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%Tapuscrit : Denis Vergès

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	pdfauthor={Xavier TISSERAND},     % author
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%%     grandes parenthèses  %%
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%e de l'exponentielle
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%    document tapé sous linux Debian Wheezy
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\title{BTS Groupement A2 -- Mathématiques}
\author{Éléments de correction}
\date{Session 2014}

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\fancyhead[L]{BTS}
\fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement A2}
\fancyhead[R]{2014}
\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux,
2013-2014}}\\
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\begin{document}

\maketitle

\textbf{Exercice 1}

\textbf{Toutes spécialités}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Les bonnes réponses sont :
\begin{enumerate}
\item $\boxed{T=2}$
\item $\boxed{b_1=0}$
\item $\boxed{a_0=0,5}$
\item $\boxed{a_1=\frac{4}{\pi^ 2}}$
\end{enumerate}
\item On a
\begin{align*}
P_f&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)]^2\dx[t]\\
&=\frac12\int_{-1}^1 [f(t)]^2 \dx[t]\\
&=\int_0^1 [f(t)]^2\dx[t]\quad \text{  la fonction } f^2 \text{ est paire}\\
&=\int_0^1(1-t)^2 \dx[t]\\
&=\cro{\frac{-1}{3}(1-t)^3}_0^1
\end{align*}
d'où $\boxed{P_f=\frac13}$

\item Voir tableau \ref{a14_ex1_tab1c} du document réponse 1.

On veut que $Sn\geq 0,999P_f$ \cad $S_n\geq 0,333$, d'où $\boxed{n\geq 3}$

\end{enumerate}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, on a $\boxed{h_{\text{max}}\approx 0,975}$

\item Voir courbe \ref{a14_ex1_fig1c} en rouge du document réponse 1.

\item À l'aide de la valeur approchée précédente, on obtient 
$\boxed{F_c\approx 4,55}$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On lit graphiquement $\boxed{\omega\in\interff{0}{184}}$

\item Il faut résoudre l'équation $G(\omega)=-0,1$ \cad
\begin{align*}
\frac{- 10}{\ln (10)}\ln \left[1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} 
\right)^{12}\right]&=-0,1\\
\ln \left[1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}\right]&=0,01 \ln (10)\\
1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}&=\exp(0,01\ln 10)\\
\left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}&=\exp(0,01\ln 10)-1\\
12\ln \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)&=\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}\\
\ln \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)&=\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}\\
\frac{\omega}{80 \pi}&=\exp\cro{\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}}\\
\omega&=80\pi\exp\cro{\frac{1}{12}\ln\pa{\exp(0,01\ln 10)-1}}
\end{align*}
d'où $\boxed{\omega_0\approx 183,7}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Groupement A2 : Spécialités Électrotechnique, Génie optique}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item On veut calculer
\begin{align*}
p(\numprint{1000})&= \int_0^{\numprint{1000}}  \numprint{0,0004} \e^{- \numprint{0,0004}x}\dx\\
&=\cro{-\e^{- \numprint{0,0004}x}}_0^ {\numprint{1000}}\\
&=1-\e^ {-0,4}
\end{align*}
\cad 
$\boxed{
p(\numprint{1000})\approx 0,33
}
$

\item 
\begin{enumerate}
\item On a $p(C_1\cap C_2)=p(C_1)\times p_{C_1}(C_2)$ sachant que $p(C_1)=0,67$
et $p(C_1\cap C_2)=0,4489$ d'où $\boxed{p_{C_1}(C_2)=0,67}$.

On en tire alors $p_{C_1}(\bar{C_2})=1-p_{C_1}(C_2)$ \cad 
$\boxed{p_{C_1}(\bar{C_2})=0,33}$

$p(\bar{C_1})=1-p(C_1)$ d'où $\boxed{p(\bar{C_1})=0,33}$.

On en déduit $p(\bar{C_1}\cap \bar{C_2})=p(\bar{C_1})\times 
p_{\bar{C_1}}(\bar{C_2})=0,33\times 0,33$ \cad $\boxed{p(\bar{C_1}\cap \bar{C_2})
=0,1089}$

Enfin, comme $p_{\bar{C_1}}(\bar{C_2})=0,33$, on a $\boxed{p_{\bar{C_1}}(C_2)=0,67}$
D'où $p(\bar{C_1}\cap C_2)=p(\bar{C_1})\times p_{\bar{C_1}}(C_2)$ \cad
$\boxed{p(\bar{C_1}\cap C_2)=0,2211}$

\item On a $C_2=\pa{C_1\cap C_2}\cup\pa{\bar{C_1}\cap C_2}$, d'où, d'après 
la question précédente et sachant que les événements $\pa{C_1\cap C_2}$ et 
$\pa{\bar{C_1}\cap C_2}$ sont disjoints, on obtient
\[
\boxed{
p(C_2)=0,67
}
\]

\item On a $p(C_1\cap C_2)=0,4489$ et $p(C_1)\times p(C_2)=0,67^ 2=0,4489$, \cad
$p(C_1\cap C_2)=p(C_1)\times p(C_2)$ donc \fbox{les événements $C_1$ et $C_2$ 
sont indépendants.}

\item Le dispositif ne fonctionne pas quand les deux composants sont défaillants, 
\cad que la probabilité de cet événement est $p(\bar{C_1}\cap \bar{C_2})=0,1089$.
Ici, on veut qu'il soit en état de fonctionnement, donc on cherche la probabilité 
de l'événement contraire. 

