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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Opticien lunetier}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Opticien lunetier session 2001}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendantes} \end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, dérivable sur $[0,~;~+ \infty[$  et $y'$ la dérivée de $y$ :

\[y' + \dfrac{3}{4}y = \dfrac{9x+3}{16}.\] 
	
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'intervalle $[0,~;~+ \infty[$ l'équation différentielle \og sans second membre \fg

\[y' + \dfrac{3}{4}y = 0.\] 

\item  Déterminer les constantes $a$ et $b$ telles que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0,~;~+ \infty[$ par $g(x) = ax + b$ soit solution de (E).

\item  En déduire l'ensemble des solutions de (E).

\item  Déterminer la solution particulière de $f$ de (E) qui prend la valeur $\dfrac{1}{4}$ pour $x = 0$.
\end{enumerate}

\medskip 
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{4} + \text{e}^{- \frac{3}{4}x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère ormonormal d'unité graphique : 2~cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. 
		\item   En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

Montrer que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation et préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote.

\item Soit D la droite d'équation $y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{4}$, soit $M$ et $N$ des points respectifs de $\mathcal{C}$ et D de même abscisse $x$ positive on note $y_{M} - y_{N}$ la différence (les ordonnées de $M$ et de $N$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus petit $x$ pour lequel $y_{M} - y_{N} < 0,05$ ; en donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité.
		\item Représenter $\mathcal{C}$ et D en tenant compte des résultats précédents
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $\displaystyle\int_{0}^3 \text{e}^{- \frac{3}{4}x}\:\text{d}x = \dfrac{4}{3}\left(1 - \text{e}^{- \frac{3}{4}}\right)$.
		\item  En déduire, en cm$^2$, l'aire du plan ensemble des points $P$ de coordonnées $(x~;~y)$ vérifiant\\
$\left\{\begin{array}{l}
0 \leqslant x \leqslant  3\\
\dfrac{3}{4}x - \dfrac{3}{4} \leqslant y \leqslant f(x)\\
\end{array}\right.$

Arrondir le résultat au mm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendantes} \end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Le gérant du célèbre magasin d'optique OPTIPRIX dépose 120~chèques à sa banque. Les montants de ces chèques, libellés en euros, ont été regroupés en cinq classes.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Classes	&[50~;~60[&[60~;~110[&[110~;~140[&[140~;~200[ &[200~;~280[\\ \hline
Effectifs& 12		&	24		&	60		&	19 	&	5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\begin{enumerate}
\item  On prélève un chèque au hasard parmi les 120. Tous les chèques ont la même probabilité d'être tirés.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner, sous forme de fraction irréductible, la probabilité $p_{1}$ que ce chèque ait un montant appartenant à [200~;~260[. 
		\item  Donner de même la probabilité $p_{2}$ que ce chèque ait un montant appartenant à [110~;~140[.
	\end{enumerate}
\item  On prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de 36 chèques parmi les 120 déposés à la banque. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement d'un tel échantillon, associe le nombre de chèques dont le montant appartient la classe [200~;~280[.

On définit de même la variable aléatoire $Y$ pour la classe [110~;~140[.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Indiquer sans justification la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Donner son espérance et son écart-type arrondi au dixième. 
		\item  Indiquer de même sans justification la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Y$. Donner son espérance et son écart-type.
			\end{enumerate}
\item On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ peut-être approchée par la loi de Poisson de
paramètre $1,5$.

On note $X_{1}$ une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson.

Calculer, avec cette approximation, la probabilité d'obtenir au moins trois chèques d'un montant appartenant à la classe [200~;~280[  (arrondir le résultat au centième).

\item On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Y$ peut-être approthèe par la loi normale de moyenne $18$ et d'écart-type $3$.

On note $Y_{1}$ une variable aléatoire qui suit cette loi normale.

Calculer, avec cette approximation, la probabilité d'obtenir entre 15 et 21~chèques d'un montant appartenant à la classe
[110~;~140[, c'est à dire $P(14,5 \leqslant  Y_{1} \leqslant  21,5)$.(arrondir le résultat au centième),
\end{enumerate}
 
 \medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie on s'intéresse au stock des chèques déposés à la banque au cours du dernier mois.

On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque chèque prélevé au hasard dans le stock, associe son montant en euros.
On considère que cette variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $m$ et d'écart-type $30$.

On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire et avec remise de 100~chèques, associe le montant moyen de ces 100 chèques. On se propose de construire un test d'hypothèse pour accepter ou refuser l'affirmation du comptable \og Le montant moyen des chèques déposés au cours du dernier mois est de 120~euros. \fg

L'hypothèse nulle H$_{0}$ est : $m =  120$.

L'hypothèse alternative H$_{1}$ est $m = 120$.

Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que, sous hypothèse nulle H$_{0},~ \overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $120$ et d'écart-type 3.

\item  Sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, déterminer, en la justifiant, la valeur du réel $h$ tel que

\[P(120 - h \leqslant  \overline{Z} < 120 + h) = 0,95.\]

\item  Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.

\item  Utilisation du test

Pour un échantillon de 100~chèques, on obtient une moyenne $z =  125$.

Peut-on accepter, au seuil de risque 5\:\%, l'affirmation du comptable ?
\end{enumerate}
\end{document}