\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,mathrsfs} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphicx} %\usepackage{xcolor} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pgf} \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-euclide} \usetkzobj{all} \usetikzlibrary{hobby} \usepackage{tkz-tab} %\usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-bezier,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %echelon unité \newcommand{\U}{\mathscr{U}} \usepackage{pst-bezier,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4cm, bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement A1 - CIRA}, pdftitle = {Métropole - 9 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} %signe inferieur ou egal francais \renewcommand{\leq}{\leqslant} %signe superieur ou egal francais \renewcommand{\geq}{\geqslant} %\frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P.{}}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Contrôle industriel et régulation automatique\\Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire}} \rfoot{\small{9 mai 2017\\V. X. Jumel}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur\\[5pt] 9 mai 2017 - groupement A1 - CIRA}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip Les 4 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans cet exercice on s'intéresse à l'évolution, en fonction du temps, de la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu. \bigskip \textbf{Partie A: Étude de la vitesse de rotation du moteur lors de son démarrage} \medskip Dans un premier temps, le moteur à courant continu utilisé n'est soumis à aucune charge mécanique. La vitesse de rotation de ce moteur, exprimée en tour par seconde (tour/s), est notée $\omega$. Elle dépend du temps $t$ , exprimé en seconde (s), écoulé depuis le démarrage du moteur. La courbe ci-dessous représente l'évolution de cette vitesse en fonction du temps. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-3)(5.1,19) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(5.1,18) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(5,18) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(5,18) \uput[r](0,18.5){vitesse en tours par seconde} \uput[u](4.25,0){temps en secondes} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{15 30 x mul 15 add 2.71828 2 x mul exp div sub} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Répondre aux questions suivantes à l'aide de la représentation graphique ci-dessus. \begin{enumerate} \item Quelle est la vitesse de rotation du moteur à l'instant $t = 0$ ? \item Quelle est la vitesse de rotation du moteur une seconde après le démarrage ? \item Vers quelle valeur $\omega_{\text{S}}$ semble se stabiliser la vitesse de rotation du moteur ? \item Avec la précision permise par le graphique, déterminer au bout de combien de temps on atteint 95\,\% de la vitesse stabilisée. Expliquer. \end{enumerate} \item On admet que, dans les conditions de fonctionnement étudiées dans la partie A, la vitesse de rotation du moteur est modélisée par la fonction $\omega$ définie pour $t \geqslant 0$ par : \[\omega(t) = 15 - (30 t + 15)\text{e}^{-2t}\] \begin{enumerate} \item On note $\omega'$ la fonction dérivée de $\omega$. Justifier que pour $t \geqslant 0 $:\: $\omega'(t) = 60 t \text{e}^{- 2t}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $\omega$ sur $[0~;~ +\infty[$. \item Calculer $\omega'(0)$. Donner une interprétation graphique du résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Le formulaire ci-dessous peut être utilisé pour les parties B et C de l'exercice} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|X|}\hline \textbf{Équation différentielle sans second membre}& \textbf{Solutions sur $\R$}\\ \hline $a y''+ by' + cy = 0$ avec $a$, $b$ et $c$ des constantes réelles.&$\bullet~~$ Si $\Delta > 0$ :\: $t \longmapsto A \text{e}^{r_1 t} + B \text{e}^{r_2 t}$, avec $A,\: B$ constantes réelles et $r_1$,\: $r_2$ les solutions de l'équation caractéristique.