%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS AEA}, pdftitle = {Métropole 13 mai 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Agencement de l'environnement architectural}} \rfoot{\small{13 mai 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 13 mai 2015\\[5pt] Agencement de l'environnement architectural}} \vspace{0,25cm} {\large Les deux exercices sont indépendants} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 : Questionnaire à Choix Multiples\hfill 6 points} \medskip \emph{Pour chacune des questions du tableau page 3, trois propositions de réponse sont données, dont une seule est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.} \medskip \emph{Pour chacune des questions, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie sur la copie. Aucune justification n'est attendue.} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \left(- x^2 + 4\right)\text{e}^{\frac{1}{2}x}.\] \emph{On donne les deux documents suivants, qu'on pourra utiliser si besoin pour répondre.} \medskip \textbf{Document 1 : Capture d'écran d'un logiciel de calcul formel} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline \textbf{CALCULATEUR DE DÉRIVÉE}\\ Calculer\\ Fonction : $\left(- x^2 + 4\right)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$\\ Dérivée : $-2x\text{e}^{0,5x} + 0,5\left(- x^2 + 4\right)\text{e}^{0,5x}$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Document 2 : Courbe représentative $C$ de la fonction $f$} (dans un repère orthogonal, avec les unités suivantes : 2~cm en abscisse et 1~cm en ordonnée) \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true,algebraic} \begin{pspicture*}(-2.75,-3.5)(3.25,6.5) \psgrid[xunit=0.5\psxunit,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](! 3 neg 0.5 div \space 4 neg 0.5 div)(! 4 0.5 div \space 7 0.5 div) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.75,-3.5)(3.25,6.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[axesstyle=none,comma=true,linewidth=1.25pt,Ox=-2.5,Dx=1.0](-2.5,0)(-2.5,0)(3,0) \psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{(-x^2+4)*EXP(0.5*x)} \uput[ur](1,5){\blue $C$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{3.25cm}|*{9}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline Question &Proposition a&Proposition b&Proposition c\\ \hline \textbf{1.} L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0$ est :&$S = \{4\}$&$S = \{- 10~;~-2~;~2\}$&$S = \{-2~;~2\}$\\ \hline \textbf{2.} La fonction dérivée de $f$ est définie sur $\R$ par $f'(x) =$&\small$\left(-2x^2 + 8x - 8\right)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$&\small$\left(-\dfrac{1}{2}x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$&\small$\left(- x^2 - 2x + 4\right)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$\\ \hline \textbf{3.}Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 vaut:&2&$- 2$&$\dfrac{1}{2}$\\ \hline \textbf{4.} La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle suivante, où $y$ est une fonction inconnue, définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $y'$ :&$- 2y' + y = 0$&$2y' - y = - 4x\text{e}^{\frac{1}{2}x}$&$y' + 2y = \text{e}^{\frac{1}{2}x}$\\ \hline \textbf{5.} L'aire, en cm$^2$, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $C$, les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$, vaut :&8& 16 &25\\ \hline \textbf{6.}~L'intégrale $\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x$ vaut :&8& 16 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 14 points} \medskip Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. \bigskip \textbf{Partie A : aménagement d'un espace habitable} \medskip \parbox{0.25\linewidth}{On s'intéresse à la création d'un espace habitable dans le grenier d'une maison. Cet espace sera délimité par un plafond, deux rampants de toiture et deux murs latéraux (voir figure ci-contre). Le plancher du grenier a la forme d'un rectangle de 12~m sur 8~m. L'angle formé par le plancher et le toit est égal à 45~\degres.}\hfill \parbox{0.7\linewidth}{\psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(13,7) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1)(8.7,1)(4.4,5.4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.3,2.5)(11.5,4)(11.5,2.5)(7.3,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](8.6,4.5)(9.6,4.9)(10.2,4.1)(9.2,3.7) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.5,1.15)(8.3,1.15)(4.4,5.1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.8,1.15)(7,1.15)(7,2.5)(5.6,3.8)(3.1,3.8)(1.8,2.5) \psline(7.3,2.5)(7.3,1)(11.5,2.5) \pspolygon[fillstyle=hlines](4.4,5.4)(8.7,1)(13,2.5)(8.7,6.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](7,3.9)(8,4.3)(8.6,3.5)(7.6,3.1) \rput(4,0.4){\footnotesize Murs latéraux} \uput[d](4,3.8){\footnotesize Plafond}\rput(4,2.3){\footnotesize Espace habitable} \rput(2,4.8){\footnotesize Rampants}\rput(4,1.5){\footnotesize Plancher} \psline{->}(2.2,4.2)(6,3.4) \psline{->}(2.2,4.2)(2.5,3.2) \psline{->}(4,0.7)(7,1.5)\psline{->}(4,0.7)(1.8,1.5) \end{pspicture}} \bigskip \parbox{0.3\linewidth}{L'intérieur du grenier peut être modélisé par un prisme droit dont la base est un triangle isocèle SAB isocèle en S tel que AB = 8~m et $\widehat{\text{SAB}} = 45$~\degres. On note R le milieu de [AB]. Les extrémités des deux murs latéraux sont modélisés par les segments [IJ] et [KL] tels que :\\ IJ = KL = 80 cm (voir figure ci-contre).