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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Opticien lunetier}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\pagestyle{fancy}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien lunetier session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

L'étude des fiches de 500~patients d'un cabinet d'ophtalmologie a permis d'établir le tableau suivant.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tranche d'âge&\multicolumn{2}{c|}{moins de 25 ans}&\multicolumn{3}{c|}{de 25 ans à 45 ans}&\multicolumn{3}{c|}{plus de 45 ans}\\ \hline
Nombre de visites annuelles&1&2&1&2&3&1&2&3\\ \hline
Effectifs&25& 15&	90&80&40&132&86&32\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Par exemple, 86~personnes de plus de 45~ans sont venues au cabinet deux fois dans l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On tire une fiche au hasard dans l'ensemble des fiches des 500~patients.

On considère que tous les tirages sont équiprobables.
 
On note $A$ l'évènement : \og le patient a moins de 25 ans \fg{} et $B$ l'évènement: \og le patient vient deux fois par an au cabinet \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de chacun des évènements $A,~ B$ et $A \cap B$. 
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. Arrondir cette probabilité à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque fiche tirée au hasard dans le fichier, associe le nombre de visites annuelles inscrites sur cette fiche. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\item  On prélève dix fiches au hasard et avec remise dans le fichier. On appelle Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 10~fiches, associe le nombre de fiches de patients de moins de 25~ans. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$. 
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 2~fiches exactement correspondent à des patients de moins de 25~ans. Arrondir à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item On prélève cent fiches au hasard et avec remise dans le fichier. On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à chaque prélèvement de cent fiches, associe le nombre de fiches de patients de moins de 25~ans.
On admet que $Z$ suit approximativement la loi de Poisson de paramètre $8$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer, avec la précision permise par la table, la probabilité de l'évènement E : \og cinq fiches au plus correspondent à des patients de moins de 25~ans \fg.
		\item  On considère un entier naturel $n$ et l'évènement $F$ : \og $n$ patients au plus ont moins de 25~ans \fg. Déterminer la valeur minimale $n_{0}$ de l'entier $n$ telle que la probabilité de $F$ soit supérieure à $0,5$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

Une étude statistique effectuée sur une pièce utilisée dans la fabrication des lunettes a donné les résultats suivants où :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[]  $x$ désigne le prix unitaire en euros,
\item[] $y$ désigne la demande (la quantité demandée par les consommateurs), en milliers d'unités,
\item[] $z$ désigne l'offre (la quantité offerte sur le marché par les producteurs), en milliers d'unités.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&	0,5&	1&	1,9&	2,1&	2,4&	2,8& 	3,2&	3,5\\ \hline
$y$& 10,5&9&6,9&	6,5&	5,9&	5,3&	4,7& 	4,3\\ \hline
$z$&	 2&	 2,4& 	2,8&	2,9&	3&	3,1&	3,2&	3,3\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\emph{A. Étude de fonctions $f$ et $g$, définies sur $[0~;~ 5]$ et tracé de leurs courbes représentatives}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On appelle $f$ la fonction demande définie sur [0~;~5] par $f(x) =  y$.

La demande, en milliers d'unités, pour un prix de $x$ euros est donc $f(x)$.

On admet que,

\[\text{pour tout}~ x~ \text{de}~ [0~;~ 5], ~f(x) = \text{e}^{-0,3x + 2,5}.\]

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} où l'unité graphique est 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur [0~;~ 5]. 
		\item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$. (On pourra utiliser le tableau de valeurs ci-dessus).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant dans lequel on fera figurer des valeurs approchées arrondies à $10^{-2}$.\\
		
\medskip
		
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c||*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&	0,5&	1&	 1,9&2,1&	2,4&	2,8&	3,2 &	3,5\\ \hline
$z$&	 2&	2,4 &	2,8&	2,9&	3&	3,1&	3,2& 	3,3\\ \hline
$Z = \text{e}^z$& 	7,39&&&&&&&\\ \hline 	
\end{tabularx}

\medskip
		\item  Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique de variables $x$ et $Z$. Arrondir à $10^{-3}$. 
		\item  Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $Z$ en $x$ sous la forme $Z = ax + b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-1}$. 
		\item  Déduire du c. une expression de $z$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $g$ la fonction offre définie sur [0~;~5]. L'offre, en milliers d'unités, pour un prix de $x$ euros est donc $g(x)$. On admet que,

\[ \text{pour tout}~ x~ \text{de}~ [0~;~ 5],~  g(x) = \ln (6,4x + 4,4).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de $g$ sur [0~;~ 5]. 
		\item  Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
		
(On pourra utiliser le tableau de valeurs figurant au début de cet exercice, en remarquant que $z = g(x)$.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Détermination du prix d'équilibre}

\medskip

Le prix d'équilibre est le prix de vente $x_{0}$ pour lequel l'offre est égale à la demande, c'est à dire $f\left(x_{0}\right) = g\left(x_{0}\right)$  ou $f\left(x_{0}\right) - g\left(x_{0}\right) =0$. On considère la fonction $h$ définie sur [0~;~5] par
 
\[h(x) =  \text{e}^{-0,3x + 2,5}- \ln (6,4x + 4,4).\]

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que, pour tout $x$ de [0~;~ 5], $h'(x) =  f'(x) - g'(x)$.
\item  Déduire du 1. a. et du 3. a. de la partie A que, pour tout $x$ de [0~;~ 5], $h'(x) < 0$.

En déduire le sens de variation de $h$ sur [0~;~ 5].
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique, notée $x_{0}$, dans [4~;~4,5].
		\item  Déterminer un encadrement d'amplitude $0,1$ de $x_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Expliquer par une phrase comment on peut vérifier sur la figure de la partie A le résultat obtenu au 3. de la partie B.
\item Dans cette question, pour simplifier, on prend pour prix d'équilibre $x_{0} = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f\left(x_{0}\right)$. Arrondir à $10^{-2}$. 
		\item  En déduire la quantité de pièces échangées sur le marché.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}