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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Opticien --lunetier session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise effectue des contrôles pour détecter si un produit satisfait aux normes prévues. Le produit est conditionné en boîtes. Les contrôles montrent que la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit défectueuse est égale à $0,006$.

Soit $n$ un entier naturel. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque lot de $n$ boîtes du produit tirées au hasard et avec remise dans la production associe le nombre de boîtes défectueuses dans ce lot.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale. Donner l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $n$.
\item  Déterminer, en fonction de $n$, la probabilité qu'il n'y ait aucune boîte défectueuse dans le lot.
\item  Dans celle question, on prend $n = 500$.

On admet que l'on peut approcher la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre de la loi de Poisson.
		\item On désigne par $X_{1}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $X$, où $X$ est la valeur obtenue au \textbf{a.}. En utilisant cette loi de Poisson et la table du formulaire calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux boîtes défectueuses dans le lot.
		
Donner le résultat approché arrondi à $10^{-2}$.
		\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n = \np{10000}$.

On admet que l'on peut approcher la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ par une loi normale.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la moyenne et l'écart type de cette loi normale.
		
Donner, pour l'écart type, le résultat approché arrondi à $10^{-2}$.
		\item On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $60$ et d'écart type $7,72$.
		
Calculer à l'aide de la table du formulaire la probabilité $P(49,5 \leqslant  Y \leqslant  70,5)$.
		\item En déduire la probabilité qu'il y ail, au sens large, entre $50$ et $70$ boîtes défectueuses dans le lot de \np{10000} boîtes. Donner le résultat approché arrondi à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'entreprise organise une enquête de satisfaction auprès de ses clients.

Soir $Z$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $n$ fiches, prélevées au hasard et avec remise dans le fichier de la clientèle, associe le pourcentage de clients correspondants satisfaits par le produit.

On admet que $Z$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$  où $p$ est la proportion inconnue de clients satisfaits par le produit dans l'ensemble de la clientèle.

Un sondage auprès d'un échantillon aléatoire de $100$~clients a montré que $85$~d'entre eux étaient satisfaits.
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de $p$.
\item Donner une estimation de $p$ par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance $95$\,\%. Arrondir les bornes à $10^{-2}$.
\item Peut-on affirmer que $p$ est compris dans cet intervalle de confiance ? Pourquoi ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle 

\[y' + y =  -2x \text{e}^{-x}\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~~~ :\quad  y' + y = 0$.
\item  Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -x^2\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de (E). 
\item  Donner l'ensemble des solutions de (E).
\end{enumerate}

\bigskip
   
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $g$ est solution de l'équation différentielle (E) de la partie A.
\item  Soit $h$ la fonction dérivable sur $\R$ représentée par la courbe ci-dessous :

\medskip

\psset{unit=1.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(5,3.5)
\psframe(-2,-0.5)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.5)(5,3.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,0)(5,3)
\uput[d](5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$}
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-1.77}{5}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On admet que la fonction $h$ est une primitive de la fonction $g$ sur $\R$.

En utilisant le graphique précédent donner une valeur approchée de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$. On expliquera la démarche utilisée.
\item  On se propose de calculer la valeur exacte de l'intégrale précédente.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que 
		
\[\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = 1- 2\text{e}^{-1}.\]

		\item	On sait que $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E) de la partie A, c'est-à-dire que, pour tout réel $x$ on a :

\[g(x) =  -g'(x) - 2x \text{e}^{-x}.\]

En déduire que $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x = 4\text{e}^{-1} - 1$, puis la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, de la portion du plan comprise entre la courbe représentative de $g$ (tracée à la question 5 de la partie B), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}