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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement C2}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement C2\footnote{Métiers de la mode}\\[7pt] Durée : 2 heures}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé.}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Le bois d'épicéa est couramment utilisé en France pour la construction.

Avant son utilisation, il est nécessaire de le faire sécher.

La teneur en humidité du bois d'épicéa correspond au pourcentage d'eau contenu dans le bois.

La teneur en humidité, en pourcentage, du bois d'épicéa est une fonction $f$ du temps $t$, exprimé en semaine.

\bigskip

\textbf{PARTIE A -- Étude statistique}

\medskip

On a effectué un relevé de la teneur en humidité d'une poutre en épicéa en fonction du temps, exprimé en semaine.

Les données sont représentées sur le graphique ci- dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=6cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-14,-0.2)(70,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=0.1](0,0)(0,0)(70,0.92)
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.9)}%,labelFontSize=\footnotesize
\multido{\n=0.1+0.1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(70,\n)}
\rput{90}(-12,0.5){Teneur en humidité}
\rput(35,-0.2){Temps en semaine}
\psdots[linecolor=blue,dotscale=1.5](0,0.8)(10,0.58)(20,0.42)(30,0.31)(40,0.25)(50,0.2)(60,0.17)
\rput(-9,0.1){\small $10\,\% = $}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Au vu de la représentation graphique obtenue, un ajustement affine semble-t-il approprié ? Expliquer.

\item On désigne par $H$ la teneur en humidité dans le bois, en pourcentage, et on pose :
\[y = \ln (H - 0,1).\]

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&0 &10 &20 &30 &40 &50 &60\\ \hline
$H$& 0,80 &0,58 &0,42 &0,32 &0,25 &0,20 &0,17\\ \hline
$y$&$-0,36$& $-0,73$&$-1,14$&\ldots& $-1,90$&$-2,30$& $-2,66$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Dans le tableau, quelle est la valeur manquante $y$, arrondie au centième, correspondant au temps $t = 30$ ?
		\item Sans justifier, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $t$, par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients au millième.
		\item Déduire de la question précédente un ajustement de $H$ par $t$.
	\end{enumerate}

On admet dans la suite que l'évolution de la teneur en humidité de la poutre, en fonction
du temps, est donnée par l'expression :

\[H(t) = 0,7\e^{-0,04 t} + 0,1.\]

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Quelle serait la teneur en humidité de la poutre après $70$ semaines ? Arrondir le résultat au millième.
		\item Est-il possible que la teneur en humidité soit inférieure à $5\,\%$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B -- Temps de séchage}

\medskip

On admet que la fonction représentée ci-dessous est la fonction $f$ qui exprime la teneur en humidité du bois d'épicéa, en pourcentage, en fonction du temps $t$, exprimé en semaine.

%\begin{center}
%\psset{unit=1mm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}*(-9,-9)(103,92)
%\psaxes[Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(100,92)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{100}{10 70 2.718 -0.04 x mul exp mul add}
%%\psset{linestyle=dotted}
%\multido{\n=10+10}{10}{
%\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,90)
%\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(100,\n)}
%\multido{\n=1+1}{100}{
%\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,90)}
%\multido{\n=1+1}{90}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(100,\n)}
%\rput(86,2){temps en semaine $t$}
%\uput[r](0,88){taux d'humidité (\%)}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1mm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}*(-10,-10)(80,90)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-1)(8,9)
\psaxes[labels=none,ticksize=0pt 0pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-10,-10)(80,90)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{80}{10 70 2.718 -0.04 x mul exp mul add}
\uput[d](10,0){10} \uput[l](0,10){10} \uput[dl](0,0){0} 
\uput[dl](80,0){$t$}
\rput(60,5){Temps en semaine}
\rput[l](5,85){Teneur en humidité (\%)}
\end{pspicture}
\end{center}
Répondre aux questions suivantes, avec la précision permise par le graphique :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la teneur en humidité d'une poutre après $20$ semaines de séchage ?
\item Ces poutres sont vendues une fois que leur teneur en humidité est inférieure à $20\,\%$.

Au bout de combien de temps, ces poutres peuvent-elles être vendues ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C -- Teneur en humidité}

\medskip

Dans cette partie, on admet que l'expression de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ représentant la teneur en humidité, en pourcentage, du bois d'épicéa en fonction du temps $t$, exprimé en semaine, est

\[f(t) = 0,7\e^{-0,04t} + 0,1.\]

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu la capture d'écran suivante :

\begin{center}
$\begin{array}{|c|l|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{\triangleright \:\text{Calcul formel}}\\ \hline
1&f(t):=0,7*\text{exp}(-0,04t) + 0,1\\
&\approx \boldmath f(t):=0,7*\text{exp}(-0,04t) + 0,1 \unboldmath\\ \hline
2&\text{Dérivée}[f]\\
&\approx \boldmath-0,028\e^{0,04t}\unboldmath\\ \hline
3&\text{Integrale}[f]\\
&\approx \boldmath- 17,5\e^{-0,04t}+0,1t\unboldmath\\ \hline
4&\text{Limite}[f, + \infty]\\
&\approx \boldmath 0,1 \unboldmath\\ \hline
\end{array}$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Donner la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
		
