p_D(G)=\dfrac{p(D \cap G)}{p(D)}=\dfrac{0,03}{0,065}$. \cadrr{$p_D(G)=0,4615$ à $10^{-4}$ près}
\end{enumerate}
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{cursive}
On prélève un pneu, il y a 2 issues
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] On appelle succès l'événement <<le pneu est défectueux>>. $p=0,065$
\item[$\bullet$] On appelle échec l'événement <<le pneu n'est pas défectueux>> $q=1-0,065=0,935$
\end{itemize}
On répète 10 fois l'expérience de manière aléatoire (tirage assimilé à un tirage avec remise)\\~\\
Donc la variable aléatoire $X$ comptabilisant le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,065$
\end{cursive}
\item $p(X=0)=\left( \begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array} \right) 0,065^0 \times 0,935^{10}=0,935^{10}$ \cadrr{$p(X=0)=0,5106$ à $10^{-4}$ près}
\item \begin{minipage}[b]{9cm} \begin{eqnarray*}
p(X \geqslant 2)&=&p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\\ &=& 0,935^{10}+\left( \begin{array}{c} 10 \\ 1 \end{array} \right) 0,065^1 \times 0,935^9+\left( \begin{array}{c} 10 \\ 2 \end{array} \right) 0,065^2 \times 0,935^8\\
& =& 0,935^{10}+10\times 0,065 \times 0,935^9+45\times 0,065^2\times 0,935^8
\end{eqnarray*} \end{minipage}

\cadrr{$p(X \geqslant 2)= \np{0,9767}$}
\end{enumerate}
\textbf{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $m = n \times p =400 \times 0,2$. \cadrb{$m=80$}\\
$\sigma=\sqrt{n\times p \times q } = \sqrt{400 \times 0,2 \times 0,8} = \sqrt{64}$ \cadrb{$\sigma=8$}
\item \begin{minipage}[b]{9cm} \begin{eqnarray*}
p(Z \leqslant 92,5)&=& p \left( \dfrac{Z-80}{8} \leqslant \dfrac{92,5-80}{8} \right) \\ 
&=& p \left( \dfrac{Z-80}{8} \leqslant  1,5625 \right) \\
&=& \np{0,9406} + \dfrac{\np{0,9418} - \np{0,9406}}{4}  
\end{eqnarray*}\end{minipage}\begin{minipage}[b]{9cm}
car la variable aléatoire $ \dfrac{Z-80}{8} $ suit une loi $\mathscr{N}(0,1)$
\cadrr{$p(Z \leqslant  92,5)= \np{0,9409}$} \end{minipage}

\item \begin{minipage}[b]{9cm} \begin{eqnarray*}
p(Z \geqslant 99,5)&=& p \left( \dfrac{Z-80}{8} \geqslant \dfrac{99,5-80}{8} \right) \\ 
&=&  p \left( \dfrac{Z- 80}{8} \geqslant  2,4375 \right) \\ 
&=& 1-p \left( \dfrac{Z- 80}{8}< \np{2,4375} \right) \\
&=& 1-(\np{0,9925} + \dfrac{3}{4}(\np{0,9927} - \np{0,9925})
\end{eqnarray*} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{9cm}
car la variable aléatoire $ \dfrac{Z - 80}{8} $ suit une loi $\mathscr{N}(0,1)$ 
\cadrr{$p(Z \geqslant 99,5)=0,99265$}\end{minipage}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
\textbf{A. Statistiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À la calculatrice : \cadrb{$r=-0,946$}
\item
\begin{enumerate} 
\item À la calculatrice on a \cadrb{$y=- \np{0,1805}x + \np{4,8707}$}
\item Voir le tracé sur l'annexe
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline 
$x$&0&12 \\ \hline 
$y=- \np{0,1805}x + \np{4,8707}$& \np{4,8707}&\np{2,7047}\\ \hline 
\end{tabular}
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $f(x)=4,64 - 0,024x-\dfrac{1,4\text{e}^{2x}}{e^2x+\np{160000}}$.~~On pose 
\begin{tabular}{ccc}
$u(x) = 1,4 \text{e}^{2x}$ & ~~& $u^{\prime}(x)=1,4 \times 2 \text{e}^{2x}=2,8\text{e}^{2x}$ \\
$v(x)= \text{e}^{2x}+160~000$& & $v^{\prime}(x)=2\text{e}^{2x}$
\end{tabular}
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&0 - 0,024- \dfrac{2,8 \text{e}^{2x} \times (\text{e}^{2x}+160~000)-1,4 \text{e}^{2x} \times 2\text{e}^{2x}}{(e^{2x}+160~000)^2} \\ 
&=& -0,024 - \dfrac{\cancel{2,8 \text{e}^{2x}\times e^{2x}}+2,8 \text{e}^{2x}\times \np{160000} - \cancel{2,8 \text{e}^{2x} \times \text{e}^{2x}} }{\left(\text{e}^{2x}+ \np{160000}\right)^2} \\ 
&=& -0,024 - \dfrac{\np{448000} \text{e}^{2x} }{\left(\text{e}^{2x}+ \np{160000}\right)^2} \\ 
\end{eqnarray*}
\cadrr{$f^{\prime}(x)=- 0,024 - \dfrac{\np{448000} \text{e}^{2x} }{\left(\text{e}^{2x}+ \np{160000}\right)^2}$}
\item Comme une fonction exponentielle est toujours strictement positive on en déduit donc que pour tout $x \in [0,12]$  $\np{448000} \text{e}^{2x} > 0$  et que pour tout $x \in [0~;~12]$ $(\text{e}^{2x}+ \np{160000})^2 > 0$.
Donc pour tout $x \in [0,12]$ $-\dfrac{\np{448000} \text{e}^{2x} }{(\text{e}^{2x}+ \np{160000})^2}$ est strictement négatif.\\
$f^{\prime}$ est donc la somme de deux nombres $(- 0,24)$  et $-\dfrac{\np{448000} \text{e}^{2x} }{\left(\text{e}^{2x}+ \np{160000}\right)^2}$ strictement négatif. \\
\cadrr{Donc pour tout $x \in [0~;~12]$, $f^{\prime}(x)< 0$}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3.5)
\psframe(5,3.5)\psline(0,2)(5,2)\psline(0,3)(5,3)\psline(1,0)(1,3.5)
\psline{->}(1.5,1.5)(4.5,0.5)
\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.2,3){$0$} \uput[u](4.7,3){$12$} 
\rput(0.5,2.5){$f^{\prime}(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$}\rput(3,2.5){$-$}
\uput[d](1.5,2){$1,65$}\uput[u](4.5,0){$2,96$}
\end{pspicture}
\end{center}
% \begin{minipage}[b]{5cm} $$\tabvar{%
%\tx{x}&\tx{0}&&\tx{12}\cr
%\tx{f'(x)}&&\tx{-}&\cr
%\tx{f(x)}&\txh{4,65}&\fd&\txb{2,96}\cr
%}$$\end{minipage}

