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%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie  novembre 2017}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2017\\[4pt] Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}

\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\smallskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE A : Probabilités conditionnelles}
\end{center}

Un poissonnier se fournit en crabes auprès de trois grossistes que l'on notera A, B et C.

20\,\% des crabes proviennent du grossiste A, 35\,\% proviennent du grossiste B et le reste provient du grossiste C.

Le poissonnier décide de vendre uniquement les crabes d'excellente qualité.

Parmi les crabes provenant du grossiste A, 5\,\% ne peuvent être vendus ; parmi ceux provenant du grossiste B, 10\,\% ne peuvent être vendus ; parmi ceux provenant du grossiste C, 20\,\% ne peuvent être vendus.

\smallskip

Un crabe est choisi au hasard dans le stock du poissonnier.

On considère les évènements :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og Le crabe provient du grossiste A \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og Le crabe provient du grossiste B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og Le crabe provient du grossiste C \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $M$ : \og Le crabe ne peut être vendu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]
	{\TR{$A$} \taput{0,2}}
			{\TR{$M$}\taput{0,05}
			\TR{$\overline{M}$}}
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$B$} }
			{\TR{$M$}
			\TR{$\overline{M}$}}
	\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$C$} }
	       {\TR{$M$}
			\TR{$\overline{M}$}}
}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le crabe provienne du grossiste A et ne puisse être vendu.
		\item Montrer que $P(M) = 0,135$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PARTIE B : Loi binomiale et approximation par une loi normale}
\end{center}

\emph{Dans cette partie, les probabilités seront arrondies à } $10^{- 4}$

\medskip

À l'occasion des fêtes de fin d'année, un client restaurateur passe une commande de $150$ crabes auprès du poissonnier.

Pour honorer cette commande, le poissonnier prélève au hasard $150$ crabes dans son stock de façon indépendante. On suppose que le stock, à ce moment de l'année, est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $150$ crabes.

On rappelle que 20\,\% des crabes vendus par le poissonnier proviennent du grossiste A.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de crabes provenant du grossiste A présents dans la commande livrée au restaurateur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Calculer la probabilité que la commande livrée au restaurateur contienne exactement $25$ crabes provenant du grossiste A.
	\end{enumerate}
\item On approche la loi binomiale suivie par $X$ par une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\mu = 30$ et que $\sigma \approx 4,9$.
		\item Soit $Y$ une variable aléatoire continue qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 3$ et $\sigma = 4,9$.
		
Calculer la probabilité que, dans la commande livrée au restaurateur, il y ait plus de $40$~crabes provenant du grossiste A, c'est-à-dire $P(Y > 40,5)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2  \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Un formulaire est donné enfin d'exercice}

\bigskip

Le tableau ci-dessous est un extrait d'une feuille de calcul d'un tableur. Il donne, entre 2006 et 2013, le montant des dépenses, en milliards d'euros, en France pour les soins médicaux de longue durée dans les établissements hospitaliers spécialisés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H&I\\ \hline
1&Année &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013\\ \hline
2&Rang de l'année $\left(x_i\right)$	& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
3&Montant des dépenses
en milliards d'euros $\left(y_i\right)$& 12,938 &13,852 &15,154 &16,561 &17,205 &17,843 &18,491 &19,186\\ \hline
4&Évolution du montant des dépenses
 par rapport à l'année précédente&&7,1\,\%&&&&&&\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\small (\emph{Source : projet de loi de finance de la Sécurité Sociale})}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE A : Taux d'évolution}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le taux d'évolution arrondi à 0,1\,\% du montant des dépenses, en milliards d'euros,
en France pour les soins médicaux de longue durée dans les établissements hospitaliers
spécialisés entre les années 2006 et 2007 est 7,1\,\%.
		\item La ligne 4 est au format pourcentage. Quelle formule saisie en cellule C4 permet d'obtenir, par recopie vers la droite, le contenu des cellules de la plage C4\,:\,14 ?
 	\end{enumerate}
\item Déterminer le taux d'évolution global des dépenses en France pour les soins médicaux de longue durée
dans les établissements hospitaliers spécialisés entre 2006 et 2013.
On donnera le résultat sous forme de pourcentage arrondi au dixième.
\item Démontrer alors que le taux annuel moyen d'augmentation des dépenses en France pour les soins médicaux de longue durée dans les établissements hospitaliers spécialisés entre 2006 et 2013, arrondi au dixième, est égal à 5,8\,\%.
\item Dans cette question, on modélise l'évolution des dépenses en France pour les soins médicaux de longue durée dans les établissements hospitaliers spécialisés de la manière suivante : on part d'un montant de $12,938$ milliards d'euros en 2006 et on applique une augmentation annuelle de 5,8\,\% à partir de cette
date.

