\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{tabularx} %\documentclass[a4paper,11pt]{article} %\input{/Users/fredericpitoun/Dropbox/2023/entete_exo.tex} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ,pst-tree,pstricks-add} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,pstricks-add}% \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} %\renewcommand\footrulewidth{0pt} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \pagestyle{fancy} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{enumitem,graphicx} \newcommand{\e}{\,\text{e}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Groupement C2}} \rfoot{\small{16 mai 2025}} \renewcommand{\headwidth}{\textwidth} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty}\thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~BTS Groupement C2 - 16 mai 2025~\decofourright\\[7pt]Métiers de la mode (2 options)} \end{center} \bigskip \textbf{Matériel autorisé:} L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé. \smallskip \emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.} \\ \bigskip \textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \emph{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.} On s'intéresse à l'évolution de l'épaisseur moyenne des glaciers au niveau mondial. Le tableau ci-dessous donne les variations en mètre de l'épaisseur moyenne de tous les glaciers par rapport à 1956, année de référence. Le rang 0 correspond à l'année 1960. Par exemple, on peut lire dans le tableau que les glaciers ont perdu, en moyenne, 2 mètres d'épaisseur entre 1956 et 1960 et 4 mètres d'épaisseur entre 1956 et 1970. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1960 &1970& 1980& 1990& 2000& 2010& 2020& 2023\\ \hline Rang $x_i$& 0& 10& 20& 30& 40& 50& 60& 63\\ \hline Épaisseur $y_i$ (en mètre)&$-2$ &$-4$& $-6$& $-8$& $-13$& $-18$& $-27$& $-30$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le graphique ci-dessous représente le nuage de points correspondant aux données du tableau. %\begin{center} %\psset{unit=0.175cm,arrowsize=2pt 3} %\begin{pspicture}(-2.5,-35)(72.5,7.5) %\multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-30)(\n,5)} %\multido{\n=-30+5}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)} %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-35)(72.5,7.5) %\uput[u](67.5,0){rang $x_i$}\uput[r](0,6){épaisseur moyenne $y_i$} %\psdots[dotstyle=*](0,-2)(10,-4)(20,-6)(30,-8)(40,-13)(50,-18)(60,-27)(63,-30) %\uput[ur](0,-2){A}\uput[ur](10,-4){B}\uput[ur](20,-6){C}\uput[ur](30,-8){D}\uput[ur](40,-13){E}\uput[ur](50,-18){F}\uput[ur](60,-27){G}\uput[ur](63,-30){H} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} \psset{unit=0.175cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5,-33)(72,7) %\multido{\n=0+5}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-35)(\n,5)} %\multido{\n=-35+5}{9}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(75,\n)} \psgrid[unit=0.875cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray](0,-7)(15,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-33)(72,7.5) \uput[u](67,0){rang $x_i$}\uput[r](0,6){épaisseur moyenne $y_i$} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,-2)(10,-4)(20,-6)(30,-8)(40,-13)(50,-18)(60,-27)(63,-30) {\blue \uput[dr](0,-2){A}\uput[dr](10,-4){B}\uput[r](20,-6){C}\uput[ur](30,-8){D} \uput[ur](40,-13){E}\uput[ur](50,-18){F}\uput[ul](60,-27){G}\uput[r](63,-30){H}} \end{pspicture*} \end{center} \smallskip \textbf{Partie A- Première modélisation} \medskip \begin{enumerate} \item Peut-on penser qu'un ajustement affine de $y$ en $x$ est approprié? Justifier. \item Pour chaque épaisseur $x_i$, on pose $z_i = \ln(-y_i)$. Recopier et compléter les quatre dernières colonnes du tableau suivant. On arrondira les résultats à $10^{-3}$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang $x_i$ & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50& 60& 63\\ \hline Épaisseur $y_i$ (en mètre) &$-2$ &$-4$ & $-6$ & $-8$ & $-13$ & $-18$& $-27$& $-30$\\ \hline $z_i$ &0,693 &1,386 &1,792 &2,079 & &&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On envisage un ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. \begin{enumerate} \item Préciser le coefficient de corrélation linéaire $r$. Arrondir à $10^{-3}$. \item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x. On arrondira les coefficients à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item En déduire un ajustement de $y$ en $x$ sous la forme $y = A\e^{ax}$, où $A$ et $a$ sont deux constantes réelles. On arrondira $A$ au centième et $a$ au millième. \item Avec ce modèle, estimer l'épaisseur moyenne perdue par les glaciers en 2030. On arrondira le résultat à l'unité. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude de fonction} \medskip On suppose dans cette partie que l'évolution de l'épaisseur moyenne (en mètre) des glaciers par rapport à 1956 en fonction du temps $x$ en année ($x = 0$ représentant l'année 1960) peut être modélisée par une fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ et représentée graphiquement ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=0.15cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-5,-50)(75,10) \psgrid[unit=0.75cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,-10)(15,2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-50)(75,10) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{72.5}{2.3 2.71828 0.04 x mul exp mul neg} \uput[d](66,-5){rang de l'année}\uput[r](0,7.5){épaisseur moyenne} \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique. \begin{enumerate} \item Estimer l'épaisseur moyenne perdue par les glaciers en 1980 par rapport à 1956. \item Estimer au cours de quelle année l'épaisseur moyenne a diminué de $30$~m par rapport à 1956. \end{enumerate} \end{enumerate} L'expression de la fonction $f$ est donnée sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = - 2,3\e^{0,04x}.