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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur ~\decofourright\\ Opticien --lunetier session 2009}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

La direction de la chaîne des magasins OPTITAN, qui commercialise des lunettes solaires, se propose de déterminer le prix de vente unitaire d'un de ses modèles pour réaliser la meilleure recette possible. 

La direction raisonne à partir des deux hypothèses suivantes :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  pour un prix de base de 50~euros, il y a \nombre{10000}~clients acheteurs en une année ; 
\item toute augmentation de 20~euros entraîne une diminution de 20\:\%
 du nombre de clients.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\bigskip
 
\emph{A. Modèle discret}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(p_{n}\right)$, avec $n$ entier naturel compris entre 0 et 4, des différents prix testés, en euros, par l'entreprise est une suite arithmétique de premier terme $p_{0} = 50$ et de raison $r = 20$.

Déterminer $P_{1},~ P_{2}, P_{3}$ et $P_{4}$. 
\item Pour $n$ entier naturel compris entre 0 et 4, on désigne par $c_{n}$ le nombre de clients acheteurs potentiels, lorsque le prix unitaire est égal à $p_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $\left(c_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
	\item Exprimer, pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 4, $c_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Pour $n$ entier naturel compris entre 0 et 4, on désigne par $r_{n}$ la recette correspondant au prix unitaire $p_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau suivant. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0& 1& 2& 3& 4\\ \hline 
$p_{n}$& 50& 70&&& 130\\ \hline 
$c_{n}$& \nombre{10000}&&&&\\ \hline 
$r_{n}$&\nombre{500000}&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

	\item D'après le tableau précédent, quel prix $p_{n}$ permet à OPTITAN de réaliser la meilleure recette ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{B. Modèle continu}
 
\medskip

\textbf{I.} On considère l'équation différentielle $(E) : \quad y' = - \dfrac{20}{100}y$, 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~4], et $y'$ sa fonction dérivée. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
	\item Déterminer la solution $C$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $C(0) = \nombre{10000}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant, dans lequel les valeurs $c_{n}$ ont été obtenues à la question A. 3. et les valeurs $C(n)$ sont à calculer avec la fonction $C$ obtenue au B. I. 1. b. Arrondir les valeurs $C(n)$ à l'unité. 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0& 1& 2& 3 &4\\ \hline 
Nombre de clients potentiels obtenu avec le premier modèle $c_{n}$&&\nombre{8000}&&&\\ \hline
Nombre de clients potentiels obtenu avec le deuxième modèle: $C(n)$&&\nombre{8187}&&& \\ \hline 
$C(n) - c_{n}$&& 187&&& \\ \hline 
\end{tabularx} 

\medskip

	\item  Pour quelle valeur de $n$ l'écart entre le nombre de clients acheteurs potentiels obtenu avec le deuxième modèle et le nombre de clients acheteurs potentiels obtenu avec le premier modèle est-il le plus important ? Quel est alors cet écart ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
	 
\textbf{II.} On considère la fonction $R$ de la variable réelle $x$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par :
 
\[R(x) = (5 + 2x)\text{e}^{-0,2x}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $R'(x)$, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~4].
		\item Étudier le signe de $R'(x)$ sur l'intervalle [0~;~4].
	 
En déduire le tableau de variations de $R$, dans lequel on fera figurer les valeurs exactes de $R(0)$, de $R(4)$ et de $R\left(x_{0}\right)$, où $x_{0}$ est la valeur de $x$ pour laquelle la fonction $R$ admet un maximum. 
		\item Donner les valeurs approchées arrondies à $10^{-2}$ de $R(2,5)$ et $R(4)$.
	 
En utilisant le tableau de variations précédent, donner le nombre de solutions de l'équation $R(x) = 6$ dans l'intervalle [0~;~4]. On ne demande pas de justification. 
	\end{enumerate}
\item On admet que, lorsque le prix de vente unitaire du modèle de lunettes solaires considéré au début de l'exercice est $(50 + 20x)$ euros, avec $0 \leqslant  x \leqslant 4$, la recette correspondante est $R(x)$, en centaines de milliers d'euros. 

Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la question B. II. 1. 

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le prix unitaire, en euros, du modèle de lunettes permettant d'obtenir la meilleure recette. Quelle est alors cette recette, arrondie à l'euro ? 
		\item Deux prix permettent une recette égale à \nombre{600000}~euros. Expliquer pourquoi l'un est favorable à l'acheteur et l'autre au vendeur.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center}

\medskip
 
Dans le service d'ophtalmologie d'un centre hospitalier, on dispose de deux fichiers, concernant un grand nombre de patients. Le fichier 1 contient les fiches cartonnées de patients atteints d'un glaucome. Le fichier 2 concerne des patients non atteints de glaucome.

