\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} %\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} %\usepackage{pifont} %\usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} %\newcommand{\euro}{\eurologo{}} %\usepackage{graphicx} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Xavier TISSERAND}, % author } \usepackage{pst-bezier,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[hmargin=2cm, vmargin=2cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} %\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Intervalle %%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\inter}[4] {\mathchoice {\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \scriptstyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode %\scriptscriptstyle } \newcommand{\interff }[2]{\inter{[}{#1}{#2}{]}} %ferme ferme \newcommand{\interof }[2]{\inter{]}{#1}{#2}{]}} %ouvert ferme \newcommand{\interfo }[2]{\inter{[}{#1}{#2}{[}} %ferme ouvert \newcommand{\interoo }[2]{\inter{]}{#1}{#2}{[}} %ouvert ouvert %signe inferieur ou egal francais \renewcommand{\leq}{\leqslant} %signe superieur ou egal francais \renewcommand{\geq}{\geqslant} %echelon unité \newcommand{\U}{\mathscr{U}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% grandes parenthèses %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% grands crochets %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% derivee %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %d droit de dx \newcommand{\dx}[1][x]{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}#1} %e de l'exponentielle \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\cad}{c'est-à-dire } %pour avoir un beau conjugué \renewcommand{\bar}{\overline} \everymath{\displaystyle} \usepackage{fancyhdr,lastpage} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % document tapé sous linux Debian Wheezy %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{BTS Groupement A2 -- Mathématiques} \author{Éléments de correction} \date{Session 2014} \headheight 15.0 pt \fancyhead[L]{BTS} \fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement A2} \fancyhead[R]{2014} \fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux, 2013-2014}}\\ \scriptsize\thepage/\pageref{LastPage} } \pagestyle{fancy} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \maketitle \textbf{Exercice 1} \textbf{Toutes spécialités} \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Les bonnes réponses sont : \begin{enumerate} \item $\boxed{T=2}$ \item $\boxed{b_1=0}$ \item $\boxed{a_0=0,5}$ \item $\boxed{a_1=\frac{4}{\pi^ 2}}$ \end{enumerate} \item On a \begin{align*} P_f&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)]^2\dx[t]\\ &=\frac12\int_{-1}^1 [f(t)]^2 \dx[t]\\ &=\int_0^1 [f(t)]^2\dx[t]\quad \text{ la fonction } f^2 \text{ est paire}\\ &=\int_0^1(1-t)^2 \dx[t]\\ &=\cro{\frac{-1}{3}(1-t)^3}_0^1 \end{align*} d'où $\boxed{P_f=\frac13}$ \item Voir tableau \ref{a14_ex1_tab1c} du document réponse 1. On veut que $Sn\geq 0,999P_f$ \cad $S_n\geq 0,333$, d'où $\boxed{n\geq 3}$ \end{enumerate} \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, on a $\boxed{h_{\text{max}}\approx 0,975}$ \item Voir courbe \ref{a14_ex1_fig1c} en rouge du document réponse 1. \item À l'aide de la valeur approchée précédente, on obtient $\boxed{F_c\approx 4,55}$. \end{enumerate} \begin{enumerate} \item On lit graphiquement $\boxed{\omega\in\interff{0}{184}}$ \item Il faut résoudre l'équation $G(\omega)=-0,1$ \cad \begin{align*} \frac{- 10}{\ln (10)}\ln \left[1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}\right]&=-0,1\\ \ln \left[1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}\right]&=0,01 \ln (10)\\ 1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}&=\exp(0,01\ln 10)\\ \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}&=\exp(0,01\ln 10)-1\\ 12\ln \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)&=\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}\\ \ln \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)&=\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}\\ \frac{\omega}{80 \pi}&=\exp\cro{\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}}\\ \omega&=80\pi\exp\cro{\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}} \end{align*} d'où $\boxed{\omega_0\approx 183,7}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Groupement A2 : Spécialités Électrotechnique, Génie optique} \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item On veut calculer \begin{align*} p(\numprint{1000})&= \int_0^{\numprint{1000}} \numprint{0,0004} \e^{- \numprint{0,0004}x}\dx\\ &=\cro{-\e^{- \numprint{0,0004}x}}_0^ {\numprint{1000}}\\ &=1-\e^ {-0,4} \end{align*} \cad $\boxed{ p(\numprint{1000})\approx 0,33 } $ \item \begin{enumerate} \item On a $p(C_1\cap C_2)=p(C_1)\times p_{C_1}(C_2)$ sachant que $p(C_1)=0,67$ et $p(C_1\cap C_2)=0,4489$ d'où $\boxed{p_{C_1}(C_2)=0,67}$. On en tire alors $p_{C_1}(\bar{C_2})=1-p_{C_1}(C_2)$ \cad $\boxed{p_{C_1}(\bar{C_2})=0,33}$ $p(\bar{C_1})=1-p(C_1)$ d'où $\boxed{p(\bar{C_1})=0,33}$. On en déduit $p(\bar{C_1}\cap \bar{C_2})=p(\bar{C_1})\times p_{\bar{C_1}}(\bar{C_2})=0,33\times 0,33$ \cad $\boxed{p(\bar{C_1}\cap \bar{C_2}) =0,1089}$ Enfin, comme $p_{\bar{C_1}}(\bar{C_2})=0,33$, on a $\boxed{p_{\bar{C_1}}(C_2)=0,67}$ D'où $p(\bar{C_1}\cap C_2)=p(\bar{C_1})\times p_{\bar{C_1}}(C_2)$ \cad $\boxed{p(\bar{C_1}\cap C_2)=0,2211}$ \item On a $C_2=\pa{C_1\cap C_2}\cup\pa{\bar{C_1}\cap C_2}$, d'où, d'après la question précédente et sachant que les événements $\pa{C_1\cap C_2}$ et $\pa{\bar{C_1}\cap C_2}$ sont disjoints, on obtient \[ \boxed{ p(C_2)=0,67 } \] \item On a $p(C_1\cap C_2)=0,4489$ et $p(C_1)\times p(C_2)=0,67^ 2=0,4489$, \cad $p(C_1\cap C_2)=p(C_1)\times p(C_2)$ donc \fbox{les événements $C_1$ et $C_2$ sont indépendants.} \item Le dispositif ne fonctionne pas quand les deux composants sont défaillants, \cad que la probabilité de cet événement est $p(\bar{C_1}\cap \bar{C_2})=0,1089$. Ici, on veut qu'il soit en état de fonctionnement, donc on cherche la probabilité de l'événement contraire. \fbox{La probabilité que ce dispositif soit en état de fonctionnement au bout de \numprint{1000} heures est $0,8911$.} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item \fbox{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=50$, de probabilité $p=0,67$} \item On demande $p(X=42)$ d'où $p(X=42)=\binom{50}{42}0,67^ {42}\times 0,33^ {8}$, \cad $\boxed{p(X=42)\approx \numprint{0,003742}}$ \item On demande $p(X>42)=1-p(X\leq 42)\approx 1-\numprint{0,997 973 63}$ \cad $\boxed{p(X>42)\approx \numprint{0,002}}$ \item \begin{enumerate} \item On obtient par lecture graphique $\boxed{k_1= 27,\quad k_2=40}$ \item On a alors $p(27\leq X \leq 26)>0,975-0,025$ d'où $\boxed{p(27\leq X \leq 26)>0,95}$ Par conséquent, \fbox{l'affirmation proposée est vraie.} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item Par approximation d'une loi binomiale par une loi normale, on conserve l'espérance et l'écart-type de la loi binomiale. Par conséquent, on a $\mu=np=0,67\times 50$ \cad $\boxed{\mu=33,5}$ et $\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{50\times 0,67\times 0,33}$ \cad $\boxed{\sigma\approx 3,3}$ \item La Variable $Y$ suit la loi normale de paramètres $\mu=33,5$ et $\sigma=3,3$ alors la variable $T=\frac{Y-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite. On a alors \begin{align*} p(Y\leq 42)&=p\pa{T\leq\frac{42-33,5}{3,3}}\\ &=p(T\leq 2,575) \end{align*} \cad $\boxed{Y\leq 42)\approx 0,99}$ \item On a donc \begin{align*} p(33,5-a\leq Y\leq 33,5+a)&=p\pa{\frac{33,5-a-33,5}{3,3}\leq T \leq \frac{33,5+a-33,5}{3,3}}\\ &=p\pa{-\frac{a}{3,3}\leq T \leq \frac{a}{3,3}}\\ &=\Pi\pa{\frac{a}{3,3}}-\Pi\pa{-\frac{a}{3,3}}\\ &=2\Pi\pa{\frac{a}{3,3}}-1 \end{align*} Il nous faut alors résoudre $2\Pi\pa{\frac{a}{3,3}}-1\geq 0,95$ \cad $\Pi\pa{\frac{a}{3,3}}\geq 0,975$. Or par lecture de la table, on a $\Pi(1,96)=0,975$ d'où $a=3,3\times 1,96$, \cad $\boxed{a\approx 6,5}$ On retrouve $p(27\leq Y \leq 40)\geq 0,95$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie,\\ Toutes spécialités } \end{center} \begin{table}[!ht] \centering \begin{tabularx}{12cm}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}} \hline n&1&2&3&4&5&6\\ \hline a_n^ 2&0,1643&0&0,0020&0&0,0003&0\\ \hline S_n&0,3321&0,3321&0,3331&0,3331&0,3333&0,3333\\ \hline \end{tabularx} \caption{Puissances des harmoniques} \label{a14_ex1_tab1c} \end{table} \vspace{5cm} \begin{figure}[!ht] \centering \psset{xunit=12cm,yunit=8cm,comma=true} \begin{pspicture}(-.5,-.1)(.5,1.2) \psaxes[ linewidth=1.5pt,% Dx=0.1,% Dy=0.1,% xticksize=0 1,% yticksize=-.4 .4,% %ysubticks=2,% ] {->}(0,0)(-.42,0)(.45,1.1) %\psline(-.4,0.85)(-.384,.975)(-.284,.025)(-.184,.975)(-.084,.025) %(0.016,.975)(.116,.025)(.216,.975)(.316,.025)(.4,.85) \def\xmin{-0.40001} \def\xmax{0.4} \def\ymin{0} \def\ymax{1} \def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}} \def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}} \newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0} \newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745} \newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196} \psbcurve(-0.386666,0.92)(-0.38,0.97)(-0.37468,0.92) \psline(-0.4,0.82)(-0.386666,0.92) \psline(-0.37468,0.92)(-.28532,0.08) \psbcurve(-.28532,0.08)(-.28,0.03)(-0.27468,0.08) \psline(-0.27468,0.08)(-0.185319149,0.92) \psbcurve(-0.185319149,0.92)(-.18,.97)(-0.174680851,0.92) \psline(-0.174680851,0.92)(-0.085319149,0.08) \psbcurve(-0.085319149,0.08)(-.08,0.03)(-0.074680851,0.08) \psline(-0.074680851,0.08)(0.014680851,0.92) \psbcurve(0.0146808511,0.92)(0.02,0.97)(0.0253191489,0.92) \psline(0.0253191489,0.92)(0.1146808511,0.08) \psbcurve(0.1146808511,0.08)(0.12,0.03)(0.1253191489,0.08) \psline(0.1253191489,0.08)(0.2146808511,0.92) \psbcurve(0.2146808511,0.92)(0.22,0.97)(0.2253191489,0.92) \psline(0.2253191489,0.92)(0.3146808511,0.08) \psbcurve(0.3146808511,0.08)(0.32,0.03)(0.3253191489,0.08) \psline(0.3253191489,0.08)(0.4,0.85) \psline[linecolor=red](-.4,1)(-.3,0)(-.2,1)(-.1,0)(0,1)(.1,0)(.2,1)(.3,0)(.4,1) \end{pspicture} \caption{La fonction $h$} \label{a14_ex1_fig1c} \end{figure} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse 2 à rendre avec la copie,\\ spécialités Électrotechnique, Génie optique} \end{center} \vspace{5cm} \begin{figure}[h] \centering \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$C_1$}\taput{\small $\red 0,67$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$C_2 ~~~~ \red p(C_1 \cap C_2) = \np{0,4489}$}\taput{\small $0,67$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C_2}~~~~p(C_1\cap \bar{C_2})=\np{0,2211}$}\tbput{\small $0,33$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{C_1}$}\tbput{\small $0,33$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$C_2~~~~p(\bar{C_1}\cap C_2)=0,2211 $}\taput{\small $0,67$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C_2}~~~~p(\bar{C_1}\cap \bar{C_2})= \np{0,1089}$}\tbput{\small $0,33$} } } \caption{Arbre pondéré} \end{figure} \vspace{10cm} Suggestions ou remarques : \href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr} %Xavier TISSERAND est professeur de mathématiques en cpge ATS au lycée Vieljeux %de La Rochelle % Cette classe ATS est exclusivement réservée aux étudiant(e)s titulaires % d'un BTS ou DUT industriel qui veulent intégrer une école d'ingénieur, sur %concours ou sur dossier. La durée de formation est de un an, sans possibilité %de redoublement. Il existe en France 31 classes de ce type. Pour de plus %amples renseignements, vous pouvez consulter le site internet du lycée % % http://www.lycee-vieljeux.fr/cpge/ats.html % % et/ou me contacter par mail à l'adresse ci-dessus. \end{document}