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item À l'aide du contexte, conjecturer les variations de la fonction $f$ sur $[0~; + \infty[$. 		
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre pour $t$ appartenant à $[0~;~+\infty[$ l'inéquation :
		
		\[f(t) \leqslant 0,2.\]
		
Arrondir le résultat à l'unité.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Une entreprise produit en grande série des vis au moyen de deux chaînes de production.

\begin{center}
\textbf{Partie A: production de vis}
\end{center}

On choisit au hasard une vis dans le stock. On note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $C_1$ l'évènement \og la vis provient de la première chaîne \fg,
\item $C_2$ l'évènement \og la vis provient de la seconde chaîne \fg,
\item $D$ l'évènement \og la vis est défectueuse \fg.
\end{itemize}

La première chaîne produit 40\,\% du stock et on sait que sur cette chaîne 3 vis sur \np{1000} ont un défaut.

De plus, on sait que sur la seconde chaîne, $5$ vis sur \np{1000} ont un défaut.

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré qui suit.

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C_1$~~}\ncput*{ ?}}
	{\TR{$D$}\ncput*{\small ?}
	\TR{$\overline{D}$}\ncput*{\small ?}
	}
\pstree{\TR{$C_2$~~}\ncput*{\small ?}}
	{\TR{$D$}\ncput*{\small ?}
	\TR{$\overline{D}$}\ncput*{\small ?}
	}
}
\end{center}

\item Déterminer la probabilité que la vis choisie provienne de la première chaîne et présente un défaut.
%$p(C_1 \cap D)=p(C_1) \times p_{\ov{C_1}}(D)=0.4 \times 0.003 = 0.0012$.
\item Montrer que la probabilité que la vis présente un défaut est égale à \np{0.0042}.
%On a $p(D)=p(C_1 \cap D)+p(C_2 \cap D)=0.0012+0.6 \times 0.005 = 0.0042$.
\item On choisit une vis du stock et on constate qu'elle présente un défaut.

Est-il exact qu'il y a au moins $25\,\%$ de chances qu'elle provienne de la première chaîne de production ?
%On a $p_{D}(C_1)= \frac{p(D \cap C_1)}{p(D)}=\frac{2}{7} \simeq 0.286$. Oui, il y a donc bien au moins 25 \% de chances que la vis provienne de la chaîne 1.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B: étude d'un lot}
\end{center}

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu'une vis présente un défaut vaut 0,004.

On prélève, dans le stock d'une journée, un lot de $50$~vis. On admet que ce stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque prélèvement associé le nombre de vis ayant un défaut.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
%$X$ représente le nombre de succès (vis défectueuse) obtenu lors de 50 répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0.004$. La loi suivie par $X$ est donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0.004$, notée $\mathcal{B}(50,0.004)$.
\item Dans cette question, les probabilités sont arrondies au millième :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que ce lot contienne exactement 2 vis ayant un défaut.%$p(X=2) \simeq 0.0167$.
		\item Calculer la probabilité que ce lot contienne au moins 3 vis ayant un défaut.%$p(X \geq 3)=1-p(X \leq 2) \simeq 0.0011$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Partie C: conformité des vis.}
\end{center}

Dans cette partie, on s'intéresse à la longueur des vis produites par la première chaîne de production.

On appelle $L$ la variable aléatoire qui, à chaque vis de la production, associe sa longueur en millimètres.

On admet que la variable aléatoire $L$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Une vis est considérée comme conforme lorsque sa longueur est comprise entre $59,60$~mm et $60,40$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $\mu = 60$ et $\sigma = 0,25$.

Calculer la probabilité qu'une vis choisie au hasard dans le stock soit conforme.\\
 Arrondir le résultat au centième.
%On a $p(59.6 \leq L \leq 60.4) \simeq 0.890$.

\item Les vis sont considérées  conformes lorsque leur longueur moyenne est de $60$~mm.

Afin de vérifier le bon réglage des machines de fabrication des vis produites par la première chaîne de production, on construit un test d'hypothèse bilatéral relativement à la moyenne des longueurs des vis, au seuil de risque de 5\,\%.

L'hypothèse nulle du test est donc $H_0 : \mu = 60$.
%Test d'hypothèses:
	\begin{enumerate}
		\item Énoncer l'hypothèse alternative $H_1$.
\medskip
%le test étant bilatéral, l'hypothèse alternative $H_1$ est $\mu \neq 60$.
\end{enumerate}

On note $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 vis produites par la première chaîne, associe la  moyenne des longueurs de ces 100 vis.

Sous l'hypothèse $H_0$, on admet que $\overline{L}$ suit une loi normale d'espérance mathématique 60 et d'écart-type $\sigma' = 0,025$.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item On admet  que $P\left(59,95 \leqslant \overline{L} \leqslant 60,05\right) = 0,95$.

Énoncer la règle de décision du test.
		\item On prélève un échantillon de 100 vis et on obtient, pour cet échantillon, une
moyenne des longueurs des $100$~vis égale à $60,03$~mm.

Appliquer le test conçu dans cette question et conclure quant au réglage de la première chaîne de production.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}