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%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie 9 novembre 2016}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2016\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}

\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{Partie A - Évènements indépendants}

\medskip

Un centre commercial est équipé de deux escalators E$_1$ et E$_2$ destinés aux visiteurs.

Ces deux escalators fonctionnent de façon indépendante.

On s'intéresse au fonctionnement des deux escalators durant une même année.

On note : 

$F_1$ l'évènement \og l'escalator E$_1$ fonctionne sans panne durant cette année \fg.

$F_2$ l'évènement \og l'escalator E$_2$ fonctionne sans panne durant cette année \fg.

On considère que les évènements $F_1$ et $F_2$ sont indépendants et on rappelle que dans ce cas, les évènements $F_1$ et $\overline{F_2}$ sont indépendants, ainsi que les évènements $\overline{F_1}$ et $F_2$. On donne :

\[P\left(F_1\right) = 0,95 \quad \text{et}\quad P\left(F_2\right) = 0,98.\]

On définit les trois évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$F$ : \og Les deux escalators fonctionnent sans panne pendant une année \fg
\item[$\bullet~~$]$G$ : \og Au moins un des deux escalators fonctionne sans panne pendant une année \fg
\item[$\bullet~~$]$H$ : \og Un seul des deux escalators fonctionne sans panne pendant une année \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est $0,931$.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $G$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'évènement $F_1 \cap \overline{F_2}$ et calculer sa probabilité.
		\item Justifier que l'évènement $H$ est égal à l' évènement $\left(F_1 \cap  \overline{F_2}\right) \cup  \left( \overline{F_1} \cap F_2\right)$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $H$.
		
On pourra admettre que la probabilité de l'événement $\left(F_1 \cap  \overline{F_2}\right) \cap  \left( \overline{F_1} \cap F_2\right)$ vaut $0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
	
\emph{Dans la suite de l'exercice on étudie la fréquentation d'une boutique de produits bio implantée dans le centre commercial. Les probabilités demandées seront arrondies à } $10^{-4}$.

\bigskip

\textbf{Partie B - Loi binomiale}

\medskip

Une étude statistique a permis d'établir qu'un passant pris au hasard au cours d'une journée dans la galerie marchande du centre commercial entre dans la boutique de produits bio avec une probabilité de $0,1$.

On choisit au cours d'une journée. de façon aléatoire. un échantillon de $60$~passants dans la galerie marchande ; le nombre de clients du centre commercial est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de personnes qui entrent dans la boutique de produits bio, parmi les $60$ passants de l'échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le fait que la variable $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
		
Par une phrase simple, interpréter ce résultat,
	\end{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item \og Exactement $2$ passants de l'échantillon entrent dans la boutique de produits bio \fg
		\item \og Au moins $10$ passants de l'échantillon entrent dans la boutique de produits bio \fg
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Approximation de la loi binomiale par une loi normale}

\medskip

La probabilité qu'un passant pris au hasard au cours d'une journée dans la galerie marchande du centre commercial entre dans la boutique de produits bio est toujours de $0,1$.

On choisit désormais, de façon aléatoire, un échantillon de $300$~passants de la galerie marchande : cet échantillon est également assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $Y$ la variable aléatoire indiquant le nombre de personnes qui entrent dans la boutique de produits bio, parmi les $300$~passants de l'échantillon.

On admet que l'on peut approcher la loi binomiale suivie par $Y$ par la loi normale d'espérance $30$ et d'écart-type $5,2$. Soit $Z$ la variable aléatoire suivant cette loi normale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les valeurs les paramètres de la loi normale suivie par $Z$.
\item Compte tenu de la correction de continuité nécessaire pour approcher la loi binomiale par une loi normale, déterminer une approximation des probabilités suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $P(Y > 34)$ en calculant $P(Z > 34,5)$.
		\item $P(26 \leqslant  Y \leqslant 34)$ en calculant $P(25,5 \leqslant Z \leqslant 34,5)$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $P(Z > 38,5) \approx 0,05$.
	
