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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Assistant en création industrielle}}
\rfoot{\small{Session 2000}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2000~\decofourright\\Assistant en création industrielle}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{ÉTUDE DE LA VOUTE D'UN AUDITORIUM}\end{center}

Pour réaliser la voûte d'un auditorium, un architecte propose une structure autoporteuse constituée de poutres identiques disposées en éventail depuis la scène. On s'intéresse à la poutre AB dans le repère orthonormé $(\text{O}x~;~\text{O}y)$ défini sur le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\bigskip

\psset{xunit=0.28cm,yunit=0.28cm}
\begin{pspicture}(0,-6)(42,52)
\psframe(36,5.955)(42,-3)
\psframe(36,39.8)(42,32)
\psarc(36,32){36}{200}{230}
\rput{18}(36,32){\psline[linewidth=3pt](0,0)(-36,0)}
\rput{12}(36,33.3){\psline[linewidth=3pt](0,0)(-36,0)}
\rput{6}(36,34.6){\psline[linewidth=3pt](0,0)(-36,0)}
\rput{0}(36,35.9){\psline[linewidth=3pt](0,0)(-36,0)}
\rput{-6}(36,37.2){\psline[linewidth=3pt](0,0)(-36,0)}
\rput{-12}(36,38.5){\psline[linewidth=3pt](0,0)(-36,0)}
\rput{-18}(36,39.8){\psline[linewidth=3pt](0,0)(-36,0)}
\pscurve[linewidth=3pt](1.9,51)(1,46)(0.2,41)(0,36)(0.2,31)(1,26)(1.9,21)
\rput(39,1){Scène}\rput(39,38){Scène}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(42,18)
\psset{algebraic=true}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{36}{24-x/2-18*2.71828^(-x/6)}
\uput[dr](36,36){A}\uput[l](0,36){B}
\uput[d](41,0){$x$}\uput[l](0,17){$y$}
\uput[ur](36,6){A}\uput[l](0,6){B}
\rput(18,6){\Large Salle}\uput[dl](0,0){O}
\rput(18,50){Vue de dessus}
\rput(18,18){Coupe AB}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Dans ce repère, la poutre obéit à l'équation $y = f(x)$, $y$ étant solution de l'équation différentielle :

\[6y' + y = 21 - 0,5 x.\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle sans second membre.
Soit $y_0$ cette solution.
\item Déterminer une solution particulière de l'équation avec second membre sous la forme:
 $y_1 = ax + b$.
\item En déduire la solution générale de l'équation différentielle avec second membre.
\item La façade OB ayant une hauteur de $6$~mètres, déterminer l'équation $y = f(x)$ de
la poutre AB.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

Un confiseur fabrique des berlingots. Un berlingot a la forme d'un tétraèdre régulier ABCS
dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux de côté $1$~cm.
On note 0 la projection du sommet S sur la face ABC.

\medskip

\parbox{0.62\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Calculer:
	\begin{enumerate}
		\item la surface du triangle ABC;
		\item la distance AO ;
		\item la hauteur SO ;
		\item le volume du tétraèdre ABCS.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.55,-2.5)(2.55,2.5)
\pspolygon(2;-30)(2;90)(2;210)
\uput[l](2;210){A}\uput[r](2;-30){B} \uput[u](2;90){S}\uput[dr](0,0){O}
\uput[ur](0.6;50){C}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2;90)(0.6;50)(2;210)(2;-30)(0.6;50)
\psdots(0,0)
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}[\textbf{2.}]		
\item Pour décorer sa vitrine, le confiseur souhaite y installer une maquette de son berlingot sur un plateau circulaire de rayon 20 cm. Le berlingot doit reposer entièrement sur le plateau.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la longueur maximale de l'arête de ce tétraèdre ?
		\item Quel est alors son volume ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}