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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%     grandes parenthèses  %%
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\begin{document}
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\rfoot{\small{13 mai 2014}}
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\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur\\ session 2014 - groupement A2 }}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
%\item Contrôle industriel et régulation automatique
%\item Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques
%\item Systèmes électroniques
\item Électrotechnique
\item Génie optique
%\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\textbf{Toutes spécialités}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$, périodique de période $T$, dont une représentation 
graphique est donnée par la figure ci-dessous.
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-4,-0.5)(6.2,1.5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-4,-0.5)(6,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2](0,0)(-4,-0.5)(6,1.5)
\psline(-4,1)(-3,0)(-2,1)(-1,0)(0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,1)(5,0)(6,1)(7,0)
\end{pspicture*} 
\end{center}

Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ est noté: 
\[a_{0} + \sum_{n\geq 1} \left(a_{n} \cos (n \pi t) + 
b_{n} \sin (n\pi t)\right).\]
  
\begin{enumerate}
\item Cette question est un QCM.
 
Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Le candidat 
portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi 
de la réponse choisie.
\begin{enumerate}
\item La période $T$ de la fonction $f$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
0,5& 1&2&3\\ \end{tabularx}
\medskip 	
\item Le coefficient $b_{1}$ vaut :
 		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
$- \frac{4}{\pi^2}$&0&$\frac{1}{4}$&~\\ 
\end{tabularx}
\medskip 	
\item Le nombre réel $a_{0}$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}		
0&0,25&0,5&12\\ 
\end{tabularx} 
\medskip
\item  On donne l'égalité suivante
		
\[
\int_{0}^1 (1 - t) \cos (\pi t)\:\text{d}t = \frac{2}{\pi^2}.
\]
		
La valeur exacte du coefficient $a_{1}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}		
0&$\frac{4}{\pi^2}$&$\frac{2}{\pi^2}$&$\frac{1}{\pi^2}$\\
 \end{tabularx} 
\medskip
\end{enumerate} 

\textbf{Application de la formule de Bessel-Parseval}
	
\medskip
 
\item On rappelle que la puissance moyenne $P_{f}$, par période du signal, 
modélisé par une fonction $f$ de période $T$ est donnée par 

\[
P_{f} = \frac{1}{T}\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} [f(t)]^2\:\text{d}t.
\]
 
Démontrer que $P_{f}= \frac{1}{3}$. 
\item On note $g_{n}$ la fonction définie, pour tout nombre entier $n$ strictement 
positif par
\[
g_{n}(t) = a_{0} +\sum_{k=1}^{k=n} \left(a_{k} \cos (k \pi t) + b_{k} \sin (k \pi t)\right)
\] 
 
et 
 \[
 S_{n} = a_{0}^2 + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2.
 \]
 
	\begin{enumerate}
		\item Le tableau \ref{a14_ex1_tab1} du document réponse 1 fournit des valeurs 
approchées à $10^{-4}$ près de $S_{n}$. Compléter ce tableau. 
		\item En déduire la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que la puissance 
moyenne par période de la fonction $g_{n}$ est supérieure ou égale à $0,999 P_{f}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	 
\textbf{Partie B}
	 
\medskip
	  
Soit $\tau$ un nombre réel strictement positif.
	   
On s'intéresse maintenant à la fonction $e$ représentant un signal de même forme 
que celui de la partie A, mais dont la période, exprimée en seconde, est $2\tau$
 et dont le graphe est représenté ci-après. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-4,-0.5)(6.2,1.5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.2]{->}(0,0)(-4,-0.5)(6,1.5)
\psline(-4,1)(-3,0)(-2,1)(-1,0)(0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,1)(5,0)(6,1)(7,0)
\uput[d](1,0){$\tau$}\uput[d](2,0){$2\tau$}\uput[d](3,0){$3\tau$}
\end{pspicture*} 
\end{center}
 
Ce signal est placé en entrée d'un filtre passe-bas (il s'agit d'un filtre de 
Butterworth d'ordre 6 et de fréquence de coupure 40 Hz).
  