\medskip

On définit ainsi une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la valeur estimée, selon ce modèle, en milliards d'euros, du montant des dépenses en France pour les soins médicaux de longue durée dans les établissements  hospitaliers spécialisés pour l'année $(2005 + n)$.

On a donc $u_1 = 12,938$.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner la raison de cette suite.
		\item Déterminer, pour tout $n$ entier naturel, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Selon ce modèle, quel serait le montant des dépenses pour les soins médicaux de longue durée en France en 2017 ? On arrondira le résultat au milliard d'euros.
		\item Selon ce modèle, en quelle année pour la première fois, le montant annuel des dépenses en France pour les soins médicaux de longue durée dans les établissements hospitaliers spécialisés dépassera-t-il $25$~milliards d'euros ?
		\item  Calculer la somme $S = u_1 + u_2 + u_3 + \ldots + u_{15}$. On arrondira au milliard d'euros. 
		
Interpréter par une phrase ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{PARTIE B : Courbe de tendance}
\end{center}

Sur le document réponse à rendre avec la copie, on a représenté le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$, où $x_i$ est le rang de l'année à partir de 2005, et $y_i$ le montant des dépenses en milliards d'euros de l'année de rang $x_i$.

À l'aide d'un tableur, on a obtenu une courbe de tendance ajustant ce nuage de point. Cette courbe de tendance est associée à la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~17] par 

\[f(x) = 12,55\text{e}^{0,2\ln x}.\]

On modélise alors par la fonction $f$, le montant des dépenses en France pour les soins médicaux de longue durée dans les établissements hospitaliers spécialisés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ étant dérivable sur l'intervalle [1~;~17], on note $f'$ sa dérivée.
		
Justifier que $f'(x) = \dfrac{2,51}{x}\text{e}^{0,2\ln x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~17].
	\end{enumerate}
\item Établir le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~17].
\item Après avoir complété le tableau de valeurs fourni sur le document réponse à rendre avec la copie, tracer une allure de la courbe représentative de $f$ dans le repère donné sur ce même document.
\item Selon ce modèle, déterminer à partir de quelle année le montant des dépenses en France pour les soins médicaux de longue durée dans les établissements hospitaliers spécialisés dépassera $21$~milliards d'euros.
\end{enumerate}


\bigskip
\begin{center}
\textbf{FORMULAIRE}
\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Formule de dérivation}\\
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.\\
La fonction $\text{e}^u$ est dérivable sur $I$ et on a :\\
\multicolumn{1}{|c|}{$\left(\text{e}^u \right)' = u'\text{e}^u$}\\

\textbf{Somme des termes d'une suite géométrique}\\
Si $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q$ (avec $q \neq 1$), alors\\
\multicolumn{1}{|c|}{$u_1 + u_2 + \cdots + u_n = u_1 \times \dfrac{1-q^n}{1-q}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%
\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE}
\end{center}

%\vspace{1cm}

\textbf{GRAPHIQUE (EXERCICE 2 - Partie B)}

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(18,19)
\uput[r](0,18.5){milliards d'euros}
\uput[u](16.5,0){rang de l'année}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(18,19)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=10]{->}(0,0)(0,0)(18,19)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.8,linecolor=blue](1,2.938)(2,3.852)(3,5.154)(4,6.561)(5,7.205)(6,7.843)(7,8.491)(8,9.186)
\end{pspicture}
%\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{TABLEAU: Tableau de valeurs de la fonction \boldmath $f$\unboldmath (EXERCICE 2 - Partie B)}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&4	&8	&12	&17\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}