\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Merci à Biram Ndiaye pour le sujet \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-node,pst-circ,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement B2}, pdftitle = {14 mai 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupement B2}} \rfoot{\small{13 mai 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur groupement B2 \\[5pt] 13 mai 2019 - Métropole--Antilles--Guyane--Polynésie}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip Lorsqu'un fil électrique est parcouru par un courant électrique d'intensité constante, celui-ci s'échauffe par effet Joule et sa température varie en fonction du temps. On note $f(t)$ la température, exprimée en degré Celsius, du conducteur à l'instant $t$, exprimé en seconde, avec $t$ variant dans l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. \smallskip Dans cet exercice, on se propose d'étudier l'évolution de la température du conducteur en fonction du temps. \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} \medskip \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip À l'instant $t = 0$ de la mise sous tension, la température du conducteur est celle du milieu ambiant, c'est-à-dire 18 degrés Celsius. Ainsi, on a $f(0) = 18$. Dans les conditions de l'expérience, la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' + 0,05y = 2,\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, et $y'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $\left(E_0\right)\: :\quad y' + 0,05y = 0$. On fournit la formule suivante : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Équation différentielle &Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline $ay' + by = 0$&$f(t) = k \text{e}^{- \frac{b}{a} t}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 40$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire les solutions définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle $(E)$. \end{enumerate} \item On rappelle que la température initiale du conducteur est $18$\degres{} Celsius. Ainsi, la fonction $f$ exprimant la température du conducteur est la solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 18$. Déterminer alors une expression de la fonction $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath \medskip On admet que la fonction donnant la température du conducteur est la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par: \[f(t) = -22 \text{e}^{-0,05t} + 40.\] On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. La courbe $C$ est tracée en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,05t} = 0$. Déterminer alors la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item En déduire que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation. Tracer cette asymptote sur la représentation graphique donnée en annexe. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel permet d'obtenir ci-dessous une expression de la dérivée $f'$ de la fonction $f$. \begin{center} \begin{tabular}{l c l} 1 & $f(t)$ &:= $-22\text{e}^{-0,05t} + 40$\\ $\bullet$ &$\to f(t)$ &:= $-22 \text{e}^{-\frac{1}{20}t} + 40$\\ \hline 2 &Dérivée$(f(t), t)$ &\\ &$\to$ & $\dfrac{11}{10}\text{e}^{-\frac{1}{20}t}$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item En admettant ce résultat, étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Ce même logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au voisinage de zéro. \begin{center} \begin{tabular}{l l}\hline 3&PolynômeTaylor$(f(t), t, 0, 2)$\\ &$\to 18 + \dfrac{11}{10} t - \dfrac{11}{400} t^2$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \emph{Les deux questions suivantes sont des questions à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \begin{enumerate} \item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $y = 18$&$y = 18 + \dfrac{11}{10}t$&$y = 18 + \dfrac{11}{10}t - \dfrac{11}{400}t^2$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item La vitesse de chauffe, exprimée en degré Celsius par seconde, à l'instant initial est égale à $f'(0)$. Cette vitesse vaut : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 18&$\dfrac{11}{10}$&$\dfrac{11}{400}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Dépassement d'un seuil et algorithmique} \medskip On cherche à déterminer le premier instant $t$, en seconde, à partir duquel la température du fil du conducteur dépasse $21$\degres Celsius. À cette fin, on considère l'algorithme suivant. \begin{center} \begin{tabular}{l} $t \gets 0$\\ Tant que $f(t) \leqslant 21$\\ \hspace{1cm} $t \gets t + 1$\\ Fin de Tant que\\ \end{tabular} \end{center} Remarque : dans cet algorithme $t \gets 0$ signifie que $t$ prend la valeur $0$. \medskip \begin{enumerate} \item Faire tourner cet algorithme \og à la main \fg{} en complétant le tableau donné en annexe. \item Quelle