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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P.{}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Contrôle industriel et régulation automatique\\Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire}}
\rfoot{\small{9 mai 2017\\V. X. Jumel}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur\\[5pt] 9 mai 2017 - groupement A1 - CIRA}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

Les 4 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans cet exercice on s'intéresse à l'évolution, en fonction du temps, de la vitesse de
rotation d'un moteur à courant continu.

\bigskip

\textbf{Partie A: Étude de la vitesse de rotation du moteur lors de son démarrage}

\medskip

Dans un premier temps, le moteur à courant continu utilisé n'est soumis à aucune charge
mécanique. La vitesse de rotation de ce moteur, exprimée en tour par seconde (tour/s), est
notée $\omega$. Elle dépend du temps $t$ , exprimé en seconde (s), écoulé depuis le démarrage du
moteur.

La courbe ci-dessous représente l'évolution de cette vitesse en fonction du temps.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(5.1,19)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(5.1,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(5,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(5,18)
\uput[r](0,18.5){vitesse en  tours par seconde}
\uput[u](4.25,0){temps en secondes}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{15 30 x mul 15 add 2.71828 2 x mul exp div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes à l'aide de la représentation graphique ci-dessus.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la vitesse de rotation du moteur à l'instant $t = 0$ ?
		\item Quelle est la vitesse de rotation du moteur une seconde après le démarrage ?
		\item Vers quelle valeur $\omega_{\text{S}}$ semble se stabiliser la vitesse de rotation du moteur ?
		\item Avec la précision permise par le graphique, déterminer au bout de combien de temps on
atteint 95\,\% de la vitesse stabilisée. Expliquer.
	\end{enumerate}
\item On admet que, dans les conditions de fonctionnement étudiées dans la partie A, la
vitesse de rotation du moteur est modélisée par la fonction $\omega$ définie pour $t \geqslant 0$ par :

\[\omega(t) = 15 - (30 t + 15)\text{e}^{-2t}\]

	\begin{enumerate}
		\item On note $\omega'$ la fonction dérivée de $\omega$. Justifier que pour $t \geqslant 0 $:\: $\omega'(t) = 60 t \text{e}^{- 2t}$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $\omega$ sur $[0~;~ +\infty[$.
		\item Calculer $\omega'(0)$. Donner une interprétation graphique du résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Le formulaire ci-dessous peut être utilisé pour les parties B et C de l'exercice}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|X|}\hline
\textbf{Équation différentielle sans second membre}& \textbf{Solutions sur $\R$}\\ \hline
$a y''+ by' + cy = 0$ avec $a$, $b$ et $c$ des constantes réelles.&$\bullet~~$ Si $\Delta > 0$ :\: $t \longmapsto A \text{e}^{r_1 t}  + B \text{e}^{r_2 t}$, avec $A,\: B$ constantes réelles et $r_1$,\: $r_2$ les solutions de l'équation caractéristique.\\
Équation caractéristique : $ar^2 +br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.&$\bullet~~$
Si $\Delta = 0$ :\: $t \longmapsto (At + B)\text{e}^{rt}$, avec $A$,\:$B$
 constantes réelles et $r$ la solution de l'équation caractéristique.\\
&$\bullet~~$Si $\Delta < 0$ : $t \longmapsto \text{e}^{\alpha t} [A \cos (\beta t) + B \sin(\beta t)$,
avec $A$,\: $B$ constantes réelles et $\alpha + \text{i} \beta$ et $\alpha - \text{i}\beta$ les
solutions de l'équation caractéristique.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie B : Résolution d'une équation différentielle permettant d'obtenir la vitesse de
rotation}

\medskip

Sous certaines conditions de charge, la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu
soumis à une tension constante $U$, exprimée en Volt (V), est solution de l'équation
différentielle 

\[(E) :\quad  \dfrac{1}{4}y'' + y' + y = \dfrac{U}{k},\:\text{où $k$ est une valeur caractéristique du moteur.}\]

\begin{enumerate}
\item On note $\left(E_0\right)$ l'équation homogène associée à $(E)$. On a donc :

\[\left(E_0\right) :\quad  \dfrac{1}{4}y'' + y' + y  = 0.\]

Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$.
\item Vérifier que la fonction constante $g$: \:  $t \longmapsto \dfrac{U}{k}$  est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle de $(E)$.
\item En prenant $k = \dfrac{2}{3}$ et $U = 10$~V montrer que la fonction $\omega$ donnée dans la question A. 2. est la solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Détermination de la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu à
partir des principes de la physique}

D'une manière plus générale on démontre que la vitesse de rotation du moteur alimenté par
une tension continue $U$ vérifie l'équation différentielle 

\[\left(E_1 \right) :\quad  \alpha^2 y'' + 2m\alpha y' + y = \dfrac{U}{k},\]

où $\alpha$, $m$ et $k$ sont des paramètres strictement positifs dépendant des caractéristiques
physiques du moteur étudié (résistance, inductance, moment d'inertie).

\smallskip

Dans cette partie on prend : $U = 10$ V ; $\alpha = 0,3$ ;\: $m = 0,6$ et $k = \dfrac{2}{3}$.

L'équation différentielle $\left(E_1 \right)$ s'écrit donc : 

\[0,09 y'' + 0,36 y' + y = 15.\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $0,09 z^2 + 0,36 z + 1 = 0$.
\item Parmi les quatre fonctions proposées ci-dessous, une seule est solution de l'équation
différentielle $\left(E_1 \right)$ et vérifie les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$.

Quelle est cette fonction ? Justifier la réponse.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{l X}
\textbf{Fonction 1} :& $t \longmapsto 15\left[1- \text{e}^{ - \frac{8}{3}t}\left(\cos (2t)+ \frac{3}{4}\sin(2t)\right)\right]$\\
\textbf{Fonction 2} :& $t \longmapsto 15\left[1- \text{e}^{-2t}\left(\cos \left(\frac{8}{3}t\right)+ \frac{3}{4} \sin \left(\frac{8}{3}t\right)\right)\right]$\\
\textbf{Fonction 3} :& $t \longmapsto 15\text{e}^{\frac{2}{3}t} - 15\text{e}^{-\frac{14}{3}t}$\\
\textbf{Fonction 4} :& $t \longmapsto 15 - \text{e}^{-2t}\left[\cos \left(\frac{8}{3}t\right) + \frac{3}{4}\sin \left( \frac{8}{3}t\right)  \right]$
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\item La solution de l'équation différentielle $\left(E_1 \right)$ qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$ modélise l'évolution de la vitesse du moteur en fonction du temps dans les conditions étudiées dans la partie C. Elle est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(5.1,18)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(5.1,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(5,18)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(5,18)
\uput[r](0,17.5){vitesse en  tours par seconde}
\uput[u](4.25,0){temps en secondes}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{15 1 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x mul exp div  sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}

D'après cette modélisation, quelle est la vitesse maximale du moteur ?

À quel moment, environ, est-elle atteinte ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : Comportement d'un moteur soumis à différents sauts de tension}

\medskip

Une boucle de régulation de vitesse permet à présent de faire fonctionner le moteur à
différentes vitesses. La tension d'entrée vaut successivement 10~V, 30~V puis 20~V. La
vitesse de rotation du moteur est alors analysée et illustrée par le graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(13,55)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(13,55)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,55)}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(13,55)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(13,55)
\uput[r](0,53){vitesse en  tours par seconde}
\uput[u](11.5,0){temps en secondes}           
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{15 1 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x mul exp div  sub mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{7}{30 1 8 x 3 sub mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x 3 sub mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x 3 sub mul exp div  sub mul 15 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7}{13}{45 15 1 2.71828 x 7 sub 2 mul neg exp 8 3 div x 7 sub mul 180 mul 3.14159 div cos x 7 sub 8 mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 0.75 mul   add mul sub mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide du graphique les trois instants où les tensions ont été modifiées. On
ne demande pas de justification.
\item Représenter sur le document réponse (page 9) la tension d'entrée $e$, exprimée en Volt,
appliquée aux bornes du moteur en fonction du temps $t$, exprimé en seconde.
\item On désigne par $\mathcal{U}$ la fonction causale unité. On rappelle que:

\[\mathcal{U}(t) = 0\:\:  \text{ si }\:t < 0 \:\:\text{ et } \mathcal{U}(t) = 1\: \text{ sinon}.\]