Le signal de sortie obtenu est modélisé par une fonction $h$. 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On se place dans le cas où la fonction $e$ est telle que $\tau = 0,1$.
 
La figure \ref{a14_ex1_tab1} du document réponse 1 donne une représentation 
graphique de la fonction $h$ sur l'intervalle $[-0,4~;~0,4]$, obtenue à l'aide 
d'un logiciel de simulation.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la valeur maximale $h_{\text{max}}$ de la fonction $h$. 
		\item Sur la figure 1 du document réponse 1, tracer la représentation graphique 
		de la fonction $e$. 
		\item Le \emph{facteur de crête} du signal $h$, exprimé en décibels, est défini par 
		\[
		F_{c} = \frac{10}{\ln (10)}\ln \left(\frac{h_{\text{max}}^2}{P_{h}} \right).
		\]
		
On a obtenu à l'aide d'un logiciel de calcul numérique la valeur approchée 
suivante de la puissance moyenne par période $P_{h}$ du signal $h$ : 
\[
P_{h} \approx  \np{0,33330}.
\]
		 
En déduire une valeur approchée du facteur de crête $F_{c}$.
\end{enumerate} 
\item On note $G(\omega)$ le gain, exprimé en décibels, du filtre passe-bas en 
fonction de la pulsation $\omega$.
	 
Le graphique ci-après donne une représentation graphique de la fonction $G$ 
pour les \og  petites \fg{} valeurs de la pulsation $\omega$. 
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.048cm,yunit=40cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-20,-0.25)(240,0.025)	 
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.05]{->}(0,0)(-20,-0.25)(240,0.025)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{199}{x 80 3.14159 mul div 12 exp 1 add ln 4.34294 mul neg }	
%\end{pspicture}	 
%\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.048cm,yunit=40cm,comma=true,algebraic}
\begin{pspicture}(-20,-0.25)(240,0.025)	 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.05,xlabelPos=top,xticksize=-.25 0.005,ticklinestyle=dashed,%
	xsubticks=2,%
	subticksize=1,%
	subticklinestyle=dashed,%
	yticksize= 230,%
	ysubticks=5,%
	]
	{->}(0,0)(0,-0.25)(240,0.025)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{198.6}{-10*log(1+(x/(80*\psPi))^12)}	
\end{pspicture}	 
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement l'intervalle des valeurs de $\omega$ pour 
lesquelles on a 

\[
G(\omega) \geq - 0,1 \text{db}
\]
		 
\item On donne l'expression de $G(\omega)$ : 

\[
G(\omega) = \frac{- 10}{\ln (10)}\ln \left[1 + \left(\frac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}\right].
\]
		  
On note $\omega_{0}$ la solution de l'équation $G(\omega) = - 0,1$.
		   
Déterminer, à $10^{-1}$ près, en précisant la démarche suivie, une valeur 
approchée de $\omega_{0}$ 
\end{enumerate}

\textbf{Remarque :} \emph{La notion de facteur de crête d'un signal est utile, 
par exemple, en télécommunications. On trouve aisément dans la littérature le 
facteur de crête du signal triangulaire $e$, à savoir $4,77$ db.}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\textbf{Groupement A2 : Spécialités Électrotechnique, Génie optique}
\medskip

On s'intéresse à un dispositif comportant deux composants électriques A et B 
montés en parallèle. Si un seul de ces deux composants est défaillant, le 
dispositif continue à fonctionner.

\medskip
 
\textbf{Partie A}
 
\medskip
  
Dans cette partie, on étudie la durée de vie de ce dispositif.
   
La durée de vie de chaque composant est une variable aléatoire.
    
\begin{enumerate}
\item 

On désigne par $t$ un nombre réel strictement positif. On admet que la 
probabilité $p(t)$ que le composant A ait une durée de vie strictement 
inférieure à $t$ est donnée par 
    
    \[
    p(t) = \int_{0}^t  \np{0,0004} \text{e}^{- \np{0,0004}x}\:\text{d}x.
    \]
     
Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que le composant A ait une 
durée de vie strictement inférieure à \np{1000}~heures. 
\item Sur le document réponse 2 est donné l'arbre pondéré décrivant la situation 
du dispositif au bout de \np{1000}~heures.
      
