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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Agencement de l'environ-\\nement architectural}}
\rfoot{\small{9 mai 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 9 mai 2017\\ Agencement de l'environnement architectural}}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Dans le cadre d'un aménagement de bureaux, un artisan a besoin de supports de bois de forme
carrée. Une entreprise propose à la vente un lot de 500 supports de bois. Pour ce lot, on dispose du
tableau suivant :

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Côté du support en cm 	&28,0 	&28,1 	&28,2 	&28,3 	&28,4 	&28,5 	&28,6 	&28,7 	&28,8\\ \hline
Nombre de supports		&10 	&15 	&50 	&100 	&115 	&100 	&70 	&30 	&10 \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la moyenne et l'écart type de cette série statistique. On arrondira les valeurs au millième.
\end{enumerate}

Un support est jugé conforme si la longueur de son côté en cm est dans l'intervalle [28,2~;~28,7].
\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer le pourcentage de supports conformes dans le lot proposé par l'entreprise.
\item On s'intéresse à l'ensemble des supports produits par l'entreprise dans une journée. On note $X$
la variable aléatoire qui, à tout support prélevé au hasard dans cette production, associe la
longueur de son côté en cm. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 28,42 et d'écart
type $0,17$.

On extrait au hasard un support de la production. Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que ce
support soit conforme.
\item On admet que la probabilité qu'un support de la production, extrait au hasard, ne soit pas
conforme est égale à $0,15$.

Pour honorer une commande, on prélève au hasard un lot de $250$ supports dans le stock qui est
supposé suffisamment grand pour que ce prélèvement puisse être assimilé à un prélèvement
avec remise. On appelle $Y$ la variable aléatoire, qui à tout prélèvement de 250 supports, associe
le nombre de supports non conformes dans le prélèvement.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $Y$ ? Quels en sont les paramètres ?
		\item Déterminer l'espérance de la variable $Y$. Interpréter le résultat en termes de supports non conformes.
		\item Déterminer la probabilité que le lot de $250$ supports contienne $30$ supports non conformes.
		
On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
		\item Le lot extrait est destiné à un artisan, qui exige, pour accepter la livraison, qu'au plus $15$ supports du lot soient non conformes. Est-il raisonnable pour l'entreprise d'accepter cette exigence ? Pourquoi ? La réponse se fera au regard d'un calcul de probabilité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Un ébéniste souhaite réaliser un carreau en
marqueterie ayant la forme d'un carré EFGH et
dont l'aspect est donné par la figure (1) ci-contre, le
plan étant muni d'un repère orthonormé.

La réalisation des différents tracés se fait en partant
de la courbe $\mathcal{C}$, en gras sur la figure (1). La
courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la
fonction $f$ définie sur $\left[0~;~\text{e}^3\right]$ par :

\[f(x) = 3x - x\ln x\]

avec $\text{e}^3 \approx  20$ à $0,1$ près.

}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-22,-30)(22,22)
\def\motif{\psplot[plotpoints=3000]{0.001}{20}{3 x mul x ln x mul sub}}
\def\motifb{\psplot[plotpoints=3000]{0.001}{20}{3 x mul x ln x mul sub neg}}
\psaxes[Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(-22,-22)(22,22)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{20}{3 x mul x ln x mul sub}
\rput{-90}{\motif}\rput{-180}{\motif}\rput{-270}{\motif}
\rput(0,0){\motifb}\rput{-90}(0,0){\motifb}\rput{-180}(0,0){\motifb}\rput{-270}(0,0){\motifb}
\psdots(20,0)(0,20)(-20,0)(0,-20)
\uput[u](4,7){$\mathcal{C}$}
\uput[ur](20,0){F}\uput[ur](0,20){E}\uput[ul](-20,0){H}\uput[dr](0,-20){G}
\pspolygon(20,0)(0,20)(-20,0)(0,-20)
\psline(10,10)(-10,-10)
\psline(10,-10)(-10,10)
\rput(0,-28){Figure (1)}
\end{pspicture}}

\bigskip

On donne ci-dessous, deux documents, qu'on pourra utiliser si besoin, pour répondre aux
questions posées, à la fois dans la partie A et dans la partie B.

