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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B4}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement B4\footnote{Systèmes phoniques }\\[7pt] Durée : 3 heures}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant.

\medskip

On note $f(t)$ la résistance du béton à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en mégapascal (MPa) et $t$ désigne le nombre de jours de séchage.

\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : 
\[(E) :\quad y' + 0,06y = 2,1,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$  et où $y'$ est la dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~ +\infty[$ l'équation différentielle:

\[\left(E_0\right) :\quad  y' + 0,06y = 0.\]

On fournit la formule suivante: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$y' + ay = 0$&$y(t) = k\e^{-at}$\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
\item On considère la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 35$.

Vérifier que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item À l'instant $t = 0$, on considère que la résistance du béton est nulle.

En déduire que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : 
\[f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère à nouveau la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par:
\[f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.\]

On rappelle que $f(t)$ désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à
l'issue de $t$ jours de séchage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la résistance du béton après 7 jours de séchage ? Après 72 heures ? 

Arrondir au dixième.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa
fonction dérivée. 

Vérifier que, pour tout réel $t$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$, on a :

\[f'(t) =2,1\e^{-0,06t}.\]

\item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~ +\infty[$ et en déduire le sens de variations de $f$
\item Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Le fabricant du béton affirme que la résistance après 28 jours de séchage correspond à 80\,\% de la résistance finale.

Cette affirmation est-elle juste ?
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[F(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35t.\]

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.\item Déterminer une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la
résistance du béton sur les 28 premiers jours.

On fournit la formule suivante:
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
La valeur moyenne $M$ d'une fonction $h$ sur l'intervalle $[a~;~ b]$ est définie par :\\
$M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$.\rule[-15pt]{0cm}{20pt}\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Algorithme}

\medskip

On note $N$ le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à 21 MPa.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'algorithme ci-dessous et compléter les lignes 3 et 4.

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{2cm} |l|}\hline
Ligne 1 &$t \gets 0$\\ \hline
Ligne 2 &$R\gets 0$\\ \hline
Ligne 3 &Tant que \ldots\\ \hline
Ligne 4 &\qquad $t\gets$ \ldots\\ \hline
Ligne 5 & \qquad $R \gets 35\e^{-0,06t} +35$\\ \hline
Ligne 6 &Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Donner la valeur de $N$. Expliquer la démarche suivie.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Un formulaire sur les transformées de Laplace est placé à la fin de l'exercice}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(11.5,4)
\psline(9,1.3)(9,0)(2.4,0)(2.4,3.3)(4.8,3.3)
\psline(6,3.3)(9,3.3)(9,2)
\psline{->}(1.4,0)(1.4,3.3) \uput[l](1.4,1.65){$e(t)$}
\psline{->}(10.2,0)(10.2,3.3)\uput[r](10.4,1.65){$s(t)$}
\pnode(2.4,1.5){A}\pnode(2.4,2.4){B}\pnode(5,3.3){C}\pnode(6.1,3.3){D}\pnode(9,2){E}\pnode(9,1.3){F}
\Ucc(A)(B){}\coil[dipolestyle=curved](C)(D){$L$}\capacitor(F)(E){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère un circuit LC.

Le signal d'entrée est noté $e(t)$. Le signal de sortie est noté $s(t)$.

Le système est régi par l'équation différentielle

\[(E) :\quad LCs''(t) + s(t) = e(t).\]

Les conditions initiales sont : $s\left(0^+\right) = 0$ et $s'\left(0^+\right) = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que $L = 10$ H et $C = 10^{-5}$ F{}.

Réécrire alors l'équation différentielle $(E)$.
\item On suppose que:
\begin{description}
\item[ ] La fonction $e(t)$ admet une transformée de Laplace notée $E(p)$
\item[ ] La fonction $s(t)$ admet une transformée de Laplace notée $S(p)$.
\end{description}

Démontrer que l'on a : $\left(10^{-4}p^2 + 1\right)S(p) = E(p)$.
\item La fonction de transfert $H(p)$ est définie par: $S(p) = H(p) \times E(p)$.

Démontrer que l'on a :
\[H(p) = \dfrac{10^4}{p^2 + 10^4}.\]

\item On note $\mathcal{U}(t)$ la fonction échelon unité définie ainsi : $\left\{\begin{array}{l c l}
\mathcal{U}(t) = 0&\text{si}&t < 0\\
\mathcal{U}(t) = 1&\text{si}&t \geqslant 0
\end{array}\right.$

On suppose désormais que l'on a : $e(t) = 3 \mathcal{U}(t)$.

