\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 14 mai 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Groupement B3}} \rfoot{\small{14 mai 2024}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement B3\footnote{Électrotechnique}\\[7pt] Durée : 2 heures}} \vspace{0,25cm} \textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} \textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \end{center} \smallskip \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant. \medskip On note $f(t)$ la résistance du béton à l'instant $t$. $f(t)$ est exprimée en mégapascal (MPa) et $t$ désigne le nombre de jours de séchage. \begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center} \smallskip \textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : \[(E) :\quad y' + 0,06y = 2,1,\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et où $y'$ est la dérivée de $y$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre sur $[0~;~ +\infty[$ l'équation différentielle: \[\left(E_0\right) :\quad y' + 0,06y = 0.\] On fournit la formule suivante: \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline $y' + ay = 0$&$y(t) = k\e^{-at}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On considère la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 35$. Vérifier que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item À l'instant $t = 0$, on considère que la résistance du béton est nulle. En déduire que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : \[f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude de fonction} \medskip On considère à nouveau la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par: \[f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.\] On rappelle que $f(t)$ désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à l'issue de $t$ jours de séchage. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la résistance du béton après 7 jours de séchage ? Après 72 heures ? Arrondir au dixième. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Vérifier que, pour tout réel $t$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$, on a : \[f'(t) =2,1\e^{-0,06t}.\] \item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~ +\infty[$ et en déduire le sens de variations de $f$ \item Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \item Le fabricant du béton affirme que la résistance après $28$~jours de séchage correspond à 80\,\% de la résistance finale. Cette affirmation est-elle juste ? \item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par \[F(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35t.\] Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \item Déterminer une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la résistance du béton sur les 28 premiers jours. On fournit la formule suivante: \begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline La valeur moyenne $M$ d'une fonction $h$ sur l'intervalle $[a~;~ b]$ est définie par :\\ $M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$.\rule[-15pt]{0cm}{20pt}\\ \hline \end{tabularx}\end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C. Algorithme} \medskip On note $N$ le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage permettant d'obtenir une résistance au moins égale à $21$~MPa. \medskip \begin{enumerate} \item Recopier l'algorithme ci-dessous et compléter les lignes 3 et 4. \begin{center} \begin{tabular}{|m{2cm} |l|}\hline Ligne 1 &$t \gets 0$\\ \hline Ligne 2 &$R\gets 0$\\ \hline Ligne 3 &Tant que \ldots\\ \hline Ligne 4 &\qquad $t\gets$ \ldots\\ \hline Ligne 5 & \qquad $R \gets - 35\e^{-0,06t} +35$\\ \hline Ligne 6 &Fin Tant que\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Donner la valeur de $N$. Expliquer la démarche suivie. \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center}\emph{Un formulaire sur les séries de Fourier est placé à la fin de l'exercice.}\end{center} On étudie le fonctionnement d'un filtre. La tension en entrée du filtre est une fonction $E$ pour laquelle on possède les informations suivantes: \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $E$ est une fonction périodique de période $T = 20$. \item $E(t) = \left\{\begin{array}{l c l} 12 &\text{si }&t \in [0~;~10[\\ 0 &\text{si }&t \in [10~;~20[. \end{array}\right.