\\ Équation caractéristique : $ar^2 +br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.&$\bullet~~$ Si $\Delta = 0$ :\: $t \longmapsto (At + B)\text{e}^{rt}$, avec $A$,\:$B$ constantes réelles et $r$ la solution de l'équation caractéristique.\\ &$\bullet~~$Si $\Delta < 0$ : $t \longmapsto \text{e}^{\alpha t} [A \cos (\beta t) + B \sin(\beta t)$, avec $A$,\: $B$ constantes réelles et $\alpha + \text{i} \beta$ et $\alpha - \text{i}\beta$ les solutions de l'équation caractéristique.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie B : Résolution d'une équation différentielle permettant d'obtenir la vitesse de rotation} \medskip Sous certaines conditions de charge, la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu soumis à une tension constante $U$, exprimée en Volt (V), est solution de l'équation différentielle \[(E) :\quad \dfrac{1}{4}y'' + y' + y = \dfrac{U}{k},\:\text{où $k$ est une valeur caractéristique du moteur.}\] \begin{enumerate} \item On note $\left(E_0\right)$ l'équation homogène associée à $(E)$. On a donc : \[\left(E_0\right) :\quad \dfrac{1}{4}y'' + y' + y = 0.\] Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$. \item Vérifier que la fonction constante $g$: \: $t \longmapsto \dfrac{U}{k}$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire les solutions de l'équation différentielle de $(E)$. \item En prenant $k = \dfrac{2}{3}$ et $U = 10$~V montrer que la fonction $\omega$ donnée dans la question A. 2. est la solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Détermination de la vitesse de rotation d'un moteur à courant continu à partir des principes de la physique} D'une manière plus générale on démontre que la vitesse de rotation du moteur alimenté par une tension continue $U$ vérifie l'équation différentielle \[\left(E_1 \right) :\quad \alpha^2 y'' + 2m\alpha y' + y = \dfrac{U}{k},\] où $\alpha$, $m$ et $k$ sont des paramètres strictement positifs dépendant des caractéristiques physiques du moteur étudié (résistance, inductance, moment d'inertie). \smallskip Dans cette partie on prend : $U = 10$ V ; $\alpha = 0,3$ ;\: $m = 0,6$ et $k = \dfrac{2}{3}$. L'équation différentielle $\left(E_1 \right)$ s'écrit donc : \[0,09 y'' + 0,36 y' + y = 15.\] \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\C$ l'équation : $0,09 z^2 + 0,36 z + 1 = 0$. \item Parmi les quatre fonctions proposées ci-dessous, une seule est solution de l'équation différentielle $\left(E_1 \right)$ et vérifie les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$. Quelle est cette fonction ? Justifier la réponse. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{l X} \textbf{Fonction 1} :& $t \longmapsto 15\left[1- \text{e}^{ - \frac{8}{3}t}\left(\cos (2t)+ \frac{3}{4}\sin(2t)\right)\right]$\\ \textbf{Fonction 2} :& $t \longmapsto 15\left[1- \text{e}^{-2t}\left(\cos \left(\frac{8}{3}t\right)+ \frac{3}{4} \sin \left(\frac{8}{3}t\right)\right)\right]$\\ \textbf{Fonction 3} :& $t \longmapsto 15\text{e}^{\frac{2}{3}t} - 15\text{e}^{-\frac{14}{3}t}$\\ \textbf{Fonction 4} :& $t \longmapsto 15 - \text{e}^{-2t}\left[\cos \left(\frac{8}{3}t\right) + \frac{3}{4}\sin \left( \frac{8}{3}t\right) \right]$ \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \end{center} \item La solution de l'équation différentielle $\left(E_1 \right)$ qui vérifie les conditions initiales $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$ modélise l'évolution de la vitesse du moteur en fonction du temps dans les conditions étudiées dans la partie C. Elle est représentée ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-3)(5.1,18) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,0)(5.1,18) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(5,18) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(5,18) \uput[r](0,17.5){vitesse en tours par seconde} \uput[u](4.25,0){temps en secondes} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{15 1 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x mul exp div