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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

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\usepackage{enumitem,graphicx}
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement C1}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
%\begin{flushleft}
%{\bf BTS-DRB2 \hfill 14/05/2024}
%\end{flushleft}
\begin{center}
\textbf{\Large  \decofourleft~BTS Groupement C1\footnote{Conception des processus de découpe et d'emboutissage 
Conception des processus de réalisation de produits (2 options) 
Conception et réalisation en chaudronnerie industrielle 
Conception et industrialisation en construction navale 
Développement et réalisation bois 
Fonderie 
Forge 
Industries céramiques Innovation textile (2 options)
Maintenance des matériels de construction et de manutention 
Maintenance des systèmes (4 options) 
Maintenance des véhicules (3 options) 
Motorisations toutes énergies 
Pilotage des procédés 
Systèmes constructifs bois et habitat 
Techniques et services en matériels agricoles
} -- 14 mai 2024~\decofourright}\\
\end{center}

\bigskip

\textbf{Matériel autorisé:}

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L'usage de la calculatrice sans mémoire \og type collège  \fg{} est autorisé.

\smallskip

\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.}
\\

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 1}

\medskip

\textit{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Le bois d'épicéa est couramment utilisé en France pour la construction. \\
Avant son utilisation, il est nécessaire de le faire sécher. \\
La teneur en humidité du bois d'épicéa correspond au pourcentage d'eau contenu dans le bois.\\
On considère ici des poutres d'épicéa ayant la forme d'un pavé droit de longueur 4~m et dont la base est un carré de côté 5~cm.

\begin{center}
\begin{pspicture}*(-1.5,-1)(10,4.5)
\psline(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)(0,0)
\psline(1,0)(7,3)
\psline(1,1)(7,4)
\psline(0,1)(6,4)
\psline(7,3)(7,4)(6,4)
\psline{<->}(0,-0.2)(1,-0.2)
\rput[t](0.5,-0.3){$5$ \ cm}
\psline{<->}(-0.2,0)(-0.2,1)
\rput[r](-0.3,0.5){$5$ \ cm}
\psline{<->}(1.3,0)(7.3,3)
\rput[l](4.6,1.5){$4$ \ m}
\psset{linestyle=dashed}
\psline(0,0)(6,3)
\psline(6,4)(6,3)(7,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A - modélisation de la teneur en humidité.} 

\medskip

Dans cette partie, on utilisera exclusivement des valeurs exactes pour les calculs.

\begin{enumerate}
\item On considère que lors du séchage 96\,\% de la surface extérieure d'une poutre est exposée à l'air. 

Montrer que pour de telles poutres, la valeur correspondante à l'aire de la surface exposée à l'air vaut \np{0,7728}~m$^2$.

\item On admet que pour le bois considéré dans cette partie et les conditions de séchage envisagées, la teneur en humidité, exprimée en pourcentage, est une fonction $f$ du temps $t$ exprimé en semaine, qui vérifie l'équation différentielle:

\[(E): \quad y'+ \np{0,03864}y= \np{0,003864}\]

où $y$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et $y'$ est sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(t)= 0,1$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.

\item Déterminer les solutions de l'équation homogène $\left (E_0\right )$:

\[\left(E_0\right) :\quad y'+ \np{0,03864} y = 0.\]

\item Déduire de ce qui précède, les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item Déterminer la fonction $f$, définie sur $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que la teneur en humidité initiale, c'est-à-dire au temps $t=0$, est de 80\,\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Temps de séchage}

\medskip

On admet que  la fonction représentée ci-dessous est la fonction  $f$ qui exprime la teneur en humidité   du bois d'épicéa, en pourcentage, en fonction du temps $t$, exprimé en semaine.

\begin{center}
\psset{unit=1mm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}*(-10,-10)(80,90)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-1)(8,9)
\psaxes[labels=none,ticksize=0pt 0pt,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-10,-10)(80,90)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{80}{10 70 2.718 -0.04 x mul exp mul add}
\uput[d](10,0){10} \uput[l](0,10){10} \uput[dl](0,0){0} 
\uput[dl](80,0){$t$}
\rput(60,5){Temps en semaine}
\rput[l](5,85){Teneur en humidité (\%)}
\end{pspicture}
\end{center}

Répondre aux questions suivantes, avec la précision permise par le graphique:

\begin{enumerate}

\item Quelle est la teneur en humidité d'une poutre après 20 semaines de séchage ?
\item Ces poutres sont vendues une fois que leur teneur en humidité est inférieure à 20 \%.\\ 
Au bout de combien de temps, ces poutres peuvent elles être vendues ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Teneur en humidité}

\medskip

Dans cette partie, on admet que l'expression de la fonction  $f$ définie sur $[0\;;\; +\infty[$  représentant la teneur en humidité, en pourcentage,  du bois d'épicéa en fonction du temps $t$, exprimé en semaine, est:

\[f(t)=0,7 \e^{-0,04 t} + 0,01\]

