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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Opticien lunetier}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien lunetier session 2003}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{\frac{x}{2}}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 2~cm). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R ~, f'(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{2} \text{e}^{\frac{x}{2}}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $\R$.
		\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées seront arrondies à $10 ^{-2}$.\\
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&$-6$	&$-4$	&$-3$	&$-2$	&$-1$	&0	&1	& 	2\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Tracer la tangente T et la partie de la courbe $\mathcal{C}$ relative à l'intervalle $[-6~;~2]$.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{A}$ l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses
et les droites d'équations $x = 0$ et $x =  1$.
	\begin{enumerate}
		\item  On note I$ = \displaystyle\int_{0}^1 (x - 1)\text{e}^{\frac{x}{2}}\:\text{d}x$.
		
À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que I $ = 6 - 4\sqrt{\text{e}}$.
		\item  On note J $= \displaystyle\int_{0}^1 (x - 1)^2\text{e}^{\frac{x}{2}}\:\text{d}x$.
		
À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que J $= - 26 + 16\sqrt{\text{e}}$.
		\item  Déduire de ce qui précède la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
		
En donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip 

Une entreprise fabrique des faces de lunettes en grande série. Dans chaque partie on étudie un modèle différent.

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, sauf avis contraire, tous les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-3}$\unboldmath.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une face de lunettes de modèle A est conforme si sa longueur, en millimètres, est comprise entre $129$ et $131$.

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $L_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque face prélevée au hasard dans la production dune journée associe sa longueur.

On suppose que $L_{1}$ suit la loi normale de moyenne $130$ et d'écart type $0,5$.

Calculer la probabilité qu'une face produite ce jour-là soit conforme,

\item  On désigne par $L_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque face prélevée au hasard dans un stock associe sa longueur.\\
On suppose que $L_{2}$ suit la loi normale de moyenne $130$ et d'écart type $\sigma$ inconnu.

On note $p$ la probabilité qu'une face de ce stock soit non conforme.
  
Déterminer $\sigma$ pour que l'on ait $p = 0,03$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note E l'évènement : \og une face prélevée au hasard dans un lot du modèle B est non conforme \fg.

On suppose que la probabilité de l'évènement E est 0,04. On prélève au hasard 50 faces de lunettes de ce lot.

Le lot est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~faces de lunettes.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50~faces de lunettes, associe le nombre de faces non conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au moins deux faces de lunettes soient non conformes.
\item  On admet que l'on peut approcher la loi de probabilité de la variable $X$ par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner le paramètre de cette loi de Poisson.
		\item  On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson définie au a.
		
Calculer avec la précision de la table, la probabilité que le prélèvement contienne au plus quatre faces non conformes.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette question on s'intéresse à la longueur des faces de lunettes de modèle C produites pendant une journée et on note $\mu$ la moyenne, inconnue, de ces longueurs.

\medskip

Soit $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 64~faces de lunettes prélevées au hasard et avec remise dans la production des faces de modèle C de la journée considérée, associe la moyenne des longueurs des faces de cet échantillon.

On suppose que $\overline{L}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type	$\dfrac{\sigma}{\sqrt{64}}$	avec 

$\sigma =  0,48$.

On mesure la longueur, exprimée en millimètres, de chacune des 64~faces d'un échantillon prélevé au hasard et avec remise dans la production de la journée des faces de modèle C.

On constate que la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de la moyenne $\overline{l}$ des longueurs des faces de cet échantillon est  $\overline{l} = 130,088$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$.
\item Déterminer un intervalle de confiance centré en $\overline{l}$ de la moyenne $\mu$, avec le coefficient de confiance 95\,\%.
\item On considère l'affirmation suivante : \og la moyenne $\mu$ est obligatoirement entre $129,970$ et $130,206$ \fg.

Peut-on déduire de ce qui précède qu'elle est vraie ?

On ne demande pas de justification.
\end{enumerate}
\end{document}