\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,mathrsfs} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphicx} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pgf} \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} \usetikzlibrary{hobby} \usepackage{tkz-tab} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-bezier,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %echelon unité \newcommand{\U}{\mathscr{U}} \usepackage{pst-bezier,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement A2}, pdftitle = {Métropole - 9 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} %signe inferieur ou egal francais \renewcommand{\leq}{\leqslant} %signe superieur ou egal francais \renewcommand{\geq}{\geqslant} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P.{}}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Électrotechnique\\Systèmes photoniques}} \rfoot{\small{9 mai 2017\\V. X. Jumel}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 9 mai 2017\\[5pt] groupement A2}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip Les 4 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans cet exercice on s'intéresse à l'évolution, en fonction du temps, de la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu. \bigskip \textbf{Partie A: Étude de la vitesse de rotation du moteur lors de son démarrage} \medskip Dans un premier temps, le moteur à courant continu utilisé n'est soumis à aucune charge mécanique. La vitesse de rotation de ce moteur, exprimée en tour par seconde (tour/s), est notée $\omega$. Elle dépend du temps $t$ , exprimé en seconde (s), écoulé depuis le démarrage du moteur. La courbe ci-dessous représente l'évolution de cette vitesse en fonction du temps. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-3)(5.1,18) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(5.1,18) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(5,18) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(5,18) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[r](0,17.5){vitesse en tours par seconde} \uput[u](4.25,0){temps en secondes} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{15 30 x mul 15 add 2.71828 2 x mul exp div sub} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Répondre aux questions suivantes à l'aide de la représentation graphique ci-dessus. \begin{enumerate} \item Quelle est la vitesse de rotation du moteur à l'instant t = 0 ? \item Quelle est la vitesse de rotation du moteur une seconde après le démarrage? \item Vers quelle valeur $\omega_{\text{S}}$ semble se stabiliser la vitesse de rotation du moteur ? \item Avec la précision permise par le graphique, déterminer au bout de combien de temps on atteint 95\,\% de la vitesse stabilisée. Expliquer. \end{enumerate} \item On admet que, dans les conditions de fonctionnement étudiées dans la partie A, la vitesse de rotation du moteur est modélisée par la fonction $\omega$ définie pour $t \geqslant 0$ par : \[\omega(t) = 15 - (30 t + 15)\text{e}^{- 2t}\] \begin{enumerate} \item On note $\omega'$ la fonction dérivée de $\omega$. Justifier que pour $t \geqslant 0 $:\: $\omega'(t) = 60 t \text{e}^{- 2 t}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $\omega$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Calculer $\omega'(0)$. Donner une interprétation graphique du résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Le formulaire ci-dessous peut être utilisé pour les parties B et C de l'exercice} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|X|}\hline \textbf{Équation différentielle sans second membre}& \textbf{Solutions sur $\R$}\\ \hline $a y''+ by' + cy = 0$ avec $a$, $b$ et $c$ des constantes réelles.&$\bullet~~$Si $\Delta > 0$ :\: $t \longmapsto A \text{e}^{r_1 t} + B \text{e}^{r_2 t}$, avec $A,\: B$ constantes réelles et $r_1$,\: $r_2$ les solutions de l'équation caractéristique.