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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{13 mai 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien --lunetier session 13 mai 2011}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

Les verres photochromiques s'assombrissent ou s'éclaircissent en fonction de la luminosité. On étudie dans cet exercice le coefficient de transmission d'un verre minéral photochromique en fonction de la longueur d'onde de la lumière.
 
Suite à une étude expérimentale, on a obtenu le nuage de points suivant, où $x$ correspond à la longueur d'onde en nm, et $y$ au coefficient de transmission, exprimé en pourcentage.

\medskip

\psset{xunit=0.033cm,yunit=0.1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(320,100)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=300,Dx=50,Dy=10]{->}(0,0)(300,100)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](60,3)(80,3)(100,4)(115,25)(125,55)(130,85)(150,88)(200,90)(250,90)
\multido{\n=0+50}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(300,\n)}
\end{pspicture}
\end{center} 

\bigskip

\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center}

\medskip
 
\emph{A. Ajustement affine}

\medskip
 
On s'intéresse tout d'abord à la phase de transition entre l'état sombre et l'état clair, correspondant aux données du tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Longueur d'onde $x$ (en nm)& 400 &410 &420 &430\\ \hline 
Coefficient de transmission $y$ (en \,\%)& 4 &25 &55 &85\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$, où $a$ est arrondi à $10^{-2}$ et $b$ est arrondi à l'unité. 
\item Utiliser l'équation précédente pour estimer le coefficient de transmission pour une longueur d'onde de $416$~nm. Arrondir à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Étude de fonctions et calcul intégral}

\medskip
 
Un modèle global de la situation expérimentale conduit à exprimer le coefficient de transmission, exprimé en pourcentage, en fonction de la longueur d'onde $x$, en nm, à l'aide de la fonction $f$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par : 
 
\[f(x) = 90 - 	\dfrac{89}{1 + \text{e}^{0,2(x - 416)}}.\]
 
La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée par le graphique suivant. 

\medskip
\psset{unit=0.045cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(260,110)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=300,Dx=50,Dy=10]{->}(0,0)(260,110)
\uput[d](260,0){$x$}\uput[l](0,110){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](10,-2){\small 310}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{10}{250}{90 89  2.71828 0.2 x 106 sub mul exp 1 add div sub}
\multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+50}{3}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(250,\n)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(250,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\,
		
$f'(x) = 89 \times 0,2 \dfrac{\text{e}^{0,2(x - 416)}}{\left(1 + \text{e}^{0,2(x - 416)} \right)^2}$. 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Les questions a., b. et c. suivantes sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ 
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse enlève $0,5$ point.\\ Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\ 
Si le total est négatif, la note pour cette partie est ramenée à $0$}. 
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 90$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$\\ \hline
\end{tabularx}
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont une équation est :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline 
$x = 90$& $y = 89$& $y = 90 $\\ \hline
\end{tabularx}
		\item Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $416$ est :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline 
\small $y=-4,45x -\np{18923,55}$& $y = 4,45x - \np{1805,7}$& 
$y = 45,5x - \np{18923,55}$\\ \hline
\end{tabularx}
 
\emph{Le coefficient directeur de cette tangente correspond à la vitesse de transition.}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\, $f(x) = 90 - 445 \times  0,2 \dfrac{\text{e}^{-0,2(x - 416)}}{1 + \text{e}^{-0,2(x - 416)}}$
		\item Utiliser l'expression précédente pour donner une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'aire, en unités d'aire, limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 380$ et $x = 550$.
	\end{enumerate}
	 
\emph{Cette aire correspond à la quantité d'énergie absorbée par le verre durant la transition sombre/clair.} 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\medskip
 
Une entreprise fabrique et distribue un produit de consommation courante en grande quantité.

\medskip
 
\emph{A. Lois de probabilités}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère un stock important de produits fabriqués par l'entreprise pendant un mois. On note $E$ l'évènement: \og un produit prélevé au hasard dans ce stock est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,05$.
 