Pour exprimer la tension d'entrée $e(t)$ appliquée aux bornes du moteur à l'instant $t$ un
étudiant propose l'expression $e(t) = 10 \mathcal{U}(t) + 30 \mathcal{U}(t - 3) - 20 \mathcal{U}(t - 7)$ et remplit le tableau donné sur le document réponse.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter, sur le document réponse, le tableau rempli par l'étudiant.
		\item Une fois qu'il a terminé de remplir le tableau, l'étudiant se rend compte qu'il a donné une expression inexacte de $e(t)$. Expliquer pourquoi.
		\item Donner l'expression exacte de $e(t)$. On n'attend pas de justification.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les deux parties suivantes sont indépendantes. Elles peuvent être traitées dans n'importe quel ordre}
\end{center}

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$, paire, périodique de période $\pi$, vérifiant :

\[f(t) = t \sin(t)\quad  \text{pour }\: t \in  \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].\]

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre courbes suivantes quelle est celle qui représente la fonction $f$ ? On
n'attend pas de justification.
    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}[scale = 0.5,>=latex]
        \begin{scope}[xshift=-7cm]
          \node at (-4,2.6) [anchor = south west ] {Courbe 1} ;
          \draw [->,thick] (-4,0) -- (6.5,0) ;
          \draw [->,thick] (0,-2.5) -- (0,2.5) ;

          \draw [thin,gray] (-4,-2.5) grid [xstep = 1.57] (6.5,2.5) ;

          \draw [blue,thick,smooth,samples=750] plot [domain=-4:6.5] (\x,
            {2*cos(2*\x r)} ) ;
          \foreach \i/\j in {-2/-\pi, -1/\frac{-\pi}2, 1/\frac{\pi}{2},
            2/\pi, 3/\frac{3\pi}2 } {
            \scriptsize
            \draw (\i*1.57,0.25) -- +(0,-0.5) node [below] { $ \j $ } ;
            \normalsize
          } ;
        \end{scope}
        \begin{scope}[xshift=7cm]
          \node at (-3.14,3.2) [anchor = south west ] {Courbe 2} ;
          \draw [->,thick] (-3.14,0) -- (6.5,0) ;
          \draw [->,thick] (0,-1.7) -- (0,3.2) ;

          \draw [thin,gray] (-3.14,-1.7) grid [xstep = 1.57] (6.5,3.2) ;
          \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x,
            {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ;
          \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x+3.14,
            {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ;
          \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x-3.14,
            {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ;
          \foreach \i/\j in {-1/\frac{-\pi}2, 1/\frac{\pi}{2},
            2/\pi, 3/\frac{3\pi}2 } {
            \scriptsize
            \draw (\i*1.57,0.25) -- +(0,-0.5) node [below] { $ \j $ } ;
            \normalsize
          } ;
         \end{scope}
        \begin{scope}[xshift=-7cm,yshift=-7cm,scale=1.2]
          \node at (-3.14,2.5) [anchor = south west ] {Courbe 3} ;
          \draw [->,thick] (-3.14,0) -- (6.5,0) ;
          \draw [->,thick] (0,-2.5) -- (0,2.5) ;

           \draw [thin,gray] (-4,-2.5) grid [xstep = 1.57] (6.5,2.5) ;

           \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x,
             {\x*sin(\x r) } ) ;
           \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x-3.14,
             {\x*sin(\x r) } ) ;
           \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x+3.14,
             {\x*sin(\x r) } ) ;
           \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x,
             {\x*sin(\x r) } ) ;
           \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x+6.28,
             {\x*sin(\x r) } ) ;
           \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x+3.14,
             {\x*sin(\x r) } ) ;
          \foreach \i/\j in {-2/-\pi, -1/\frac{-\pi}2, 1/\frac{\pi}{2},
            2/\pi, 3/\frac{3\pi}2 } {
            \scriptsize
            \draw (\i*1.57,0.25) -- +(0,-0.5) node [below] { $ \j $ } ;
            \normalsize
          } ;
          \end{scope}
        \begin{scope}[xshift=7cm,yshift=-7cm]
          \node at (-5,4.2) [anchor = south west ] {Courbe 4} ;
          \draw [->,thick] (-5,0) -- (5,0) ;
          \draw [->,thick] (0,-2.9) -- (0,4.1) ;