sera la valeur contenue dans la variable $t$ à la fin de l'algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points} \medskip Dans les entreprises, l'énergie électrique est fournie par des onduleurs qui alimentent une multitude de récepteurs (ordinateurs, lampes basse consommation ... ) générant des courants harmoniques. Sans une installation adaptée et une utilisation de récepteurs optimisés, l'accumulation d'harmoniques de rangs multiples de 3 conduit au déséquilibre du triphasé. Cela peut engendrer de graves problèmes: surchauffe du fil portant le neutre, phénomène d'interférence, augmentation des pertes d'énergie, ouverture des fusibles ou interruptions automatiques. \bigskip \textbf{A. Représentation graphique d'un signal déphasé} \medskip Un onduleur à commande asynchrone délivre une tension périodique $f(t)$ de période $2\pi$ selon la représentation graphique suivante. \begin{center} \psset{xunit=0.48cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture}(-13,-5)(13,7) \psgrid[griddots=7,linewidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridlabels=0](-13,-5)(13,5) \rput(0,6.4){Représentation graphique de $t \mapsto f(t)$} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10]{->}(0,0)(-13,-5)(13,5) \uput[l](0,2){0,5}\uput[l](0,4){1}\uput[l](0,-4){-1} \uput[d](-12,0){$-2\pi$} \uput[d](-6,0){$-\pi$}\uput[d](-2,0){$- \frac{\pi}{3}$} \uput[d](2,0){$\frac{\pi}{3}$}\uput[d](6,0){$\pi$}\uput[d](12,0){$2\pi$} \psset{linecolor=blue,linewidth=1.2pt} \psline{-(}(-13,4)(-9,4)\psline{*-(}(-3,4)(3,4)\psline{*-}(9,4)(13,4) \psline{*-(}(-9,-4)(-3,-4)\psline{*-(}(3,-4)(9,-4) \end{pspicture} \end{center} Une représentation graphique de la fonction $t \mapsto f(t)$ est redonnée en annexe 2. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$, compléter le tableau de valeurs donné en annexe 2. \item Une représentation graphique de la fonction $t \mapsto f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$ est donnée en annexe 2. Construire en annexe 2 la représentation graphique de la fonction$t \mapsto f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$ sur l'intervalle $[- 2 \pi~;~2\pi]$ dans le repère prévu à cet effet. \item En régime triphasé, l'onduleur soumet la phase 1 à la tension $f(t)$, la phase 2 à la tension $f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$ et la phase 3 à la tension $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$. Le neutre est soumis à la somme $S(t)$ des tensions des trois phases définie par: \[S(t) = f(t) + f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right) + f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right).\] La système triphasé est équilibré si, pour tout nombre réel $t$,\, $S(t) = 0$. \begin{enumerate} \item Calculer $S(0)$. \item Le système triphasé étudié dans cette partie est-il équilibré ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Développement en série de Fourier } \medskip Pour garantir l'équilibrage d'un système triphasé, on peut utiliser un ondule ur à commande décalée. Ainsi, nous considérons dans cette partie que la tension délivrée est un signal $g$ de période $2\pi$ dont une représentation graphique figure ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=0.48cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture}(-13,-5)(13,7) \psgrid[griddots=7,linewidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridlabels=0](-13,-5)(13,5) \rput(0,6.4){Représentation graphique de $t \mapsto g(t)$} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10]{->}(0,0)(-13,-5)(13,5) \uput[l](0,2){0,5}\uput[l](0,4){1}\uput[l](0,-4){-1} \uput[d](-12,0){$-2\pi$} \uput[d](-6,0){$-\pi$}\uput[d](-2,0){$- \frac{\pi}{3}$} \uput[d](2,0){$\frac{\pi}{3}$}\uput[d](6,0){$\pi$}\uput[d](12,0){$2\pi$} \psset{linecolor=blue,linewidth=1.5pt} \psline{-(}(-13,4)(-10,4)\psline{*-(}(-2,4)(2,4)\psline{*-}(10,4)(13,4) \psline{*-(}(-10,0)(-8,0)\psline{*-(}(-4,0)(-2,0)\psline{*-(}(2,0)(4,0)\psline{*-(}(8,0)(10,0) \psline{*-(}(-8,-4)(-4,-4)\psline{*-(}(4,-4)(8,-4) \uput[u](12.8,0){$t$} \end{pspicture} \end{center} Dans la suite de l'exercice, $a_0,\, a_n$ et $b_n$ désignent les coefficients du développement en série de Fourier de la fonction $g$ avec les notations du formulaire donné en bas de page. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la parité de la fonction $g$. En déduire la valeur des coefficients $b_n$ pour tout entier naturel $n$ non nul. \item Donner la valeur de $g(t)$ sur chacun des trois intervalles $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right[, \,\left[\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{2\pi}{3}\right[$ et $\left[\dfrac{2\pi}{3}~;~\pi\right[$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $a_0$. \item Un logiciel de calcul formel fournit, pour tout entier naturel $n$ non nul: \[a_n = \dfrac{2}{\pi} \times \dfrac{\sin \left(\dfrac{n\pi}{3} \right) + \sin \left(\dfrac{2n\pi}{3} \right)}{n}. \] En admettant le résultat précédent, justifier que, pour tout entier naturel $k$ non nul, $a_{3k} = 0$. \item On démontre que ce qui empêche un système d'être équilibré est la présence d'harmoniques non nulles de rangs multiples de 3 dans le développement en série de Fourier de la fonction $g$. En admettant cette règle, peut-on considérer que le système est équilibré ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Formulaire pour les séries de Fourier} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline $f$ fonction périodique de période $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$.\\ Développement en série de Fourier: \\ \multicolumn{1}{|c|}{$s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left(a_n \cos(n \omega t)+ b_n \sin (n \omega t)\right)$,}\\ $a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{a}^{a+T} f(t)\:\text{d}t ; \quad a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{a}^{a+T} f(t)\cos (n \omega t)\:\text{d}t\:\:(n \in \N)$\\ $b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{a}^{a+T} f(t)\sin (n \omega t)\:\text{d}t\:\:(n \in \N)$\\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE \\[5pt] EXERCICE 1 QUESTION B. 1. b.} \bigskip \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-8,-3)(112,49) \multido{\n=0+2}{58}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,48)} \multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,48)} \multido{\n=0+1}{49}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(112,\n)} \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(112,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=5](0,0)(0,0)(112,45) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{112}{40 22 2.71828 0.05 x mul exp div sub} \end{pspicture} \vspace{2cm} \textbf{EXERCICE 1 QUESTION C. 1.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeur de $t$& Valeur de $f(t)$ arrondie à $10^{-2}$&Condition $f(t) \leqslant 21$\\\hline 0&18&Vraie\\ \hline 1&&\\ \hline &&\\ \hline &&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE} Représentation graphique de $t \longmapsto f(t)$ : \medskip \psset{xunit=0.48cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture}(-13,-5)(13,5) \psgrid[griddots=7,linewidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridlabels=0](-13,-5)(13,5) %\rput(0,6.4){Représentation graphique de $t \mapsto g(t)$} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10]{->}(0,0)(-13,-5)(13,5) \uput[l](0,2){0,5}\uput[l](0,4){1}\uput[l](0,-4){-1} \uput[d](-12,0){$-2\pi$} \uput[d](-6,0){$-\pi$}\uput[d](-2,0){$- \frac{\pi}{3}$} \uput[d](2,0){$\frac{\pi}{3}$}\uput[d](6,0){$\pi$}\uput[d](12,0){$2\pi$} \psset{linecolor=blue,linewidth=1.2pt} \psline{-(}(-13,4)(-9,4)\psline{*-(}(-3,4)(3,4)\psline{*-}(9,4)(13,4) \psline{*-(}(-9,-4)(-3,-4)\psline{*-(}(3,-4)(9,-4) \uput[u](12.5,0){$t$} \end{pspicture} \medskip \textbf{EXERCICE 2 QUESTION A. 1.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&$- \dfrac{4\pi}{3}$&$- \pi$&0&$\dfrac{\pi}{3}$&$\pi$&$\dfrac{4\pi}{3}$&$\dfrac{5\pi}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline $t + \dfrac{4\pi}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&&&&&&&\\ \hline $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{EXERCICE 2 QUESTION A. 2.} Représentation graphique de $t\longmapsto f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$ : \psset{xunit=0.48cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture}(-13,-5)(13,7) \psgrid[griddots=7,linewidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridlabels=0](-13,-5)(13,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10]{->}(0,0)(-13,-5)(13,5) \uput[l](0,2){0,5}\uput[l](0,4){1}\uput[l](0,-4){-1} \uput[d](-12,0){$-2\pi$} \uput[d](-6,0){$-\pi$}\uput[d](-2,0){$- \frac{\pi}{3}$} \uput[d](2,0){$\frac{\pi}{3}$}\uput[d](6,0){$\pi$}\uput[d](12,0){$2\pi$} \psset{linecolor=blue,linewidth=1.2pt} \psline{*-(}(-7,4)(-1,4)\psline{*-(}(5,4)(11,4) \psline{*-(}(-13,-4)(-7,-4)\psline{*-(}(-1,-4)(5,-4)\psline{*-}(11,-4)(13,-4) \end{pspicture} \bigskip Repère pour la représentation de $t\longmapsto f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$ : \psset{xunit=0.48cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture}(-13,-5)(13,5) \psgrid[griddots=7,linewidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridlabels=0](-13,-5)(13,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10]{->}(0,0)(-13,-5)(13,5) \uput[l](0,2){0,5}\uput[l](0,4){1}\uput[l](0,-4){-1} \uput[d](-12,0){$-2\pi$} \uput[d](-6,0){$-\pi$}\uput[d](-2,0){$- \frac{\pi}{3}$} \uput[d](2,0){$\frac{\pi}{3}$}\uput[d](6,0){$\pi$}\uput[d](12,0){$2\pi$} \psset{linecolor=blue,linewidth=1.2pt} \uput[u](12.5,0){$t$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}