}\hfill \parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(12,7) \pspolygon(0,0)(11.6,0)(5.8,5.8)%ABS \pspolygon[linewidth=1.1pt](1.2,0)(10.4,0)(10.4,1.2)(8.4,3.2)(3.2,3.2)(1.2,1.2)%IKLNMJ \psline[linestyle=dotted](5.8,0)(5.8,5.8) \psframe(5.8,0)(6.1,0.3)\psframe(5.8,3.2)(6.1,3.5)\psframe(1.2,0)(1.5,0.3) \uput[l](0,0){A} \uput[r](11.6,0){B} \uput[u](5.8,5.8){S} \uput[d](1.2,0){I} \uput[d](10.4,0){K} \uput[ur](10.4,1.2){L} \uput[ur](8.4,3.2){N} \uput[ul](3.2,3.2){M} \uput[ul](1.2,1.2){J} \uput[d](5.8,0){H} \uput[ul](5.8,3.2){P} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la longueur SH exprimée en mètres (m). \item En déduire l'aire du triangle SAB en m$^2$. On rappelle que l'aire d'un triangle est donnée par la formule : bxh \[\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\] où $b$ désigne la longueur de la base, et $h$ la longueur de la hauteur correspondante. \end{enumerate} \item Déterminer l'aire du triangle AIJ en m$^2$. On souhaite que le plafond de l'espace habitable soit à 2,20~m du plancher. On a donc PH = 2,20~m où P est le milieu de [MN]. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la longueur MN en mètres. \item Établir que l'aire du polygone IJMNLK est égale à 12,12 m$^2$. On rappelle que le plancher du grenier a la forme d'un rectangle de 12~m sur 8~m. \end{enumerate} \item Un radiateur du type choisi par le propriétaire permet de chauffer un volume de 50 m$^3$. Déterminer le nombre de radiateurs que doit prévoir le propriétaire pour chauffer l'espace habitable créé. \item Le propriétaire souhaite peindre tous les murs verticaux, les rampants et le plafond de l'espace habitable. Déterminer l'aire de la surface à peindre exprimée en mètres carrés, et en donner la valeur arrondie à l'unité. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : production de planches de bois} \medskip Dans le cadre de l'aménagement d'espaces habitables, un architecte d'intérieur est amené à utiliser des planches de bois en guise d'étagères pour lesquelles le critère de la longueur est essentiel. L'architecte décide de faire appel à une entreprise pour la fabrication de ces planches. \medskip \begin{enumerate} \item L'entreprise lui donne le choix entre deux lots de 250~planches chacun : le lot A et le lot B. On obtient les séries statistiques suivantes définies par effectif: \medskip \textbf{Lot A} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\hline \small Longueur de la planche (en cm) &79,7 &79,8 &79,9 &80 &80,1 &80,2 &80,3 &80,4 &80,5 &80,6 &80,7\\ \hline \small Nombre de planches & 2 &5 &10 &20 &60 &63 &42 &28 &13 &5 &2\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Lot B} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline \small Longueur de la planche (en cm) &79,7 &79,8 &79,9 &80 &80,1 &80,2 &80,3 &80,4 &80,5 &80,6 &80,7\\ \hline \small Nombre de planches&6 &13 &13 &13 &44 &60 &41 &36 &14 &7 &3\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer la moyenne et l'écart type de chacune des deux séries statistiques. On arrondira les valeurs au millième. \item L'architecte souhaite, pour une même longueur moyenne, privilégier le lot de planches le plus homogène. Quel lot doit-il choisir à partir des résultats obtenus précédemment ? Pourquoi ? Une planche est jugée conforme par l'entreprise si sa longueur en cm est dans l'intervalle $I = [79,9~;~80,5]$. \end{enumerate} \item Calculer le pourcentage de planches conformes dans le lot A. \item On s'intéresse désormais à l'ensemble des planches produites par l'entreprise dans une journée. On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute planche prélevée au hasard dans cette production, associe sa longueur en cm. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $m = 80,2$ et d'écart type $\sigma = 0,17$. \begin{enumerate} \item Déterminer un nombre décimal $h$ tel que $P(80,2 - h \leqslant X \leqslant 80,2 + h) \approx 0,95$ (à $10^{-2}$ près). Interpréter ce résultat en termes de production de planches. \item On extrait au hasard une planche de la production. Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que la planche soit conforme. \end{enumerate} \item On suppose que la probabilité qu'une planche extraite au hasard de la production soit non conforme est égale à $0,08$. L'aménagement d'espaces habitables nécessite 250~planches. L'entreprise prélève au hasard un lot de 250~planches dans la production, suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à un prélèvement avec remise. On appelle $Y$ la variable aléatoire, qui à tout prélèvement de 250~planches, associe le nombre de planches non conformes. \begin{enumerate} \item Quelle loi suit la variable aléatoire $Y$ ? Quels en sont ses paramètres? \item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $Y$. Interpréter le résultat en termes de planches non conformes. \item L'architecte d'intérieur souhaite que le lot de 250~planches contienne au plus 5 planches non conformes. Déterminer la probabilité qu'un lot de 250~planches contienne au plus 5 planches non conformes. On donnera la valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}