\] \begin{enumerate}[resume] \item Estimer par le calcul au cours de quelle année l'épaisseur moyenne aura diminué de $50$~m par rapport à 1956. La fonction $f$ admet une dérivée sur $[0~;~ +\infty[$, notée $f'$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$. \item Donner le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$. \item Cela est-il cohérent avec le contexte de l'exercice ? Justifier. \end{enumerate} \item Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Que peut-on penser de la modélisation par cette fonction sur le long terme ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Une entreprise réalise des forets (tiges métalliques pour percer le béton). Elle possède trois machines, nommées A, B et C, réglées pour fabriquer des forets de diamètre 10 mm et de longueur 110 mm. \bigskip \textbf{Partie A- Probabilités conditionnelles} \medskip La machine A fabrique 20\,\% de la production de l'entreprise et les machines B et C fabriquent chacune 40\,\% de la production de l'entreprise. On considère que 1\,\% des forets fabriqués par la machine A sont défectueux, ainsi que respectivement 2\,\% et 1,5\,\% des forets fabriqués par les machines B et C. On choisit un foret au hasard dans l'ensemble de la production. \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $A$ est l'évènement \og le foret provient de la machine A \fg. \item $B$ est l'évènement \og le foret provient de la machine B \fg. \item $C$ est l'évènement \og le foret provient de la machine C \fg. \item $D$ est l'évènement \og le foret est défectueux \fg. \item $\overline{D}$ est l'évènement \og le foret n'est pas défectueux \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}} { \TR{$D$} \TR{$\overline{D}$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}} { \TR{$D$} \TR{$\overline{D}$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C$}} { \TR{$D$} \TR{$\overline{D}$} } } \end{center} \item Calculer $P(A \cap D)$. \item Montrer que $P(D) = 0,016$. \item Calculer $P_D(B)$, c'est-à-dire la probabilité qu'un foret provienne de la machine B sachant qu'il est défectueux. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Contrôle de conformité} \medskip On admet dans cette partie que la probabilité de choisir au hasard dans le stock de l'entreprise un foret défectueux est de $0,016$. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ forets choisis au hasard dans le stock de l'entreprise, associe le nombre de forets défectueux dans ce prélèvement. On admet que le stock est suffisamment grand pour assimiler chaque prélèvement à 100 tirages successifs avec remise d'un foret du stock. On choisit au hasard un prélèvement de $100$ forets. \medskip \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité de n'avoir aucun foret défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux forets défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Contrôle du diamètre} \medskip On s'intéresse au diamètre des forets fabriqués par la machine B. On admet que la variable aléatoire $Y$ donnant le diamètre d'un foret (en millimètre) pris au hasard dans la production de la machine B suit une loi normale de paramètre $\mu = 10$ et $\sigma = 0,02$. L'entreprise estime qu'un foret peut être commercialisé lorsque son diamètre est compris entre $9,95$~mm et $10,05$~mm. Calculer la probabilité qu'un foret choisi au hasard dans la production de la machine B puisse être commercialisé. On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \bigskip \textbf{Partie D - Test d'hypothèse} \medskip L'entreprise considère qu'une machine est correctement réglée lorsque le diamètre moyen des forets produits par cette machine est égal à $10$~millimètres. Suite à la maintenance de la machine C, l'entreprise se demande si cette machine est toujours correctement réglée. \smallskip Le responsable qualité construit pour cela un test d'hypothèse bilatéral au seuil d'erreur de $5\,\% $. On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $50$ forets prélevés au hasard dans la production de la machine C, associe la moyenne, en millimètre, des diamètres des forets de cet échantillon. On suppose que le nombre de forets est suffisamment élevé pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On admet que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma = 0,009$. L'hypothèse nulle $H_0$ est donc \og $m = 10$ \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'hypothèse alternative $H_1$. \item Déterminer sous l'hypothèse $H_0$, une valeur arrondie à $10^{-3}$ du réel $h$ tel que: \[P(10 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 10 + h) = 0,95\] \item On prélève un échantillon de $50$~forets et on obtient un diamètre moyen de $9,97$ mm. Peut-on, au seuil de $5\,\% $, conclure que la machine C est correctement réglée ? \end{enumerate} \end{document}