$ \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item On note $\omega$ la pulsation de la fonction $E$. Vérifier que $\omega = \dfrac{\pi}{10}$. \item Représenter la courbe de la fonction $E$ sur votre copie en respectant les consignes suivantes : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Échelle des abscisses: 2 cm pour représenter l'intervalle allant de $t = 0$ à $t = 10$. \item Échelle des ordonnées: 1 cm pour représenter l'intervalle allant de $E = 0$ à $E = 2$. \item La représentation est effectuée pour $t \in [-30~; ~30]$. \end{itemize} \item Déterminer la valeur moyenne $a_0$ de $E$. \item On rappelle que la valeur efficace de $E$, notée $E_{\text{eff}}$ est donnée par : \[\left(E_{\text{eff}}\right)^2 = \dfrac 1T \displaystyle\int_0^T [E(t)]^2\:\text{d}t.\] Montrer que $E_{\text{eff}} = 6\sqrt 2$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a $a_n = 0$. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[b_n = \dfrac{12}{n \pi} \left [1 - \cos (n\pi)\strut \right ].\] Montrer que, lorsque $n$ est pair, on a $b_n = 0$. \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Les valeurs seront arrondies à $0,01$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &1 & 2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $a_n$ &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline $b_n$ & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On considère la grandeur $E_7$ définie par : \[\left(E_{7}\right)^2 = \left(a_0\right)^2 + \dfrac12 \displaystyle\sum_{k=1}^7\left[\left(a_k\right)^2 + \left(b_k\right)^2\right]\] Commenter l'affirmation suivante: \og $E_7$ représente une approximation de $E_{\text{eff}}$ avec moins de $5\,\%$ d'erreur \fg. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{FORMULAIRE sur les séries de Fourier} \bigskip %\renewcommand\arraystretch{2} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline %Fonction & Transformée de Laplace\\ \hline %$t \longmapsto \mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac 1p$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline %$t \longmapsto t\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p^2}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline %$t \longmapsto t^2\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac{2}{p^3}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline %$t \longmapsto \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t),\:a \in \R$&$p \longmapsto \dfrac {1}{p+a}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline %$t \longmapsto \mathcal{U}(t - a)$&$p \longmapsto \dfrac 1p \text{e}^{- ap}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline %$t \longmapsto \sin (\omega t)\mathcal{U}(t), \: \omega \in \R$&$p \longmapsto \dfrac{\omega}{p^2 + \omega^2}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline %$t \longmapsto \cos (\omega t)\mathcal{U}(t), \: \omega \in \R$&$p \longmapsto \dfrac{p}{p^2 + \omega^2}$\rule[-15pt]{0pt}{0pt}\\ \hline %\multicolumn{2}{|c|}{Dans ce qui suit, $f(t)$ est une fonction possédant une transformée de %Laplace notée $F(p)$.}\\ \hline %$t \longmapsto f(t)\text{e}^{- at}\mathcal{U}(t),\:a \in \R$&$p \longmapsto F(p + a)$\\ \hline %$t \longmapsto f(t - a)\mathcal{U}(t - a),\:a \in \R$&$p \longmapsto F(p)\text{e}^{- ap}$\\ \hline %Si de plus $f$ est dérivable $t\longmapsto f'(t)\mathcal{U}(t)$&$pF(p) - f(0^+)$\\ \hline %Si de plus $f'$ est dérivable $t\longmapsto f''(t)\mathcal{U}(t)$&$p^2F(p) - pf(0^+) - f'(0^+)$\\ \hline %\end{tabularx} %\renewcommand\arraystretch{1} \end{center} $f$ est une fonction périodique de période $T$ et de pulsation $\omega= \dfrac{2\pi}{T}$. Développement en série de Fourier de la fonction $f$ \begin{center} $s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n = 1}^{+\infty} \left(a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\right).$ $s_n(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} \left(a_k \cos(k \omega t) + b_k \sin (k \omega t)\right).$ $a_0 = \dfrac 1T \displaystyle\int_0^T f(t)\,\text{d}t.$ $a_n = \dfrac 2T \displaystyle\int_0^T f(t) \cos(n \omega t)\,\text{d}t\qquad (n \geqslant 1).$ $b_n = \dfrac 2T \displaystyle\int_0^T f(t) \sin(n \omega t)\,\text{d}t \qquad (n \geqslant 1).$ \end{center} La valeur efficace du signal $f$ est notée $f_{\text{eff}}$. Elle est donnée par : \begin{center} $\left(f_{\text{eff}}\right)^2 = \dfrac 1T \displaystyle\int_0^T [f(t)]^2 \,\text{d}t.$ \end{center} $\bullet~~$ Lorsque la fonction $f$ est paire, on a : \begin{center} $a_n = \dfrac 4T \displaystyle\int_0^{\frac T2} f(t)\cos (n \omega t) \,\text{d}t.$ \end{center} \end{document}