$C_{1}$ désigne l'événement \og le composant A est en état de fonctionnement \fg{} 
et $C_{2}$ désigne l'événement \og  le composant B est en état de fonctionnement \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'arbre du document réponse 2 et indiquer le détail des 
		calculs des probabilités dans la colonne \og  Probabilités \fg. 
		\item Déterminer la probabilité de l'événement $C_{2}$. 
		\item Les événements $C_{1}$ et $C_{2}$ sont indépendants ? 
		Justifier la réponse. 
		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au bout de \np{1000} 
		heures, le dispositif soit en état de fonctionnement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
      
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Dans cette partie, les résultats approchés seront arrondis à $10^{- 3}$ près.
  
Une entreprise produit en grande série le composant A dont il est question 
dans la partie A. Une étude statistique permet d'admettre que la probabilité 
qu'un composant ait une durée de vie supérieure à \np{1000}~heures est $0,67$. 
Les durées de vie des composants sont indépendantes les unes des autres.
   
Pour un échantillon de $50$ composants, on note $X$ la variable aléatoire égale 
au nombre de composants ayant une durée de vie supérieure à \np{1000}~heures. 
   \medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $X$ suit une loi binomiale.
 
Préciser les paramètres de cette loi. 
\item Calculer la probabilité $p(X = 42)$. 

\item Ci-dessous est donné un extrait du tableau, obtenu à l'aide d'un tableur, 
donnant les valeurs des probabilités 

$p(X \leq  k)$, où $k$ désigne un 
nombre entier naturel appartenant à l'intervalle [0~;~50].
 
 \begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A &B &C &D\\ \hline 
1&$k$&$p(X \leq k)$&&\\ \hline		
2&	38&	\np{0,93714961}&&\\ \hline
3&	39&	\np{0,96825995}&&\\ \hline
4&	40&	\np{0,98562989}&&\\ \hline
5&	41&	\np{0,99423141}&&\\ \hline
6&	42&	\np{0,99797363}&&\\ \hline
7&	43&	\np{0,99938718}&&\\ \hline
8&	44&	\np{0,99984376}&&\\ \hline
9&	45&	\np{0,99996736}&&\\ \hline
10& 46&	\np{0,99999464}&&\\ \hline
11&	47&	\np{0,99999935}&&\\ \hline
12&	48&	\np{0,99999995}&&\\ \hline
13&	49&	1&&\\ \hline
14& 50& 1&&\\ \hline	
15&    &&&\\ \hline
16&    & &&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À l'aide de ce tableau, déterminer la probabilité que le nombre de composants 
ayant une durée de vie supérieure à \np{1000} heures parmi cet échantillon 
soit strictement supérieur à 42. 
\item Sur l'annexe, le diagramme en bâtons représente les valeurs de 
$p(X \leq k)$ en fonction de $k$. 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de ce diagramme, déterminer le plus petit nombre 
		entier naturel $k_{1}$ tel que 
		
		\[p\left(X \leq k_{1}\right) > 0,025,\]
		 
puis le plus petit nombre entier naturel $k_{2}$ tel que 
		 		\[p\left(X \leq k_{2}\right) > 0,975,\]
				
		\item Peut-on affirmer : \og \emph{le nombre de composants dont la durée de 
		vie est supérieure à {\rm{\np{1000}}}~heures appartient à l'intervalle 
		{\rm{[27~;~40]}} avec une probabilité supérieure à }0,95 \fg{} ? Justifier 
		la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}
 
\medskip
 
Dans cette partie, on décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par 
la loi normale de moyenne $33,5$ et d'écart type $3,3$.
  
