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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B1}}
\rfoot{\small{mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole mai 2022~\decofourright\\[5pt]Groupement B1}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 : un problème de routage \hfill 5 points}

\medskip

Un chariot d'une fête foraine est propulsé à une vitesse de $20$ m.s$^{-1}$ sur un axe horizontal, puis il est ralenti par un système de freinage.

On s'intéresse à la vitesse du chariot durant le freinage.

On note $f(t)$ la vitesse du chariot à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimé en mètre par seconde, et $t$ est exprimé en seconde.

L'instant $t = 0$ correspond à l'instant où le chariot commence à être pris en charge par le système de freinage. On a donc $f(0) = 20$.

\smallskip

On suppose que $f$  est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{center}\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle.}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : 

\[(E) : \quad y'+ 0,8y = 4,\]

où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0) : \quad y'+ 0,8y = 0$.
		
		On fournit la formule suivante :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle	&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$y' + ay = 0$			&$y(t) = k\text{e}^{- at}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 5$.
		
Vérifier que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
		\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$
	\end{enumerate}
\item On rappelle que $f(0) = 20$.

 Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale: $f(0) = 20$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ appartenantà $[0~;~+ \infty[$ par:

\[f(t)= 15\text{e}^{-0,8t} + 5.\]

Sa courbe représentative $C$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.35,-5)(4.5,40)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(4.5,40)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=10]{->}(0,0)(4.5,40)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{4.5}{15 2.71828 0.8 x mul exp div 5 add}
\end{pspicture*}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 5$.
		\item En déduire que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}	
\item On admet que, pour tout réel $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ on a : 

\[f'(t) = -12\text{e}^{-0,8t}.\]

Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Le système de freinage permet-il au chariot de s'arrêter?
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = -18,75\text{e}^{-0,8t} +5t$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item On admet que la distance $d$, exprimée en mètre, parcourue par le chariot entre les instants $t_0$ et $t_1$ est donnée par :

\[d = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f(t) \:\text{d}t.\]

Calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le chariot entre l'instant $t_0 =0$ et $t_1 = 1$. Donner une valeur arrondie au centimètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C -- Étude locale}

\medskip

On rappelle que l'on étudie la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(t)= 15\text{e}^{-0,8t} + 5.\]

On rappelle que sa courbe représentative $C$ est reproduite au début de la partie B.

Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de la la fonction $f$ au voisinage de $0$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
&PolynômeTaylor($f(t),t,0,2)$\\
1&\\
&$\gets 20 - 12t + \dfrac{24}{5}t^2$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Cette question est une question à choix multiple. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de rapporte ne rapporte ni n'enlève de point.

Le développement limité de la fonction $f$ à l'ordre 2 au voisinage de zéro est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}\hline
$20 - 12t + \dfrac{24}{5}t^2 + \epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$&$20 + \dfrac{24}{5}t^2$&$20 - 12t + 4,8t^2 + t^2\epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$;
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une usine fabrique des tubes fluorescents. Des tests de conformité permettent de vérifier
si les tubes présentent un défaut.

\begin{center}
\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles}

\medskip

L'entreprise possède deux ateliers de production des tubes: atelier 1 et atelier 2.

$\bullet~~$L'atelier 1 produit 30\,\% des tubes.
\begin{itemize}
\item[$\circ$] Parmi eux, 1,5\,\% présentent un défaut.
\end{itemize}
$\bullet~~$L'atelier 2 produit 70\,\% des tubes.
\begin{itemize}
\item[$\circ$] Parmi eux, 2,5\,\% présentent un défaut.
\end{itemize}

On prélève au hasard un tube parmi la production totale de l'usine. On définit les évènements suivants :

$\bullet~~$$A_1$ : \og le tube provient de l'atelier 1 \fg{} ;

$\bullet~~$$A_2$ : \og le tube provient de l'atelier 2 \fg{} ;

$\bullet~~$$D$ : \og le tube présente un défaut \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité $P\left(A_1 \cap D\right)$.
\item Montrer que $P(D) = 0,022$.
\item On sait que le tube ne présente pas de défaut.

 Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'atelier 2 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B -  Durée de vie des tubes fluorescents}

\medskip

On considère la variable aléatoire $T$ qui, à tout tube fluorescent prélevé au hasard dans le stock, associe sa durée de bon fonctionnement en heure.

On suppose que $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0001}$. 

On rappelle les formules suivantes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Loi exponentielle}\\ \hline
$P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$& $E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $E(T)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$ , que la durée de bon fonctionnement du tube fluorescent prélevé soit inférieure à \np{8000} heures.
\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que la durée de bon fonctionnement du tube fluorescent prélevé soit supérieure à \np{10000} heures.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Intervalle de confiance}

\medskip

La fixation des tubes fluorescents se fait à l'aide de rivets produits dans une usine. 

On cherche la proportion p de rivets conformes parmi l'ensemble de la production.

Pour cela, on prélève au hasard dans la production un échantillon de \np{1000} rivets. Ce prélèvement peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.

On constate que, sur les \np{1000} rivets prélevés, $975$ d'entre eux sont conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$.
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de \np{1000} rivets ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des rivets conformes.

On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{\np{1000}}}$.

On donne la formule suivante:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Intervalle de confiance d'une proportion au niveau de confiance de 95\,\%.\\ \hline
$\left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ au niveau
confiance de 95\,\%. 

Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}