Déterminer la valeur du nombre réel $k$ tel que : $P(k < Z < 38,5) \approx 0,90$.
	
\emph{Toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}
\begin{center}
\emph{Un formulaire est disponible en fin d 'exercice}
\end{center}

Le but de cet exercice est l'étude de la demande et de l'offre pour un nouveau produit de grande consommation vendu entre $0,50$ et $4$~\euro.

\medskip

Une étude statistique a donné les résultats suivants dans lesquels :

$x$ désigne le prix unitaire du produit, exprimé en euros.

$y$ désigne la demande (quantité de produit demandée par les consommateurs).

$z$ désigne l'offre (quantité de produit offerte sur le marché par les producteurs).

$y$ et $z$ sont exprimées en milliers d'unités.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ en euros& 0,5& 1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4\\ \hline
$y$ en milliers d'unités& 6,4 &5,1 &4,1 &3,2 &2,6 &2,1 &1,7 &1,5\\ \hline
$z$ en milliers d'unités& 0,9 &1,4 &1,7 &1,9 &2,1 &2,3 &2,4 &2,6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}\textbf{Partie A - Étude de l'offre}\end{center}

\begin{enumerate}
\item On effectue le changement de variable suivant : $t = \text{e}^z$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau donné en annexe à rendre avec la copie. Arrondir les résultats à $10^{-2}$.
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $t$ en $x$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $t = ax + b$, où les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au centième.
		\item En déduire une expression de $z$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle [0,5~;~4], par : 
	
\[g(x) = \ln(3x + 0,9).\]
	
On admet que pour un prix unitaire de $x$ euros, $x$ compris entre $0,5$ et $4$, $g(x)$ correspond à l'offre en milliers d'unités.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle [0,5~;~4J et on note $g'$ sa fonction dérivée.
		
Déterminer $g'(x)$.
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~4]$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

La courbe $\mathcal{C_g}$ représentative de la fonction $g$ est tracée dans le repère donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.

\bigskip
 
\begin{center}\textbf{Partie B - Étude de la demande et détermination du prix d'équilibre}\end{center}

On définit la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~4], par : 

\[f(x) = 15\text{e}^{- 0,3x} + x - 7.\]

On admet que pour un prix unitaire de $x$ euros, compris entre $0,5$ et $4$, $f(x)$ modélise la demande, en milliers d'unités.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur intervalle [0,5~;~4] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
		
Déterminer $f'(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1 - 4,5\text{e}^{- 0,3x} \geqslant 0$.
		\item En déduire que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0,5~;~4].
	\end{enumerate}
\item On admet que les deux premières lignes du tableau statistique donné au début de l'exercice 2 est un tableau de valeurs de la fonction $f$. Autrement dit, dans ce tableau, $y = f(x)$.
	
Construire la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~4] dans le repère précédent donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
\item Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée du prix d'équilibre de ce nouveau produit, c'est-à-dire le prix de vente pour lequel la demande est égale à l'offre.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textbf{Formulaire}\\
\multicolumn{1}{|l|}{Si $u$ est une fonction strictement positive, définie et dérivable, sur un intervalle $I$}\\
\multicolumn{1}{|l|}{alors la fonction $(\ln u)$est définie et dérivable sur $I$, et sa dérivée est donnée par:}\\
$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$\\
\multicolumn{1}{|l|}{Si $u$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction $\text{e}^u$ est}\\
\multicolumn{1}{|l|}{ définie et dérivable sur $I$, et sa dérivée est donnée par :}\\
$\left(\text{e}^u \right) = u'\text{e}^u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2}

Partie A -  question 1. a.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ en euros 	&0,5 	&1 	&1,5 	&2 		&2,5 	&3 		&3,5 	&4\\ \hline
$z$ en milliers &0,9 	&1,4&1,7 	&1,9 	&2,1 	&2,3 	&2,4 	&2,6\\ \hline
$t = \text{e}^z$&2,46	&	&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

Parties A et B

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6.5,7.5)
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\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}