On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu = 33,5$
et d'écart type $\sigma = 3,3$. 

\begin{enumerate}
\item Justifier le choix des paramètres $\mu$ et $\sigma$. 
\item Calculer la. probabilité $P(Y \leq 42)$ arrondie à $10^{-2}$. 
\item Déterminer la plus petite valeur, arrondie à $10^{-1}$, du nombre réel $a$ tel que 

\[p(33,5 - a \leq  Y \leq 33,5 + a) \geq  0,95.\]
 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie,\\
 Toutes spécialités }
\end{center}

\begin{table}[!ht]
\centering
\begin{tabularx}{12cm}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}\hline
  n&1&2&3&4&5&6\\\hline
a_n^ 2&0,1643&0&0,0020&0&0,0003&0\\\hline
S_n&0,3321&0,3321&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\caption{Puissances des harmoniques}
\label{a14_ex1_tab1}
\end{table}

\vspace{5cm}
\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{xunit=12cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-.5,-.1)(.5,1.2) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,%
Dx=0.1,%	
Dy=0.1,%
xticksize=0 1,%
yticksize=-.4 .4,%
%ysubticks=2,%
]{->}(0,0)(-.42,0)(.45,1.1)
	
%\psline(-.4,0.85)(-.384,.975)(-.284,.025)(-.184,.975)(-.084,.025)
%(0.016,.975)(.116,.025)(.216,.975)(.316,.025)(.4,.85)

\def\xmin{-0.40001} \def\xmax{0.4} \def\ymin{0} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.50001,-0.1)(0.5,1.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,0)(4,5)
%\psset{xunit=10cm , yunit=5cm}
%\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=0.1,Dy=.1,Ox=-0.4,Oy=0]{-}(-0.4,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
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\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline(-0.4,0.82)(-.38,0.97)(-.28,0.03)(-.18,.97)(-.08,0.03)(0.02,0.97)(0.12,0.03)(0.22,.97)(.32,0.03)(0.4,0.85)
%\psline[linecolor=blue](-0.4,1)(-0.3,0)(-0.2,1)(-0.1,0)(0,1)(.1,0)(.2,1)(.3,0)(.4,1)
\psbcurve(-0.386666,0.92)(-0.38,0.97)(-0.37468,0.92)
\psline(-0.4,0.82)(-0.386666,0.92)
\psline(-0.37468,0.92)(-.28532,0.08)
\psbcurve(-.28532,0.08)(-.28,0.03)(-0.27468,0.08)
\psline(-0.27468,0.08)(-0.185319149,0.92)
\psbcurve(-0.185319149,0.92)(-.18,.97)(-0.174680851,0.92)
\psline(-0.174680851,0.92)(-0.085319149,0.08)
\psbcurve(-0.085319149,0.08)(-.08,0.03)(-0.074680851,0.08)
\psline(-0.074680851,0.08)(0.014680851,0.92)
\psbcurve(0.0146808511,0.92)(0.02,0.97)(0.0253191489,0.92)
\psline(0.0253191489,0.92)(0.1146808511,0.08)
\psbcurve(0.1146808511,0.08)(0.12,0.03)(0.1253191489,0.08)
\psline(0.1253191489,0.08)(0.2146808511,0.92)
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\psline(0.2253191489,0.92)(0.3146808511,0.08)
%%%%%%%%%%%%
\psbcurve(0.3146808511,0.08)(0.32,0.03)(0.3253191489,0.08)
\psline(0.3253191489,0.08)(0.4,0.85)
%\endpsclip
\end{pspicture} 
\caption{La fonction $h$}
\label{a14_ex1_fig1}
\end{figure}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{Document réponse 2 à rendre avec la copie}
\end{center}
\vspace{5cm}
\begin{figure}[h]
\centering
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C_1$}\taput{\small $\red 0,67$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C_2 ~~~~ \red p(C_1 \cap C_2) = 0,4489$}\taput{\small $\ldots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C_2}~~~~\ldots $}\tbput{\small $\ldots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{C_1}$}\tbput{\small $\ldots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C_2~~~~\ldots $}\taput{\small $~~~~\ldots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C_2}~~~~~~~~\ldots$}\tbput{\small $0,33$}
}
}
\caption{Arbre pondéré}
\end{figure}
\label{a14_a1_ex2_tab2}


\newpage

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}
\end{center}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=15cm,comma=true} 
\begin{pspicture}(-2,-0.05)(51,1.05)
\rput(25,1.02){\textbf{\large Annexe}}
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