$f(0) = 4,65-\dfrac{1,4}{\np{160001}} \approx 4,65$ ; $f(12) = 4,362 - \dfrac{1,4\text{e}^{24}}{\np{160000} + \text{e}^{24}} \approx 2,96$ 

\end{enumerate}
\newpage
\item 
\begin{enumerate}
\item
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
$x$		&0		&2		&4		&5		&6		&7		&8		&10		&12\\ \hline
$f(x)$	&4,65	&4,60	&4,53	&4,36	&3,8	&3,25	&3,08	&3,01	&2,96 \\ \hline
\end{tabularx}
\item Voir la courbe sur le graphique en annexe
\end{enumerate}
\item La courbe $\mathscr{C}$ semble mieux ajuster le nuage de point que la droite $\mathscr{D}$ car elle passe au plus près de tous les points notamment sur l'intervalle $[4~;~9]$
\end{enumerate}

\textbf{C. Calcul intégral et intégration}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $F(x) = 4,65x - 0,012x^2 - 0,7\ln(\text{e}^{2x} + \np{160000})$
\begin{eqnarray*}
F'(x)&=& 4,65 - 0,012 \times 2x -0,7 \dfrac{2\times \text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x}+\np{160000}}\\
&=& 4,65 - 0,024x - \dfrac{1,4  \text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x}+\np{160000}} \\ &=& f(x)
\end{eqnarray*}
\cadrr{Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0~;~12]$}
\item \begin{enumerate} \item 
\begin{eqnarray*}
V_m&=&\dfrac{1}{12 - 0} \int_0^{12} f(x)\; \text{d}x \\
&=& \dfrac{1}{12} \left(F(12)-F(0) \right) \\
&=& \dfrac{1}{12} \left( 4,65\times 12 -0,012\times 12^2 - 0,7\ln \left(\text{e}^{2\times 12}+\np{160000}\right)-\left(4,65 \times 0 - 0,012\times 0^2 - 0,7\ln \left(\text{e}^{2\times 0}+\np{160000}\right) \right) \right) \\
&=& \dfrac{1}{\cancel{12}} 4,65\times \cancel{12} - \dfrac{1}{\cancel{12}}\times 0,012\times 12\cancel{^2} -\dfrac{0,7}{12}\ln(\text{e}^{24}+\np{160000})+ \dfrac{0,7}{12} \ln(1+\np{160000})  \\
&=& 4,65 - 0,144+\dfrac{0,7}{12} \left(  \ln(1+\np{160000}) -\ln(\text{e}^{24}+\np{160000}) \right)\\
&=& 4,65 - 0,144+\dfrac{0,7\blue \times 10}{12\blue \times 10} \left(\ln(1 + \np{160000}) -\ln \left(\text{e}^{2\times 12}+\np{160000}\right) \right)\\
&=&4,506+ \dfrac{7}{120}   \ln\left(\dfrac{\np{160001}}{\text{e}^{24}+\np{160000}} \right)\\
\end{eqnarray*}
\cadrr{$V_m=4,506+ \dfrac{7}{120}   \ln\left(\dfrac{\np{160001}}{\text{e}^{24}+\np{160000}} \right)$}
\item \cadrr{$V_m = 3,8$ à $10^{-1}$ près}
\end{enumerate}
\item La consommation moyenne de tabac d'une personne âgée de plus de 15 ans entre 1997 et 2009 est de 3,8~g par jour

\end{enumerate}
\begin{center}
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\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(13,6)
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