Représenter graphiquement sur votre copie le signal $e(t)$ en prenant pour échelle 1 cm pour chaque axe.
\item Donner l'expression de $E(p)$.
\item À l'aide des questions précédentes, déterminer $S(p)$ puis démontrer que l'on a :
\[S(p) = \dfrac 3p - \dfrac{3p}{p^2 + 10^4}.\]

\item En déduire l'expression de $s(t)$.
\item On admet que l'on a :
\[s(t) = 3\mathcal{U}(t) [1 - \cos(100t)].\]

Indiquer, sans justifier, lequel des croquis ci-dessous représente la courbe de la
fonction $s(t)$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Croquis \no 1&Croquis \no 2\\
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{0}{6.5}{x 3 mul RadtoDeg sin 1.05 mul }
\end{pspicture}&\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,2.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{6.5}{1 x 5 mul RadtoDeg cos sub 0.8 mul }
\end{pspicture}\\
Croquis \no 3&Croquis \no 4\\
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(6.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-2)(6.5,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=red]{0}{6.5}{1 x 5 mul  RadtoDeg cos sub 2 sub }
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,-1.5)(6.5,2.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=green]{0}{6.5}{x 4 mul RadtoDeg sin 1 add }
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{FORMULAIRE}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Fonction & Transformée de Laplace\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac 1p$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline
$t \longmapsto t\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p^2}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline
$t \longmapsto t^2\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac{2}{p^3}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline
$t \longmapsto \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t),\:a \in \R$&$p \longmapsto \dfrac {1}{p+a}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t - a)$&$p \longmapsto \dfrac 1p \text{e}^{- ap}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline
$t \longmapsto \sin (\omega t)\mathcal{U}(t), \: \omega \in \R$&$p \longmapsto \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline
$t \longmapsto \cos (\omega t)\mathcal{U}(t), \: \omega \in \R$&$p \longmapsto \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Dans ce qui suit, $f(t)$ est une fonction possédant une transformée de
Laplace notée $F(p)$.}\\ \hline
$t \longmapsto f(t)\text{e}^{- at}\mathcal{U}(t),\:a \in \R$&$p \longmapsto F(p + a)$\\ \hline
$t \longmapsto f(t - a)\mathcal{U}(t - a),\:a \in \R$&$p \longmapsto F(p)\text{e}^{- ap}$\\ \hline
Si de plus $f$ est dérivable $t\longmapsto f'(t)\mathcal{U}(t)$&$pF(p) - f(0^+)$\\ \hline
Si de plus $f'$ est dérivable $t\longmapsto f''(t)\mathcal{U}(t)$&$p^2F(p) - pf(0^+) - f'(0^+)$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\newpage

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Une usine produit des ampoules pour voitures.

\bigskip

\textbf{Partie A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On dispose des données suivantes:}
\item 65\,\% des ampoules produites sont des ampoules pour l'habitacle. \\
Parmi elles, 15\,\% sont défectueuses.
\item 35\,\% des ampoules produites sont des ampoules pour les phares. \\
Parmi elles, 5\,\% sont défectueuses.
\end{list}

\begin{list}{\textbullet}{On choisit une ampoule au hasard et on considère les évènements suivants:}
\item $H$ : l'ampoule est une ampoule pour l'habitacle.
\item $D$ : l'ampoule est défectueuse.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui décrit la situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$H$}\naput{$0,65$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{$\ldots$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{$\ldots$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{H}$}\nbput{$\ldots$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{$0,05$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{$\ldots$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}


\item Calculer la probabilité $P(H \cap D)$.
\item Démontrer que $P(D) = 0,115$.

\item L'ampoule choisie est défectueuse.

Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une ampoule pour phares ? Arrondir au millième.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Loi binomiale}

\medskip

On rappelle que la probabilité qu'une ampoule choisie au hasard soit défectueuse est égale à $0,115$.

On prélève un échantillon aléatoire de $300$ ampoules. On suppose que ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'ampoules défectueuses au sein de cet échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ainsi que ses paramètres.
\item Quelle est la probabilité qu'exactement $30$ ampoules de l'échantillon soient
défectueuses ? Arrondir au millième.
\item Quelle est la probabilité qu'au plus $20$ ampoules de l'échantillon soient défectueuses ? Arrondir au millième.
\end{enumerate}


\end{document}