\\ Équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.&$\bullet~~$ Si $\Delta = 0$ :\: $t \longmapsto (At + B)\text{e}^{rt}$, avec $A$,\:$B$ constantes réelles et $r$ la solution de l'équation caractéristique.\\ &$\bullet~~$Si $\Delta < 0$ : $t \longmapsto \text{e}^{\alpha t} [A \cos (\beta t) + B \sin(\beta t)$, avec $A$,\: $B$ constantes réelles et $\alpha + \text{i} \beta$ et $\alpha - \text{i}\beta$ les solutions de l'équation caractéristique.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie B : Résolution d'une équation différentielle permettant d'obtenir la vitesse de rotation} \medskip Sous certaines conditions de charge, la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu soumis à une tension constante U, exprimée en Volt (V), est solution de l'équation différentielle \[(E) :\quad \dfrac{1}{4}y'' + y' + y = \dfrac{\text{U}}{k},\:\text{où $k$ est une valeur caractéristique du moteur.}\] \begin{enumerate} \item On note $\left(E_0\right)$ l'équation homogène associée à $(E)$. On a donc : \[\left(E_0\right) :\quad \dfrac{1}{4}y'' + y' + y = 0.\] Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$. \item Vérifier que la fonction constante $g$: \: $t \longmapsto \dfrac{\text{U}}{k}$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire les solutions de l'équation différentielle de $(E)$. \item En prenant $k = \dfrac{2}{3}$ et $\text{U} = 10$~V montrer que la fonction $\omega$ donnée dans la question A. 2. est la solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Détermination de la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu à partir des principes de la physique} \medskip D'une manière plus générale on démontre que la vitesse de rotation du moteur alimenté par une tension continue $U$ vérifie l'équation différentielle \[\left(E_1 \right) :\quad \alpha^2 y'' + 2m\alpha y' + y = \dfrac{\text{U}}{k},\] où $\alpha$, $m$ et $k$ sont des paramètres strictement positifs dépendant des caractéristiques physiques du moteur étudié (résistance, inductance, moment d'inertie). \smallskip Dans cette partie on prend : $\text{U} = 10$ V ; $\alpha = 0,3$ ;\: $m = 0,6$ et $k = \dfrac{2}{3}$. L'équation différentielle $\left(E_1 \right)$ s'écrit donc : \[0,09 y'' + 0,36 y' + y = 15.\] \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation : $0,09 z^2 + 0,36 z + 1 = 0$. \item Parmi les quatre fonctions proposées ci-dessous, une seule est solution de l'équation différentielle $\left(E_1 \right)$ et vérifie les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$. Quelle est cette fonction ? Justifier la réponse. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{l X} \textbf{Fonction 1} :& $t \longmapsto 15\left[1- \text{e}^{ - \frac{8}{3}t}\left(\cos (2t)+ \frac{3}{4}\sin(2t)\right)\right]$\\ \textbf{Fonction 2} :& $t \longmapsto 15\left[1- \text{e}^{-2t}\left(\cos \left(\frac{8}{3}t\right)+ \frac{3}{4} \sin \left(\frac{8}{3}t\right)\right)\right]$\\ \textbf{Fonction 3} :& $t \longmapsto 15\text{e}^{\frac{2}{3}t} - 15\text{e}^{-\frac{14}{3}t}$\\ \textbf{Fonction 4} :& $t \longmapsto 15 - \text{e}^{-2t}\left[\cos \left(\frac{8}{3}t\right) + \frac{3}{4}\sin \left( \frac{8}{3}t\right) \right]$ \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \end{center} \item La solution de l'équation différentielle $\left(E_1 \right)$ qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$ modélise l'évolution de la vitesse du moteur en fonction du temps dans les conditions étudiées dans la partie C. Elle est représentée ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-3)(5.1,18) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(5.1,18) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(5,18) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(5,18) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[r](0,17.5){vitesse