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu la capture d'écran suivante:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c | m{7cm}|}
\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel\hfill$\boxtimes$}\\
\hline
~~1~~ & \texttt{f(t) := 0.7 exp(-0.04t) + 0.1}\rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~ \text{f(t) := }0.7 \e^{-0.04t} + 0.1$\\
\hline
2 & \texttt{Dérivée[f]} \rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~ -0.028 \e^{-0.04t}$\\
\hline
3 & \texttt{Intégrale[f]} \rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~-17.5 \e^{-0.04t} + 0.1t$\\
\hline
4 & \texttt{Limite[f , $+\infty$]} \rule[-7pt]{0pt}{0pt}\newline $\approx~0.1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents, répondre aux questions suivantes:

	\begin{enumerate}
		\item Donner la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. 
		
		Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

		\item À l'aide du contexte, conjecturer les variations de la fonction $f$ sur $[0\;;\;+\infty[$.

		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$.
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre pour $t$ appartenant à $[0\;;\;+\infty[$  l'inéquation: $f(t) \leqslant 0,2$.
		
Arrondir le résultat à l'unité.

		\item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Une entreprise produit en grande série des vis au moyen de deux chaînes de production.

\medskip

\textbf{Partie A - Production de vis}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On choisit au hasard une vis dans le stock. On note:}
\item $C_1$ l'évènement \og la vis provient de la première chaîne \fg{};
\item $C_2$ l'évènement \og la vis provient de la deuxième chaîne \fg{};
\item $D$ l'évènement \og la vis a un défaut \fg.
\end{list}

La première chaîne produit 40\,\% du stock et on sait que sur cette chaîne 3 vis sur \np{1000} ont un défaut. 

De plus, on sait que sur la deuxième chaîne, 5 vis sur \np{1000} ont un défaut.

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ sont évènement contraire.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant:

\begin{center}
{%\small
\psset{treemode=R,levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=1cm}
\pstree[nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C_1$}\ncput*{?}}
	                        {
	                        \TR{$D$}\ncput*{?}
			                \TR{$\overline{D}$}\ncput*{?}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C_2$}\ncput*{?}}
	                        {
	                        \TR{$D$}\ncput*{?}
			                \TR{$\overline{D}$}\ncput*{?}
	                        }
      }
}% fin du \small
\end{center}

\item Déterminer la probabilité que la vis choisie provienne de la première chaîne et présente un défaut.

\item Montrer que la probabilité que la vis présente un défaut est égale à \np{0.0042}.

\item On choisit une vis du stock et on constate qu'elle présente un défaut.

Est-il exact qu'il y a moins de 25\;\% de chances qu'elle provienne de la première chaîne de production ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude d'un lot} 

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu'une vis ait un défaut vaut $0,004$.

On prélève, dans le stock d'une journée, un lot de $50$~vis. On admet que ce stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque prélèvement d'un lot de 50 vis, associe le nombre de vis ayant un défaut.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

\item Dans cette question, les probabilités seront arrondies au millième.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que ce lot contienne exactement 2 vis ayant un défaut.

\item Calculer la probabilité que ce lot contienne au moins 3 vis ayant un défaut.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C - Conformité des vis}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la longueur des vis produites par la première chaîne de production.

On appelle $L$ la variable aléatoire qui, à chaque vis de la production, associe sa longueur en millimètre.

On admet que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$.

Une vis est considérée comme conforme lorsque sa longueur est comprise entre $59,60$~mm et $60,40$~mm.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $\mu = 60$ et $\sigma = 0,25$. \\
Calculer la probabilité qu'une vis choisie au hasard dans le stock soit conforme.\\
Arrondir le résultat au centième.

\item Les vis sont considérées conformes si leur longueur moyenne est de 60~mm.
 
Afin de vérifier le bon réglage des machines de fabrication des vis produites par la première chaîne de production, on construit un test d'hypothèse bilatéral relativement à la moyenne des longueurs des vis, au seuil de risque de 5\,\%.

L'hypothèse nulle du test est donc $H_0\;:\; \mu = 60$.

	\begin{enumerate}
		\item Énoncer l'hypothèse alternative $H_1$.
	\end{enumerate}
	
On note $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 vis produites par la première chaîne,, associe la moyenne des  longueurs de ces 100 vis.

Sous l'hypothèse $H_0$, on admet que  $\overline{L}$ suit la loi normale d'espérance mathématique 60 et d'écart type $\sigma' = 0,025$.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item On admet que $P\left (59,95 \leqslant \overline{L} \leqslant 60,05\right )  = 0,95$. \\
		Énoncer la règle de décision du test.

		\item On prélève un échantillon de 100 vis et on obtient, pour cet échantillon, une moyenne des longueurs des 100 vis égale à $60,03$~mm. 
		
		Appliquer le test conçu dans cette question et conclure quant au réglage de la première chaîne de production.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}