          \draw [thin,gray] (-5,-2.5) grid [xstep = 1.57] (5,4.1) ;

          \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:5] (\x, {
            \x*sin(2*\x r) } ) ;
          \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:5] (-\x, {
            \x*sin(2*\x r) } ) ;
          \foreach \i/\j in {-2/-\pi, -1/\frac{-\pi}2, 1/\frac{\pi}{2},
            2/\pi, 3/\frac{3\pi}2 } {
            \scriptsize
            \draw (\i*1.57,0.25) -- +(0,-0.5) node [below] { $ \j $ } ;
            \normalsize
          } ;
         \end{scope}
      \end{tikzpicture}
    \end{center}
%%%%%%%%%%% début PSTRicks
%\begin{tabularx}{\linewidth}{ *{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%
%\psset{trigLabels}
%\begin{pspicture}(-1.25,-2.5)(2.2,2.5)
%\psaxes[xunit=1.57cm,linewidth=1.25pt,trigLabelBase=2,xunit=\psPi]{->}(0,0)(-1.25,-2.5)(2.2,2.5)
%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-1.25}{2.2}{x RadtoDeg 2 mul  cos 2 mul}
%%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=3000]{-3.3}{6.5}{x dup mul 0.005 mul  RadtoDeg x RadtoDeg  sin   mul}
%\end{pspicture}& \\
%Courbe 1  &Courbe 2\\
% & \\
%Courbe 3  &Courbe 4\\ 
%\end{tabularx}
     
     
%    \end{center}
\item On admet que la fonction $f$ est développable en série de Fourier.

On note $S$ son développement en série de Fourier.

On rappelle que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$S(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n \omega t)\right)$, avec $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$,\: $T$ période de $f$ ;\\
$a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_a^{a + T}  f(t)\:\text{d}t$. Pour $n \geqslant 1$   : $a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_a^{a + T}  f(t)\cos (n \omega t)\:\text{d}t$ et $b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_a^{a + T}  f(t)\sin (n \omega t)\:\text{d}t$\\
avec $a$ constante réelle quelconque.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

    \begin{enumerate}
      \item Justifier que $b_n = 0$ pour tout $n$ entier naturel supérieur
        ou égal à 1.
      \item Montrer que la fonction $g$ définie pour tout réel $t$ par
        $g(t) = -t\cos(t) + \sin(t)$ est une primitive de la fonction
        définie sur $\R$ par $t\mapsto t\sin t$.
      \item La fonction étant paire et de période $\pi$, $a_0$ vérifie
        $a_0 = \frac2{\pi} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2} f(t) \mathrm{d}t$.

        Vérifier que $a_0 = \frac2{\pi}$. Écrire les étapes du calcul
        effectué.
    \end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : $a_n =
    \frac2{\pi}(-1)^n \left( \frac1{(2n+1)^2} + \frac1{(2n-1)^2}\right)$

Donner les valeurs de $a_1$ et $a_2$ arrondies au millième.
\item On note $f_e$ le nombre positif vérifiant $f_e^2 = \dfrac1{\pi}
    \displaystyle\int_0^{\pi} f^2(t) \mathrm{d}t$.

On admet que l'expression $a_0^2 + \frac12\displaystyle\sum_{n=1}^2(a_n^2 + b_n^2)$, obtenue d'après la formule de Parseval, permet d'obtenir la valeur approchée de $f_e^2$ au millième.
    \begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur approchée de $f_e^2$ au millième.
		\item Si $f$ modélise un signal de période $\pi$, que représente
        $f_e$ ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : Étude de quelques propriétés d'un filtre numérique}

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le signal causal d'entrée d'un filtre numérique, noté $e(n)$, est l'échelon unité discret.


On a donc : $e(n) = \left\{\begin{array}{l c l}
0&\text{si }&n < 0\\
1&\text{si }&n \geqslant 0
\end{array}\right.$
\item[$\bullet~~$] Le signal causal de sortie de ce filtre numérique est noté $x(n)$ et vérifie, pour tout entier relatif $n$ : $x(n) - x(n - 2) = 0,04 e(n - 1).\quad (*)$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $x(0) = 0$.
		\item Calculer $x(1)$, $x(2)$, $x(3)$, $x(4)$ et $x(5)$. Détailler au moins un des calculs sur la copie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
			
\textbf{Dans les questions 2 et 3}, on note E$(z)$ et $X(z)$ les transformées en $Z$ respectives des
signaux causaux $e(n)$ et $x(n)$.