en tours par seconde} \uput[u](4.25,0){temps en secondes} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{15 1 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x mul exp div sub mul} \end{pspicture} \end{center} D'après cette modélisation, quelle est la vitesse maximale du moteur ? À quel moment, environ, est-elle atteinte ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D : Comportement d'un moteur soumis à différents sauts de tension} \medskip Une boucle de régulation de vitesse permet à présent de faire fonctionner le moteur à différentes vitesses. La tension d'entrée vaut successivement 10~V, 30~V puis 20~V. La vitesse de rotation du moteur est alors analysée et illustrée par le graphique ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-3)(13,55) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(13,55) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,55)} \multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(13,55) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(13,55) \uput[r](0,53){vitesse en tours par seconde} \uput[u](11.5,0){temps en secondes} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{15 1 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x mul exp div sub mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{7}{30 1 8 x 3 sub mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x 3 sub mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x 3 sub mul exp div sub mul 15 add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7}{13}{45 15 1 2.71828 x 7 sub 2 mul neg exp 8 3 div x 7 sub mul 180 mul 3.14159 div cos x 7 sub 8 mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 0.75 mul add mul sub mul sub} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide du graphique les trois instants où les tensions ont été modifiées. On ne demande pas de justification. \item Représenter sur le document réponse (page 9) la tension d'entrée $e$, exprimée en Volt, appliquée aux bornes du moteur en fonction du temps $t$, exprimé en seconde. \item On désigne par $\mathcal{U}$ la fonction causale unité. On rappelle que: \[\mathcal{U}(t) = 0\:\: \text{ si }\:t < 0 \:\:\text{ et } \mathcal{U}(t) = 1\: \text{ sinon}.\] Pour exprimer la tension d'entrée $e(t)$ appliquée aux bornes du moteur à l'instant $t$ un étudiant propose l'expression $e(t) = 10 \mathcal{U}(t) + 30 \mathcal{U}(t - 3) - 20 \mathcal{U}(t - 7)$ et remplit le tableau donné sur le document réponse. \begin{enumerate} \item Compléter, sur le document réponse, le tableau rempli par l'étudiant. \item Une fois qu'il a terminé de remplir le tableau, l'étudiant se rend compte qu'il a donné une expression inexacte de $e(t)$. Expliquer pourquoi. \item Donner l'expression exacte de $e(t)$. On n'attend pas de justification. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les deux parties suivantes sont indépendantes. Elles peuvent être traitées dans n'importe quel ordre} \end{center} \medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$, paire, périodique de période $\pi$, vérifiant : \[f(t) = t \sin(t)\quad \text{pour }\: t \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].\] \begin{enumerate} \item Parmi les quatre courbes suivantes quelle est celle qui représente la fonction $f$ ? On n'attend pas de justification. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale = 0.5,>=latex] \begin{scope}[xshift=-7cm] \node at (-4,2.6) [anchor = south west ] {Courbe 1} ; \draw [->,thick] (-4,0) -- (6.5,0) ; \draw [->,thick] (0,-2.5) -- (0,2.5) ; \draw [thin,gray] (-4,-2.5) grid [xstep = 1.57] (6.5,2.5) ; \draw [blue,thick,smooth,samples=750] plot [domain=-4:6.5] (\x, {2*cos(2*\x r)} ) ; \draw(1.56,0) node[below]{$\frac{\pi}{2}$}; \draw(0,0) node[below]{\footnotesize $0$}; \draw(0,1) node[left]{\footnotesize $1$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=7cm] \node at (-3.14,3.2) [anchor = south west ] {Courbe 2} ; \draw [->,thick] (-3.14,0) -- (6.5,0) ; \draw [->,thick] (0,-1.7) -- (0,3.2) ; \draw [thin,gray] (-3.14,-1.7) grid [xstep = 1.57] (6.5,3.2) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x, {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x+3.14, {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x-3.14, {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ; \draw(1.56,0) node[below]{$\frac{\pi}{2}$}; \draw(0,0) node[below]{\footnotesize $0$}; \draw(0,1) node[left]{\footnotesize $1$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=-7cm,yshift=-7cm,scale=1.2] \node at (-3.14,2.5) [anchor = south west ] {Courbe 3} ; \draw [->,thick] (-3.14,0) -- (6.5,0) ; \draw [->,thick] (0,-2.5) -- (0,2.5) ; \draw [thin,gray] (-4,-2.5) grid [xstep = 1.57] (6.5,2.5) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x-3.14, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x+3.14, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x+6.28, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x+3.14, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw(1.56,0) node[below]{$\frac{\pi}{2}$}; \draw(0,0) node[below]{\footnotesize $0$}; \draw(0,1) node[left]{\footnotesize $1$}; \end{scope} \begin{scope}[xshift=7cm,yshift=-7cm] \node at (-5,4.2) [anchor = south west ] {Courbe 4} ; \draw [->,thick] (-5,0) -- (5,0) ; \draw [->,thick] (0,-2.9) -- (0,4.1) ; \draw [thin,gray] (-5,-2.5) grid [xstep = 1.57] (5,4.1) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:5] (\x, { \x*sin(2*\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:5] (-\x, { \x*sin(2*\x r) } ) ; \draw(1.56,0) node[below]{$\frac{\pi}{2}$}; \draw(0,0) node[below]{\footnotesize $0$}; \draw(0,1) node[left]{\footnotesize $1$}; \end{scope} \end{tikzpicture} \end{center} \item On admet que la fonction $f$ est développable en série de Fourier. On note $S$ son développement en série de Fourier. On rappelle que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline $S(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n \omega t)\right)$, avec $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$,\: $T$ période de $f$ ;\\ $a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_a^{a + T} f(t)\:\text{d}t$. Pour $n \geqslant 1$ : $a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_a^{a + T} f(t)\cos (n \omega t)\:\text{d}t$ et $b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_a^{a + T} f(t)\sin (n \omega t)\:\text{d}t$\\ avec $a$ constante réelle quelconque.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que $b_n = 0$ pour tout $n$ entier naturel supérieur ou égal à 1. \item Montrer que la fonction $g$ définie pour tout réel $t$ par $g(t) = -t\cos(t) + \sin(t)$ est une primitive de la fonction définie sur $\R$ par $t\mapsto t\sin t$. \item La fonction étant paire et de période $\pi$, $a_0$ vérifie $a_0 = \frac2{\pi} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2} f(t) \mathrm{d}t$. Vérifier que $a_0 = \frac2{\pi}$. Écrire les étapes du calcul effectué. \end{enumerate} \item On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : $a_n = \frac2{\pi}(-1)^n \left( \frac1{(2n+1)^2} + \frac1{(2n-1)^2}\right)$ Donner les valeurs de $a_1$ et $a_2$ arrondies au millième. \item On note $f_e$ le nombre positif vérifiant $f_e^2 = \dfrac1{\pi} \displaystyle\int_0^{\pi} f^2(t) \mathrm{d}t$. On admet que l'expression $a_0^2 + \frac12\displaystyle\sum_{n=1}^2\left(a_n^2 + b_n^2\right)$, obtenue d'après la formule de Parseval, permet d'obtenir la valeur approchée de $f_e^2$ au millième. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur approchée de $f_e$ au millième. \item Si $f$ modélise un signal de période $\pi$, que représente $f_e$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B :} \medskip Une entreprise produit en grande série des axes de rotation pour un modèle de moteur. Ces axes sont fabriqués par dix machines identiques fonctionnant de manière indépendante et toujours ensemble pendant une période appelée \emph{cycle de fabrication}. Le service de maintenance annonce que la probabilité qu'une machine tombe en panne pendant un cycle de fabrication est de 0,02. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ qui à chaque cycle de fabrication associe le nombre de machines tombant en panne pendant ce cycle suit une loi binomiale. \begin{minipage}{0.45\textwidth} \begin{enumerate} \item Quels sont les paramètres $n$ et $p$ de cette loi binomiale ? En utilisant le graphique ci-contre, qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ : \item indiquer quelle est la probabilité $p_1$ qu'aucune machine ne tombe en panne pendant un cycle de fabrication ; \item déterminer quelle est la probabilité $p_2$ qu'au moins deux machines tombent en panne pendant un cycle de fabrication. \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{0.53\textwidth} \begin{center} %\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=7] %\draw (-1.5,0) -- (7,0) ; %\draw (-1.5,0) -- (-1.5,0.9) ; % %\draw [fill=black] (-0.1,0) rectangle (0.1,0.817) ; %\draw [fill=black] (0.9,0) rectangle (1.1,0.167) ; %\draw [fill=black] (1.9,0) rectangle (2.1,0.015) ; %\draw [fill=black] (2.9,0) rectangle (3.1,0.001) ; %\draw [fill=black] (3.9,0) rectangle (4.1,0.001) ; %\draw [fill=black] (4.9,0) rectangle (5.1,0.001) ; %\draw [fill=black] (5.9,0) rectangle (6.1,0.001) ; % %%\foreach \i in {0,{0.1},{0.2},{0.3},{0.4},{0.5},{0.5},{0.6},{0.7},{0.8},{0.9}} %%{ \draw (-1.6,\i) node [left] { \small \np{\i} } -- (-1.5,\i) ; %%} ; %\draw(-1.6,0.1) \node[left] {\np{0.1}} ; %\foreach \i in {0,...,6} { \node at (\i, 0) [below] { \small % \i } ; } ; %\foreach \i/\j in %{0/0.817,1/0.167,2/0.015,3/0.001,4/0.000,5/0.000,6/0.000} %{ \node at (\i,\j) [above] {\scriptsize \np{\j}}; %}; %\node at (3,1) { \footnotesize \textbf{Probabilité d'avoir $k$ succès (à % $10^{-3}$ près)} } ; %\node at (3,-0.1) { \small \textbf{Nombre de succès} }; %\end{tikzpicture} \psset{xunit=0.6cm,yunit=6cm,comma=true} \begin{pspicture}(0,-0.15)(9,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.1](0,0)(0,0)(9,1) \multido{\n=2+1,\na=0+1}{7}{\uput[d](\n,0){\na}} \psline[linewidth=4pt](2,0)(2,0.817)\uput[u](2,0.817){\footnotesize$0,817$} \psline[linewidth=4pt](3,0)(3,0.167)\uput[u](3,0.167){\footnotesize 0,167} \psline[linewidth=4pt](4,0)(4,0.015)\uput[u](4,0.015){\footnotesize 0,015} \psline[linewidth=4pt](5,0)(5,0.001)\uput[u](5,0.001){\footnotesize 0,001} \psline[linewidth=4pt](6,0)(6,0.000)\uput[u](6,-0.01){\footnotesize 0,000} \psline[linewidth=4pt](7,0)(7,0.000)\uput[u](7,-0.02){\footnotesize 0,000} \rput(4.5,0.95){\footnotesize \textbf{Probabilité d'avoir $k$ succès (à $10^{-3}$ près)}} \rput(4.5,-0.1){\footnotesize \textbf{Nombre de succès}} \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \item L'entreprise met en place un contrôle de qualité portant sur le diamètre des axes de rotation fabriqués. On appelle $\mathrm{L_{C_1}}$ et $\mathrm{L_{C_2}}$ les \emph{limites de contrôle}. On admet que $\mathrm{L_{C_1}} = 14,4$~mm et $\mathrm{L_{C_2}} = 15,9$~mm. On note $D$ la variable aléatoire qui, à tout axe de rotation prélevé au hasard dans la production totale des dix machines pendant un cycle de fabrication, associe son diamètre exprimé en millimètres. On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $\mu = \np{15.20}$ et d'écart-type $\sigma = \np{0.3}$. Un logiciel donne les résultats représentés ci-dessous : \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=3] \draw plot [smooth,domain = 