sub mul} \end{pspicture} \end{center} D'après cette modélisation, quelle est la vitesse maximale du moteur ? À quel moment, environ, est-elle atteinte ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D : Comportement d'un moteur soumis à différents sauts de tension} \medskip Une boucle de régulation de vitesse permet à présent de faire fonctionner le moteur à différentes vitesses. La tension d'entrée vaut successivement 10~V, 30~V puis 20~V. La vitesse de rotation du moteur est alors analysée et illustrée par le graphique ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.25cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-3)(13,55) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(13,55) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,55)} \multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(13,55) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(13,55) \uput[r](0,53){vitesse en tours par seconde} \uput[u](11.5,0){temps en secondes} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{15 1 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x mul exp div sub mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{7}{30 1 8 x 3 sub mul 3 div 180 mul 3.14159 div cos 8 x 3 sub mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 3 mul 4 div add 2.71828 2 x 3 sub mul exp div sub mul 15 add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7}{13}{45 15 1 2.71828 x 7 sub 2 mul neg exp 8 3 div x 7 sub mul 180 mul 3.14159 div cos x 7 sub 8 mul 3 div 180 mul 3.14159 div sin 0.75 mul add mul sub mul sub} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide du graphique les trois instants où les tensions ont été modifiées. On ne demande pas de justification. \item Représenter sur le document réponse (page 9) la tension d'entrée $e$, exprimée en Volt, appliquée aux bornes du moteur en fonction du temps $t$, exprimé en seconde. \item On désigne par $\mathcal{U}$ la fonction causale unité. On rappelle que: \[\mathcal{U}(t) = 0\:\: \text{ si }\:t < 0 \:\:\text{ et } \mathcal{U}(t) = 1\: \text{ sinon}.\] Pour exprimer la tension d'entrée $e(t)$ appliquée aux bornes du moteur à l'instant $t$ un étudiant propose l'expression $e(t) = 10 \mathcal{U}(t) + 30 \mathcal{U}(t - 3) - 20 \mathcal{U}(t - 7)$ et remplit le tableau donné sur le document réponse. \begin{enumerate} \item Compléter, sur le document réponse, le tableau rempli par l'étudiant. \item Une fois qu'il a terminé de remplir le tableau, l'étudiant se rend compte qu'il a donné une expression inexacte de $e(t)$. Expliquer pourquoi. \item Donner l'expression exacte de $e(t)$. On n'attend pas de justification. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les deux parties suivantes sont indépendantes. Elles peuvent être traitées dans n'importe quel ordre} \end{center} \medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$, paire, périodique de période $\pi$, vérifiant : \[f(t) = t \sin(t)\quad \text{pour }\: t \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right].\] \begin{enumerate} \item Parmi les quatre courbes suivantes quelle est celle qui représente la fonction $f$ ? On n'attend pas de justification. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale = 0.5,>=latex] \begin{scope}[xshift=-7cm] \node at (-4,2.6) [anchor = south west ] {Courbe 1} ; \draw [->,thick] (-4,0) -- (6.5,0) ; \draw [->,thick] (0,-2.5) -- (0,2.5) ; \draw [thin,gray] (-4,-2.5) grid [xstep = 1.57] (6.5,2.5) ; \draw [blue,thick,smooth,samples=750] plot [domain=-4:6.5] (\x, {2*cos(2*\x r)} ) ; \foreach \i/\j in {-2/-\pi, -1/\frac{-\pi}2, 1/\frac{\pi}{2}, 2/\pi, 3/\frac{3\pi}2 } { \scriptsize \draw (\i*1.57,0.25) -- +(0,-0.5) node [below] { $ \j $ } ; \normalsize } ; \end{scope} \begin{scope}[xshift=7cm] \node at (-3.14,3.2) [anchor = south west ] {Courbe 2} ; \draw [->,thick] (-3.14,0) -- (6.5,0) ; \draw [->,thick] (0,-1.7) -- (0,3.2) ; \draw [thin,gray] (-3.14,-1.7) grid [xstep = 