On prélève au hasard 40~produits dans le stock pour vérification. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 40~produits.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de produits de ce prélèvement qui sont défectueux. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
		\item Calculer la probabilité qu'aucun produit de ce prélèvement ne soit défectueux. Donner le résultat arrondi à $10^{-3}$. 
		\item On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson. Donner le paramètre $\lambda$, de cette loi de Poisson. 
		\item On note $X_{1}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ où $\lambda$, est la valeur obtenue au c.
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Donner, avec la précision permise par la table, la probabilité de l'évènement \og $X_{1} \leqslant 4$ \fg. 
\item En déduire la probabilité qu'il y ait plus de quatre produits défectueux dans le prélèvement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate} 
\item On prélève au hasard 400~produits dans le stock pour vérification. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 400 produits.
 
On considère la variable aléatoire $Y$, qui à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de produits défectueux de ce prélèvement, suit la loi binomiale $\mathcal{B}(400~;~0,05)$.
 
On admet que la loi de $Y$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $20$ et d'écart type $4,4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les paramètres de cette loi normale. 
		\item On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(20~;~4,4)$. En utilisant cette variable aléatoire, calculer la probabilité qu'il y ait au plus 30~produits défectueux dans le prélèvement, c'est-à-dire calculer $P(Z \leqslant 30,5)$. Donner le résultat arrondi à $10^{- 3}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Intervalle de confiance}

\medskip
 
On s'intéresse dans cette partie à la proportion inconnue $p$ de produits dans le stock présentant une erreur d'étiquetage.
 
Pour cela, on prélève au hasard et avec remise 100~produits dans le stock.
 
Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon, des produits présentant une erreur d'étiquetage. On suppose que $F$ suit la loi 
normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p (1- p)}{100}}$. 

Pour l'échantillon prélevé, on constate que 6~produits présentent une erreur d'étiquetage. 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$. 
\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le coefficient de confiance 90\,\%. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{C. Probabilités conditionnelles et suites}

\medskip
 
L'entreprise décide de réaliser une campagne publicitaire dans une région donnée, pendant quelques semaines, afin d'assurer la promotion du produit de consommation courante qu'elle fabrique.
 
Avant le début de la campagne, la proportion de consommateurs du produit est de 25\,\%. L'impact de campagne est le suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 97\,\% des consommateurs du produit une semaine donnée restent consommateurs la semaine suivante ; 
\item 15\,\% des non consommateurs du produit une semaine donnée deviennent consommateurs la semaine suivante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On interroge au hasard un individu dans la région. Tous les individus ont la même probabilité d'être interrogés.
 
On note $C_{0}$ l'évènement : \og l'individu est consommateur du produit la semaine précédant le début de la campagne publicitaire \fg{} et $p_{0}$ la probabilité de l'évènement $C_{0}$.
 
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $C_{n}$ l'évènement : \og l'individu est consommateur du produit la semaine $n$ \fg{} et $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $C_{n}$. 
\begin{enumerate}
\item Donner, à l'aide de l'énoncé : 
	\begin{enumerate}
		\item la probabilité $p_{0}$ ; 
		\item pour tout entier naturel $n$, les probabilités conditionnelles $P_{C_{n}}\left(C_{n + 1}\right)$ et $P_{\overline{C_{n}}}\left(C_{n + 1}\right)$.
		 
(On rappelle que $P_{A}(B)$ désigne la probabilité de l'évènement B sachant que A est réalisé.)
	\end{enumerate} 
\item Justifier que la probabilité que l'individu interrogé soit consommateur du produit la semaine 1 est égale à $0,355$. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, p_{n + 1} = 0,82 p_{n} + 0,15$. 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{5}{6}$.  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite de terme général $u_{n}$ est une suite géométrique. Calculer $u_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ ?
		 
\emph{Ce nombre représente la proportion maximale de consommateurs que peut envisager l'entreprise à l'issue de la campagne promotionnelle.}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}