14.2:16.2] (\x, { 1/sqrt(2*3.14*0.09)*exp(-(\x - 15.2)^2/0.09/2) } ) ; \draw [->] (14,0) -- (16.35,0) ; \filldraw [fill,black] (14.2,0) -- plot [domain = 14.2:14.4] (\x, { 1/sqrt(2*3.14*0.09)*exp(-(\x -15.2)^2/0.09/2) } ) -- (14.4,0) -- cycle ; \filldraw [fill,black] (15.9,0) -- plot [domain = 15.9:16.2] (\x, { 1/sqrt(2*3.14*0.09)*exp(-(\x -15.2)^2/0.09/2) } ) -- (16.2,0) -- cycle ; \node at (16.05,0.4) [above] {\small Zone 2} ; \node at (16.05,0.2) [above] {\small \textit{proba}$(D \geqslant 15,9) \approx \np{0,0098}$ } ; \node at (14.35,0.4) [above] {\small Zone 1} ; \node at (14.35,0.2) [above] {\small \textit{proba}$(D \leqslant 14,4) \approx \np{0,0038}} $ } ; \foreach \i in {14,14.2,14.4,14.6,14.8,15,15.2,15.4,15.6,15.8,16,16.2} { \draw (\i,0) -- (\i,-0.05) node [below] {\small \np{\i}} ; }; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer à $10^{-4}$ près la probabilité que le diamètre d'un axe pris au hasard dans la production soit compris entre les limites de contrôle. \item Déterminer un intervalle $[\mathrm{L_{S_1}} ; \mathrm{L_{S_2}}]$ centré en $\mu = 15,20$ et tel que la probabilité que la variable $D$ prenne une valeur entre $\mathrm{L_{S_1}}$ et $\mathrm{L_{S_2}}$ soit environ égale à \np{0,95}. Les nombres $\mathrm{L_{S_1}}$ et $\mathrm{L_{S_2}}$ s'appellent les \emph{limites de surveillance}. \end{enumerate} \item Au cours d'un cycle de fabrication la procédure de contrôle suivante est mise en place. Pour chaque machine on prélève au hasard un échantillon de 20 axes dans la production en cours de la machine, on mesure les diamètres des axes prélevés et on calcule le diamètre moyen des axes de l'échantillon, noté $d$. \begin{itemize} \item Si $d \notin [\mathrm{L_{C_1}} ; \mathrm{L_{C_2}}]$ alors le service de maintenance procède immédiatement au réglage de la machine. \item Si $d \in [\mathrm{L_{C_1}} ; \mathrm{L_{S_1}}]$ ou $d \in [\mathrm{L_{S_2}} ; \mathrm{L_{C_2}}]$ alors le service de maintenance prélève immédiatement un autre échantillon (procédure d'alerte) et refait les mesures et calculs. \end{itemize} \medskip Une machine est en cours de cycle. Un prélèvement de 20 axes conduit aux mesures suivantes : \medskip \small \begin{tabular}{|*{6}{c|}} \hline Diamètre en mm & $[15,09~;~15,11]$ & $[15,11~;~15,13]$ & $[15,13~;~15,15]$ & $[15,15~;~15,17]$ & $[15,17~;~15,19]$ \\ \hline Effectif & 1 & 2 & 3 & 4 & 3 \\ \hline Diamètre en mm & $[15,19~;~15,21]$ & $[15,21~;~15,23]$ & $[15,23~;~15,25]$ & $[15,25~;~15,27]$ & $[15,27~;~15,29]$ \\ \hline Effectif & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular} \normalsize \begin{enumerate} \item En utilisant le milieu de chacun des intervalles, calculer le diamètre moyen des 20 axes prélevés. \item Quelle décision prend le service de maintenance ? Expliquer. \end{enumerate} \end{enumerate} \pagebreak \begin{center} \bfseries DOCUMENT RÉPONSE à rendre avec la copie \end{center} \textbf{EXERCICE 1 - PARTIE D - Question 2 :} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.14,>=latex] \draw [thick,->] (0,0) -- (15.1,0) ; \draw [thick,->] (0,0) -- (0,47) ; \draw [gray] (0,0) grid [xstep=1, ystep = 5] (15.1,47) ; \foreach \i in {5,10,...,45} { \node at (0,\i) [ left] { \small \i} ; } ; \foreach \i in {1,...,15} { \node at (\i,0) [ below ] {\small \np{\i}} ; } ; \node at (0,47) [anchor = west ] {tension en Volt} ; \node at (15,0) [anchor = south east ] {temps en secondes } ; \end{tikzpicture} \end{center} \textbf{EXERCICE 1 - PARTIE D - Question 3. a. :} \begin{center} \begin{tabular}{|p{3cm}|*{4}{p{1.5cm}|}} \hline \centering $t$ & $-\infty$ & 0 & 3 & 7 \hfill $+\infty$ \\ \hline $10 \mathcal{U}(t)$ & & & & \\ \hline $30 \mathcal{U}(t-3)$ & & & & \\ \hline $-20 \mathcal{U}(t-7)$ & & & & \\ \hline \centering $e(t)$ & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{document}