\medskip
 
\emph{A. Évènements indépendants}

\medskip
 
\begin{center} \textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités.} \end{center}
 
On s'intéresse aux allergies déclenchées chez les patients du fichier 1 par deux collyres C$_{1}$ et C$_{2}$. L'examen du fichier montre que 5\:\%
 des patients sont allergiques à C$_{1}$ et 10\:\% des patients allergiques à C$_{2}$. 

On prélève une fiche au hasard dans le fichier 1.
 
On note A l'évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un patient allergique à C$_{1}$ \fg. 

On note B I' évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un patient allergique à C$_{2}$ \fg. 

On suppose que les évènements A et B sont indépendants. 

\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P(\text{A})$ et $P(\text{B})$. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un patient allergique aux deux collyres \fg. 
\item Calcule la probabilité de l'évènement : \og la fiche prélevée est celle d'un patient allergique à l'un au moins des deux collyres \fg. 
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Dans les parties B, C et D, les valeurs approchées sont à arrondir à} \boldmath $10^{- 2}$ \end{center} 

\bigskip

\emph{B. Loi binomiale et loi de Poisson}
 
Dans le fichier 1, seulement 10\:\% des fiches indiquent une \og pression intraoculaire \fg normale (la pression intraoculaire est la pression de l'humeur aqueuse à l'intérieur de l'?il).
 
On prélève au hasard et avec remise $n$ fiches dans le fichier 1.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à tout prélèvement de $n$ fiches associe le nombre de fiches indiquant une pression intraoculaire normale.
 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  Dans cette question, on prend $n = 10$. 

Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucune fiche ne présente une pression intraoculaire normale. 
\item  Dans cette question, on prend $n = 100$. 

On considère que la loi suivie par la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
 
	\item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est la valeur obtenue au a.
	 
Calculer, à l'aide de la table du formulaire, $P(Y \leqslant  3)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Loi normale}

\medskip
 
Dans cette question, on considère la variable aléatoire $Z$ qui, à toute fiche prélevée au hasard dans le fichier 1, associe la pression intraoculaire du patient, exprimée en millimètres de mercure.
 
On admet que $Z$ suit la loi normale de moyenne 19 et d'écart type 2.
 
Calculer, à l'aide de la table du formulaire, la probabilité $P(15 \leqslant  Z \leqslant 23)$.

\bigskip
 
\emph{D. Test d'hypothèse}

\medskip
 
Dans cette partie, on cherche à déterminer s'il existe une différence significative entre la moyenne des \og pressions systoliques \fg{} (la pression systolique est la pression artérielle au moment de la contraction du c{\oe}ur) des patients du fichier 1, atteints de glaucome, et celle des patients du fichier 2, non atteints de glaucome. Ne pouvant consulter toutes les fiches, on décide de procéder à un test d'hypothèse.
 
On note $X_{1}$ la variable aléatoire qui à chaque fiche prélevée au hasard
 dans le fichier 1 associe la pression systolique du patient, exprimée en millimètres de mercure.
 
On note $X_{2}$ la variable aléatoire qui à chaque fiche prélevée au hasard dans le fichier 2 associe la pression systolique du patient, exprimée en millimètres de mercure.
 
On admet que $X_{1}$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu_{1},~ 25)$ et que $X_{2}$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu_{2},~ 20)$, où $\mu_{1}$ et $\mu_{2}$ sont les moyennes inconnues des pressions systoliques des patients des fichiers 1 et 2.
 
On désigne par $X_{1}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire de 200 fiches prélevées avec remise dans le fichier 1 associe la moyenne des pressions systoliques. 

On désigne par $X_{2}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire de 200 fiches prélevées avec remise dans le fichier 2 associe la moyenne des pressions systoliques. 
 
On note $D$ la variable aléatoire telle que : $D = \overline{X_{1}} - \overline{X_{2}}$.
 
L'hypothèse nulle est $H_{0} : \mu_{1} = \mu_{2}$.
 
L'hypothèse alternative est $H_{1} : \mu_{1} \neq \mu_{2}$. 

Le seuil de signification est fixé à 5\:\%. 

On admet que sous l'hypothèse nulle $H_{0}$ la variable aléatoire $D$ suit la loi normale 
$\mathcal{N}\left(0,~\sqrt{\dfrac{25^2 + 20^2}{200}}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item  Sous l 'hypothèse nulle $H_{0}$ déterminer le nombre réel positif $h$ tel que : 

\[P\left(-h \leqslant D \leqslant h \right) = 0,95. \]

\item Énoncer la règle de décision du test.
 
\item On prélève un échantillon aléatoire de 200~fiches dans chacun des fichiers. La moyenne observée sur l'échantillon du fichier 1 est $\overline{x_{1}} = 133$. Celle observée sur l'échantillon du  fichier 2 est $\overline{x_{1}} = 130$.
 
Peut-on, au seuil de signification de 5\:\%, accepter l'hypothèse $H_{0}$ ? 
\end{enumerate}


\end{document}