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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Opticien lunetier}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Opticien lunetier session 2002}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = 1 - x^2\text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique 2~cm).

\medskip

\textbf{Partie A - Étude de fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation.
\item 	Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
\item 	Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution et une seule $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$. Donner, en la justifiant, la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
\item 	Tracer la droite $D$ et la courbe $\mathcal{C}$ en précisant les tangentes horizontales de celle-ci. On rappelle l'unité graphique 2~cm.
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie B - Calcul d'aire}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $1 - f(x) \geqslant  0$ pour tout nombre réel $x$.
\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif.

Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x^2\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \text{e}^{- \lambda}\left(-\lambda^2 - 2\lambda  - 2\right) + 2$ (on pourra effectuer deux intégrations par parties).
\item 	En déduire l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $y = 1$ et les droites d'équation $x =  0$ et $x = \lambda$.
\item 	Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}

\medskip

Au cours de la fabrication d'un certain type de lentilles, chacune de ces lentilles doit subir deux traitements notés T$_{1}$ et T$_{2}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On prélève au hasard une lentille dans la production.

On désigne par $A$ l'évènement :  \og la lentille présente un défaut pour le traitement T$_{1}$ \fg.
On désigne par $B$ l'évènement : \og la lentille présente un défaut pour le traitement T$_{2}$ \fg.

On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$.

Une étude a montré que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la probabilité qu'une lentille présente un défaut pour le traitement T$_{1}$ est \\$P(A) = 0,10$ ;
\item  la probabilité qu'une lentille présente un défaut pour le traitement T$_{2}$ est \\$P(B) =  0,20$ ;
\item  la probabilité qu'une lentille ne présente aucun des deux défauts est $0,75$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T$_{1}$ ou T$_{2}$.
		\item Calculer la probabilité qu'une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour les deux traitements T$_{1}$ et T$_{2}$.
		\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.
\item Calculer la probabilité qu'une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T$_{2}$, sachant que cette lentille présente un défaut pour le traitement T$_{1}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On prélève, au hasard, un échantillon de $50$~lentilles dans la production. On considère ce prélèvement comme un prélèvement avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de lentilles qui présentent au moins un des deux défauts (pour le traitement T$_{1}$ ou pour le traitement T$_{2}$).
 
On admet, dans cette partie, que la probabilité qu'une lentille présente au moins un des deux défauts est : $p = 0,25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
\item  Déterminer l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire $X$.
\item  Calculer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, 12 lentilles qui présentent au moins un des deux défauts. Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
\item  On considère que la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $12,5$ et d'écart type $3,06$.

On note $Y$ une variable aléatoire qui suit cette loi normale $\mathcal{N}(12,5~;~3,06)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, avec cette approximation, la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, 12 lentilles qui présentent au moins un des deux défauts, c'est à dire : $P(11,5 \leqslant  Y \leqslant 12,5)$. Donner le résultat avec la précision permise par la table. 
		\item  Déterminer le nombre réel $h$ tel que : $P(12,5 - h \leqslant Y \leqslant 12,5 + h) = 0,673$. Arrondir le résultat à l'unité.
	\end{enumerate}
		
\medskip
		
\emph{Ce résultat peut s'énoncer de la façon suivante: avec une probabilité proche de $0,673$ le nombre de lentilles présentant au moins un des deux défauts dans un tel échantillon de $50$~lentilles, est compris entre $10$ et $15$.}
\end{enumerate}
\end{document}