\medskip

\textbf{Document 1 : Résultats fournis par un logiciel de calcul formel}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$f(x): = 3x - x\ln x$\\
$\to  f(x) = 3x - x\ln x$\\ \hline
$f'(x) : = \text{Dérivée} [f(x)]$\\
$\to f'(x) = 2 - \ln x$\\ \hline
$F(x): = \text{Primitive} [f(x)]$\\
$\to  F(x) = \dfrac{7}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x^2 \ln x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Document 2 : Courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction (dans un repère orthonormé)}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(21,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(21,8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{20}{3 x mul x ln x mul sub}
\uput[u](1,3.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots(20,0)
\uput[ur](20,0){$\text{e}^3$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, trois propositions de réponses sont données dont une seule est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie, sur la copie.\\
Aucune justification n'est attendue.}

\medskip

\textbf{Question 1}

On a:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $f(1) = 19$&\textbf{b.~~} $f(1) = 3$&\textbf{c.~~} $f(1) = 0$
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 2}

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 1 vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $ -2$&\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~} $2$
\end{tabularx}
\medskip
  
\textbf{Question 3}

Parmi les trois valeurs proposées, la valeur la plus proche de l'aire, en unités d'aire, du domaine
délimité par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathcal{C})$, les droites d'équation $x = 1$ et $x = 4$, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}5 &\textbf{b.~~}15&\textbf{c.~~}25
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 4}

Le domaine hachuré correspondant au calcul de l'intégrale $\displaystyle\int_1^{\text{e}^2} f(x)\:\text{d}x$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}&\textbf{c.~~}\\
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(8,8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{8}{3 x mul x ln x mul sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{7.389}{3 x mul x ln x mul sub}
\psline(7.2,0)(1,0)(1,3)}
\uput[u](0.5,2.75){\blue $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(8,8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{8}{3 x mul x ln x mul sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2}{3 x mul x ln x mul sub}
\psline(2,0)(1,0)}
\uput[u](0.5,2.75){\blue $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptscriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(8,8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{8}{3 x mul x ln x mul sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{7.389}{3 x mul x ln x mul sub}
\psline(7.2,0)(1,0)}
\uput[u](0.5,2.75){\blue $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Question 5}

L'intégrale $\displaystyle\int_1^{\text{e}^2} f(x)\:\text{d}x$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{\text{e}^6 - 7}{4}$&\textbf{b.~~}100&\textbf{c.~~}$\dfrac{3\text{e}^4 - 7}{4}$
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f\left(\text{e}^2\right) = \text{e}^2$.
		\item Sans justifier, donner une expression de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de 
		$\left]0~;~\text{e}^3\right[$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $\left]0~;~\text{e}^3\right[$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
		\item La courbe $(\mathcal{C})$ de la page précédente permet de conjecturer que la fonction $f$ admet un maximum en un réel $a$. Est-ce bien le cas ? 
		
Si oui, quelle est la valeur exacte de $a$ et quelles sont les
coordonnées du point S de la courbe $(\mathcal{C})$ correspondant à ce maximum ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse e$^3$ admet pour équation $y = - x + \text{e}^3$.
		\item Tracer la tangente (T) sur le graphique donné en annexe du sujet. On rendra cette annexe avec la copie.
	\end{enumerate}		
\item Soit (D) la droite d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite (D) sur le graphique donné en annexe du sujet.
		\item Le point S de la courbe $(\mathcal{C})$ appartient-il à la droite (D) ? Pourquoi ?
		\item Que peut-on dire des droites (D) et (T) à partir de la figure obtenue en annexe ? Justifier la réponse (on pourra utiliser des vecteurs).
 	\end{enumerate}
\item À partir de la figure obtenue en annexe, rédiger un scénario permettant, avec des symétries
successives, d'élaborer le carreau de marqueterie de la figure~(1). 
	
Seule la rédaction d'un scénario de construction est attendue (la construction de la figure géométrique n'est pas demandée).
\end{enumerate}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Exercice 2 annexe à rendre avec la copie}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(21,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(21,11)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{20}{3 x mul x ln x mul sub}
\uput[u](1,3.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots(20,0)
\uput[ur](20,0){$\text{e}^3$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}