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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Opticien lunetier}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Opticien lunetier session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Dans une grande chaîne de magasins d'optique, on s'intéresse aux stocks de montures de lunettes.

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un des stocks est constitué de montures du modèle M$_{1}$, provenant de deux fabricants, notés \og fabricant 1 \fg{} et \og fabricant 2 \fg.

On admet que 1\,\% des pièces provenant du fabricant 1 sont défectueuses et que 2\,\% des pièces provenant du fabricant 2 sont défectueuses.

Le fabricant 1 a fourni 60\,\% de ce stock et le fabricant 2, le reste.

On prélève au hasard une monture dans le stock. Toutes les montures ont la même probabilité d'être prélevées.

On définit les évènements suivants :
 
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[]  $A$ : \og la monture provient du fabricant 1 \fg{} ; 
\item[]  $B$ : \og la monture provient du fabricant 2 \fg{} ;
\item[]  $D$ : \og la monture est défectueuse \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les probabilités $P(A),~ P(B), P_{A}(D),~ P_{B}(D)$. (On rappelle que 

$P_{A}(D) = P(D/A)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé).
\item En déduire $P(D \cap A)$ et $P(D \cap B)$.
\item Calculer $P(D)$.
\item Déterminer la probabilité qu'une monture provienne du fabricant 1 sachant qu'elle est défectueuse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un autre stock est constitué de montures du modèle M$_{2}$. On note E l'évènement \og une monture prélevée au hasard dans un stock du modèle M$_{2}$ est défectueuse \fg.

On suppose que la probabilité de l'évènement $E$ est $0,02$.

On prélève au hasard 50~montures dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~montures.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50~montures, associe le nombre de montures défectueuses parmi ces 50~montures.

\medskip
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune des 50~montures ne soit défectueuse.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux montures soient défectueuses.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\emph{Dans ce qui suit, on s'intéresse au poids, en grammes) des montures du modèle M}$_{3}$.

Une monture de ce modèle est considérée comme conforme pour le poids si celui-ci est, en grammes, compris entre $99$ et $101$.

On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque monture prélevée au hasard dans un lot très important de montures du modèle M$_{3}$, associe son poids.

On suppose que $L$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart type $0,5$.

Déterminer, à l'aide de la table du formulaire, la probabilité qu'une monture prélevée au hasard dans le lot soit conforme pour le poids.

\medskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on veut contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble des poids des montures du modèle M$_{4}$ constituant une livraison.}

\medskip

On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque monture tirée au hasard dans la livraison, associe son poids, en grammes.

\medskip

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma =0,5$.
On désigne par $\overline{Y}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100~montures de modèle M$_{4}$, prélevé dans la livraison, associe la moyenne des poids de ces montures (la livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).

L'hypothèse nulle est H$_{0} : \mu = 100$. Dans ce cas les montures de modèle M$_{4}$ de la livraison sont conformes. L'hypothèse alternative est H$_{1}~: \mu \neq 100$.

Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, sous l'hypothèse nulle H$_{0},~ Y$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart type $0,05$.
\item Sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, déterminer le nombre réel positif $h$ tel que :

$P(100 - h \leqslant  Y \leqslant 100 + h) = 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item On prélève un échantillon de 100~montures et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des poids est $\overline{y} = 100,032$.

Peut-on, au seuil de signification de $0,05$, conclure que les montures de la livraison sont conformes pour le poids ?
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\emph{Partie A résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle :

\[(E)~~:\qquad  	y' - y = \text{e}^x\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2}  \right)\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, sur $]0~;~+ \infty[$, l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~~: y' - y = 0$.

\item 	Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par 
\[h(x) = \text{e}^x\left(\dfrac{1}{x} + \ln x\right).\]
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(1) =  2\text{e}$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\emph{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \text{e}^x\left(\dfrac{1}{x} + \ln x\right)$. On remarque que $h$ est la
fonction définie dans la partie \textbf{A. 2.}.

Une représentation graphique $\mathcal{C}$ de $h$, dans un repère orthogonal, où l'unité graphique est 4~centimètres sur l'axe des abscisses et 2~centimètres sur l'axe des ordonnées, est donnée ci-après.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(0,0)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(2,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(2,5)
\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$} 
\uput[u](1.4,4.35){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.166}{1.532}{1 x div x ln add 2.71828 x exp mul}%
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x)$.
		\item  Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[,~ h(x) =	\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(1 + x\ln x\right)$.
		
En déduire	$\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x)$.
		\item  Que peut-on déduire du \textbf{b.} pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item Pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[$, on pose : $g(x) = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \ln x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On admet que $g$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ et que son tableau de variation est :
		
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\psframe(6,3.5) \psline(0,2.5)(6,2.5) \psline(2,0)(2,3.5)\psline(2.1,0)(2.1,2.5)
\rput(1,3){$x$} \rput(2.15,3){$0$} \rput(5.6,3){$+ \infty$}
\rput(1,1.25){$g(x)$} \rput(2.4,0.2){$- \infty$} \rput(5.6,2.3){$+ \infty$}
\psline{->}(2.7,0.3)(5.4,2.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique, notée $\alpha$, sur [0,5~;~0,6].
		\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ arrondie à $10^{-2}$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ lorsque $x$ varie dans $]0~;~ + \infty[$.
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[,~h'(x) = \text{e}^xg(x)$, où $h'$ est la dérivée de la fonction
	$h$ définie au \textbf{2.} de la partie A.
		\item Déduire de ce qui précède le signe de $h'(x)$ lorsque $x$ varie dans $]0~;~+ \infty[$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $h$ lorsque $x$ varie dans $]0~;~+ \infty[$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}