On donne les formules suivantes :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Signal causal}	&\textbf{Transformée en $Z$}\\ \hline
$n \to 1$				&$\dfrac{z}{z - 1}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
$n \to d(n)$			&\\
où $d(0) = 1$ et $d(n) = 0$ sinon.& 1\\ \hline
$n \to n$				&$\dfrac{z}{(z - 1)^2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
$n \to  a^n$ avec 
$a$ réel non nul.		&$\dfrac{z}{(z - a)}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Propriétés}}\\ \hline
$n \to x(n)$			& $X(z)$\\ \hline
$y :  n \to a^n x(n)$ avec $a$ réel non nul& $Y(z) = X\left(\frac{z}{a}\right)$\\ \hline
$y : n \to x\left(n - n_0\right)$ pour $n\geqslant n_0$& $Y(z) = z^{-n_0} X(z)$\\ \hline
$y : n \to  x(n + 1)$	& $Y(z) = z[X(z) - x(0)]$\\ \hline
$y : n \to x(n + 2)$	& $Y(z) = z^2\left[X(z) - x(0) - x(1)z^{-1}\right]$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'expression de E$(z)$ ?
		\item Exprimer en fonction de $z$ la transformée en $Z$ de $0,04 e(n-1)$.
		\item Exprimer en fonction de $z$ et de $X(z)$ la transformée en $Z$ de $x(n) - x(n-2)$.
		\item Déduire de l'égalité (*) que : $X(z) = \dfrac{0,04z^2}{(z - 1)^2 (z+1)}$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $X(z)$ peut s'écrire : $X(z) = \dfrac{0,02 z}{(z - 1)^2}+ \dfrac{0,01z}{z - 1} - \dfrac{0,01z}{z + 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $x(n) = 0,02n + 0,01\left(1- (- 1)^n\right)$.
		\item On rappelle que : $(- 1)^{2n+2} = 1$ et $(- 1)^{2n+1} = - 1$.
		
Montrer que $x(2n + 1) = x(2n + 2)$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Représenter dans un repère à tracer sur la copie les termes du signal causal $x(n)$ pour $n$ compris entre $-2$ et $6$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
  \bfseries
  DOCUMENT RÉPONSE à rendre avec la copie
\end{center}

\textbf{EXERCICE 1 - PARTIE D - Question 2 :}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.14,>=latex]
\draw [thick,->] (0,0) -- (15.1,0) ;
\draw [thick,->] (0,0) -- (0,47) ;
\draw [gray] (0,0) grid [xstep=1, ystep = 5] (15.1,47) ;

\foreach \i in {5,10,...,45} { \node at (0,\i) [ left] { \small \i} ; } ;
\foreach \i in {1,...,15} { \node at (\i,0) [ below ] {\small
  \np{\i}} ; } ;

\node at (0,47) [anchor = west ] {tension en Volt} ;
\node at (15,0) [anchor = south east ] {temps en secondes } ;

\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 1 - PARTIE D - Question 3. a. :}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\psframe(8,5)\psline(0,1)(8,1)
\psline(0,2)(8,2)
\psline(0,3)(8,3)
\psline(0,4)(8,4)
\psline(2,0)(2,5)
\psline(3.5,0)(3.5,4)
\psline(5,0)(5,4)
\psline(6.5,0)(6.5,4)
\uput[u](1,4){$t$}\uput[u](2.4,4){$- \infty$}\uput[u](3.5,4){$0$}
\uput[u](5,4){$3$}\uput[u](6.5,4){$7$}\uput[u](7.5,4){$+ \infty$}
\rput(1,3.5){$10 \mathcal{U}(t)$}
\rput(1,2.5){$30 \mathcal{U}(t-3)$}
\rput(1,1.5){$-20 \mathcal{U}(t-7)$}
\rput(1,0.5){$e(t)$ }
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}