1.57] (6.5,3.2) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x, {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x+3.14, {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:3.14] (\x-3.14, {\x*\x*sin(\x r)/2.2 } ) ; \foreach \i/\j in {-1/\frac{-\pi}2, 1/\frac{\pi}{2}, 2/\pi, 3/\frac{3\pi}2 } { \scriptsize \draw (\i*1.57,0.25) -- +(0,-0.5) node [below] { $ \j $ } ; \normalsize } ; \end{scope} \begin{scope}[xshift=-7cm,yshift=-7cm,scale=1.2] \node at (-3.14,2.5) [anchor = south west ] {Courbe 3} ; \draw [->,thick] (-3.14,0) -- (6.5,0) ; \draw [->,thick] (0,-2.5) -- (0,2.5) ; \draw [thin,gray] (-4,-2.5) grid [xstep = 1.57] (6.5,2.5) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x-3.14, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (\x+3.14, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x+6.28, {\x*sin(\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:1.57] (-\x+3.14, {\x*sin(\x r) } ) ; \foreach \i/\j in {-2/-\pi, -1/\frac{-\pi}2, 1/\frac{\pi}{2}, 2/\pi, 3/\frac{3\pi}2 } { \scriptsize \draw (\i*1.57,0.25) -- +(0,-0.5) node [below] { $ \j $ } ; \normalsize } ; \end{scope} \begin{scope}[xshift=7cm,yshift=-7cm] \node at (-5,4.2) [anchor = south west ] {Courbe 4} ; \draw [->,thick] (-5,0) -- (5,0) ; \draw [->,thick] (0,-2.9) -- (0,4.1) ; \draw [thin,gray] (-5,-2.5) grid [xstep = 1.57] (5,4.1) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:5] (\x, { \x*sin(2*\x r) } ) ; \draw [blue,thick,smooth] plot [domain=0:5] (-\x, { \x*sin(2*\x r) } ) ; \foreach \i/\j in {-2/-\pi, -1/\frac{-\pi}2, 1/\frac{\pi}{2}, 2/\pi, 3/\frac{3\pi}2 } { \scriptsize \draw (\i*1.57,0.25) -- +(0,-0.5) node [below] { $ \j $ } ; \normalsize } ; \end{scope} \end{tikzpicture} \end{center} %%%%%%%%%%% début PSTRicks %\begin{tabularx}{\linewidth}{ *{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} % %\psset{trigLabels} %\begin{pspicture}(-1.25,-2.5)(2.2,2.5) %\psaxes[xunit=1.57cm,linewidth=1.25pt,trigLabelBase=2,xunit=\psPi]{->}(0,0)(-1.25,-2.5)(2.2,2.5) %\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{-1.25}{2.2}{x RadtoDeg 2 mul cos 2 mul} %%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=3000]{-3.3}{6.5}{x dup mul 0.005 mul RadtoDeg x RadtoDeg sin mul} %\end{pspicture}& \\ %Courbe 1 &Courbe 2\\ % & \\ %Courbe 3 &Courbe 4\\ %\end{tabularx} % \end{center} \item On admet que la fonction $f$ est développable en série de Fourier. On note $S$ son développement en série de Fourier. On rappelle que : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline $S(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n \omega t)\right)$, avec $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$,\: $T$ période de $f$ ;\\ $a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_a^{a + T} f(t)\:\text{d}t$. Pour $n \geqslant 1$ : $a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_a^{a + T} f(t)\cos (n \omega t)\:\text{d}t$ et $b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_a^{a + T} f(t)\sin (n \omega t)\:\text{d}t$\\ avec $a$ constante réelle quelconque.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que $b_n = 0$ pour tout $n$ entier naturel supérieur ou égal à 1. \item Montrer que la fonction $g$ définie pour tout réel $t$ par $g(t) = -t\cos(t) + \sin(t)$ est une primitive de la fonction définie sur $\R$ par $t\mapsto t\sin t$. \item La fonction étant paire et de période $\pi$, $a_0$ vérifie $a_0 = \frac2{\pi} \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2} f(t) \mathrm{d}t$. Vérifier que $a_0 = \frac2{\pi}$. Écrire les étapes du calcul effectué. \end{enumerate} \item On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : $a_n = \frac2{\pi}(-1)^n \left( \frac1{(2n+1)^2} + \frac1{(2n-1)^2}\right)$ Donner les valeurs de $a_1$ et $a_2$ arrondies au millième. \item On note $f_e$ le nombre positif vérifiant $f_e^2 = \dfrac1{\pi} \displaystyle\int_0^{\pi} f^2(t) \mathrm{d}t$. On admet que l'expression $a_0^2 + \frac12\displaystyle\sum_{n=1}^2(a_n^2 + b_n^2)$, obtenue d'après la formule de Parseval, permet d'obtenir la valeur approchée de $f_e^2$ au millième. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur approchée de $f_e^2$ au millième. \item Si $f$ modélise un signal de période $\pi$, que représente $f_e$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B : Étude de quelques propriétés d'un filtre numérique} \medskip \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Le signal causal d'entrée d'un filtre numérique, noté $e(n)$, est l'échelon unité discret. On a donc : $e(n) = \left\{\begin{array}{l c l} 0&\text{si }&n < 0\\ 1&\text{si }&n \geqslant 0 \end{array}\right.$ \item[$\bullet~~$] Le signal causal de sortie de ce filtre numérique est noté $x(n)$ et vérifie, pour tout entier relatif $n$ : $x(n) - x(n - 2) = 0,04 e(n - 1).\quad (*)$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $x(0) = 0$. \item Calculer $x(1)$, $x(2)$, $x(3)$, $x(4)$ et $x(5)$. Détailler au moins un des calculs sur la copie. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Dans les questions 2 et 3}, on note E$(z)$ et $X(z)$ les transformées en $Z$ respectives des signaux causaux $e(n)$ et $x(n)$. On donne les formules suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Signal causal} &\textbf{Transformée en $Z$}\\ \hline $n \to 1$ &$\dfrac{z}{z - 1}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline $n \to d(n)$ &\\ où $d(0) = 1$ et $d(n) = 0$ sinon.& 1\\ \hline $n \to n$ &$\dfrac{z}{(z - 1)^2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline $n \to a^n$ avec $a$ réel non nul. &$\dfrac{z}{(z - a)}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Propriétés}}\\ \hline $n \to x(n)$ & $X(z)$\\ \hline $y : n \to a^n x(n)$ avec $a$ réel non nul& $Y(z) = X\left(\frac{z}{a}\right)$\\ \hline $y : n \to x\left(n - n_0\right)$ pour $n\geqslant n_0$& $Y(z) = z^{-n_0} X(z)$\\ \hline $y : n \to x(n + 1)$ & $Y(z) = z[X(z) - x(0)]$\\ \hline $y : n \to x(n + 2)$ & $Y(z) = z^2\left[X(z) - x(0) - x(1)z^{-1}\right]$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Quelle est l'expression de E$(z)$ ? \item Exprimer en fonction de $z$ la transformée en $Z$ de $0,04 e(n-1)$. \item Exprimer en fonction de $z$ et de $X(z)$ la transformée en $Z$ de $x(n) - x(n-2)$. \item Déduire de l'égalité (*) que : $X(z) = \dfrac{0,04z^2}{(z - 1)^2 (z+1)}$. \end{enumerate} \item On admet que $X(z)$ peut s'écrire : $X(z) = \dfrac{0,02 z}{(z - 1)^2}+ \dfrac{0,01z}{z - 1} - \dfrac{0,01z}{z + 1}$. \begin{enumerate} \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $x(n) = 0,02n + 0,01\left(1- (- 1)^n\right)$. \item On rappelle que : $(- 1)^{2n+2} = 1$ et $(- 1)^{2n+1} = - 1$. Montrer que $x(2n + 1) = x(2n + 2)$ pour tout entier naturel $n$. \item Représenter dans un repère à tracer sur la copie les termes du signal causal $x(n)$ pour $n$ compris entre $-2$ et $6$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \bfseries DOCUMENT RÉPONSE à rendre avec la copie \end{center} \textbf{EXERCICE 1 - PARTIE D - Question 2 :} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.14,>=latex] \draw [thick,->] (0,0) -- (15.1,0) ; \draw [thick,->] (0,0) -- (0,47) ; \draw [gray] (0,0) grid [xstep=1, ystep = 5] (15.1,47) ; \foreach \i in {5,10,...,45} { \node at (0,\i) [ left] { \small \i} ; } ; \foreach \i in {1,...,15} { \node at (\i,0) [ below ] {\small \np{\i}} ; } ; \node at (0,47) [anchor = west ] {tension en Volt} ; \node at (15,0) [anchor = south east ] {temps en secondes } ; \end{tikzpicture} \end{center} \vspace{2cm} \textbf{EXERCICE 1 - PARTIE D - Question 3. a. :} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,5) \psframe(8,5)\psline(0,1)(8,1) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,4)(8,4) \psline(2,0)(2,5) \psline(3.5,0)(3.5,4) \psline(5,0)(5,4) \psline(6.5,0)(6.5,4) \uput[u](1,4){$t$}\uput[u](2.4,4){$- \infty$}\uput[u](3.5,4){$0$} \uput[u](5,4){$3$}\uput[u](6.5,4){$7$}\uput[u](7.5,4){$+ \infty$} \rput(1,3.5){$10 \mathcal{U}(t)$} \rput(1,2.5){$30 \mathcal{U}(t-3)$} \rput(1,1.5){$-20 \mathcal{U}(t-7)$} \rput(1,0.5){$e(t)$ } \end{pspicture} \end{center} \end{document}