\fbox{La probabilité que ce dispositif soit en état de 
fonctionnement au bout de \numprint{1000} heures est $0,8911$.}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item 
\fbox{$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=50$, de probabilité $p=0,67$}

\item On demande $p(X=42)$ d'où $p(X=42)=\binom{50}{42}0,67^ {42}\times 0,33^ {8}$,
\cad $\boxed{p(X=42)\approx \numprint{0,003742}}$

\item On demande $p(X>42)=1-p(X\leq 42)\approx 1-\numprint{0,997 973 63}$ \cad
$\boxed{p(X>42)\approx \numprint{0,002}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item On obtient par lecture graphique $\boxed{k_1= 27,\quad k_2=40}$

\item On a alors $p(27\leq X \leq 26)>0,975-0,025$ d'où 
$\boxed{p(27\leq X \leq 26)>0,95}$

Par conséquent, \fbox{l'affirmation proposée est vraie.}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item Par approximation d'une loi binomiale par une loi normale, on conserve 
l'espérance et l'écart-type de la loi binomiale. 

Par conséquent, on a $\mu=np=0,67\times 50$ \cad $\boxed{\mu=33,5}$ et 
$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{50\times 0,67\times 0,33}$ \cad $\boxed{\sigma\approx 3,3}$

\item La Variable $Y$ suit la loi normale de paramètres $\mu=33,5$ et $\sigma=3,3$
 alors la variable $T=\frac{Y-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
 
 On a alors
 \begin{align*}
 p(Y\leq 42)&=p\pa{T\leq\frac{42-33,5}{3,3}}\\
 &=p(T\leq 2,575)
 \end{align*}
 \cad $\boxed{Y\leq 42)\approx 0,99}$
 
 \item On a donc
 \begin{align*}
 p(33,5-a\leq Y\leq 33,5+a)&=p\pa{\frac{33,5-a-33,5}{3,3}\leq T \leq \frac{33,5+a-33,5}{3,3}}\\
 &=p\pa{-\frac{a}{3,3}\leq T \leq \frac{a}{3,3}}\\
 &=\Pi\pa{\frac{a}{3,3}}-\Pi\pa{-\frac{a}{3,3}}\\
 &=2\Pi\pa{\frac{a}{3,3}}-1
 \end{align*}
 Il nous faut alors résoudre $2\Pi\pa{\frac{a}{3,3}}-1\geq 0,95$ \cad 
 $\Pi\pa{\frac{a}{3,3}}\geq 0,975$.
 
 Or par lecture de la table, on a $\Pi(1,96)=0,975$ d'où $a=3,3\times 1,96$,
 \cad $\boxed{a\approx 6,5}$
 
 On retrouve $p(27\leq Y \leq 40)\geq 0,95$.
 
\end{enumerate}



\newpage
\begin{center}
  \textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie,\\
  Toutes spécialités }
\end{center}
\begin{table}[!ht]
\centering
 \begin{tabularx}{12cm}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}
\hline
  n&1&2&3&4&5&6\\
\hline
a_n^ 2&0,1643&0&0,0020&0&0,0003&0\\
\hline
S_n&0,3321&0,3321&0,3331&0,3331&0,3333&0,3333\\
\hline
 \end{tabularx}
 \caption{Puissances des harmoniques}
\label{a14_ex1_tab1c}
\end{table}

\vspace{5cm}
\begin{figure}[!ht]
\centering
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\end{pspicture} 
\caption{La fonction $h$}
\label{a14_ex1_fig1c}
 \end{figure}
 



\newpage
\begin{center}
  \textbf{Document réponse 2 à rendre avec la copie,\\
  spécialités Électrotechnique, Génie optique}
\end{center}
\vspace{5cm}
\begin{figure}[h]
\centering
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\pstree[treemode=R]{\Tdot}
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\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C_1$}\taput{\small $\red 0,67$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C_2 ~~~~ \red p(C_1 \cap C_2) = \np{0,4489}$}\taput{\small $0,67$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C_2}~~~~p(C_1\cap \bar{C_2})=\np{0,2211}$}\tbput{\small $0,33$}
}
\pstree
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\caption{Arbre pondéré}
\end{figure}
\vspace{10cm}

Suggestions ou remarques :
\href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}

%Xavier TISSERAND est professeur de mathématiques en cpge ATS au lycée Vieljeux
%de La Rochelle
% Cette classe ATS est exclusivement réservée aux étudiant(e)s titulaires
% d'un BTS ou DUT industriel qui veulent intégrer une école d'ingénieur, sur
%concours  ou sur dossier. La durée de formation est de un an, sans possibilité
%de  redoublement. Il existe en France 31 classes de ce type. Pour de plus
%amples  renseignements, vous pouvez consulter le site internet du lycée
% 
% http://www.lycee-vieljeux.fr/cpge/ats.html
% 
% et/ou me contacter par mail à l'adresse ci-dessus.



\end{document}