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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS  Informatique de gestion obligatoire~\decofourright\\[5pt]novembre  2000 - Nouvelle--Calédonie}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ÉPREUVE OBLIGATOIRE}
  
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise veut créer un site Internet comportant 5 pages A, B, C, D, E.

La structure des pages vérifie les conditions suivantes : 
 
\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La page A est la page d'accueil et sur chacune des autres pages figure un bouton permettant de revenir directement à la page d'accueil.
\item[$\bullet~$]	On peut passer directement de la page A aux autres pages, sauf à la page E.
\item[$\bullet~$]	On peut passer directement de la page B à la page E et de la page E à la page C.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Dessiner une représentation du graphe orienté associé au site.
\item Vérifier que la matrice d'adjacence M du graphe est :

\[M = \begin{pmatrix}
0&1	&1	&1	&0\\
1&0	&0	&0	&1\\
1&0	&0	&0 	&0\\
1&0	&0	&0	&0\\
1&0	&1	&0	&0\\
\end{pmatrix}\]

\item Calculer les deux matrices booléennes $M^2$ et $M^3$. Quelle est la signification des « 1 » présents dans la matrice $M^3$ ?
\item On admet que la matrice $M^3 =M \times M \times M$, où $\times$ désigne la multiplication des matrices, peut
s'écrire
 
\[M^3 = \begin{pmatrix}
1&3&4&3&0\\
4&1&1&1&1\\ 
3& 0& 0& 0& 1\\
3&0&0&0&1\\
3&1&1&1&1\\
\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de chemins de longueur 3 ayant pour origine B et pour extrémité A.
		
Ecrire ces chemins.
		\item Écrire les trois circuits de longueur 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

Une société s'occupe de la saisie informatique de documents. Pour chaque document, une première saisie est retournée, pour vérification, au client correspondant.

\emph{Les résultats demandés seront donnés sous forme de valeurs décimales arrondies à } $10^{-3}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour chaque document, le délai de retour de la première saisie vers le client est fixé à 2 semaines. Une étude statistique a montré que la probabilité qu'une saisie choisie au hasard soit effectivement retournée au client dans le délai fixé est égale à $0,9$.

\medskip

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $n$ saisies choisies au hasard par tirage avec remise, associe le nombre de saisies pour lesquelles le délai de retour n'a pas été respecté.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ?
		\item 	Pour cette question, on suppose que $n =  20$. Calculer la probabilité $P(X = 2)$.
	\end{enumerate}
\item Pour cette question, on suppose que $n = 100$. On admet que la loi de probabilité de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le paramètre de cette loi de Poisson.
		\item En utilisant cette loi de Poisson, calculer une valeur approchée de chacune des probabilités
	$P(X = 4)$ et $P(x > 2)$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque saisie retournée et choisie au hasard par tirage avec remise, associe le nombre d'erreurs décelées dans cette saisie par le client correspondant.

	On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $30$ et d'écart type $8$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(25 \leqslant  Y \leqslant 35)$.
\item 	Déterminer le plus petit nombre entier $n_{0}$ tel que $P(Y \geqslant  n_{0})  \leqslant  0,945$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ~;~ + \infty[$ par 
\[f(x) = (x+ 3)\left(\text{e}^{-x}  - x +6\right).\]

\medskip

\textbf{I Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x} - 2x + 3.\]

On donne le tableau de variations de $g$ :

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
%\psgrid
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$\alpha$}
\uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$} \uput[u](1,1.9){$g'(x)$} \uput[u](1,0.8){$g(x)$} \rput(2.15,1.8){1} \rput(7.5,0.2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$-$}
\psline(2.4,1.8)(4.8,1.08) \psline{->}(5.3,0.9)(7.4,0.3) \rput(5,1){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant (donner les résultats sous forme décimale, arrondis à $10^{-3}$ près) :
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	$x$		&0,88	&0,89	&0,90	&0,91	&0,92	&0,93	&0,94	&0,95 \\ \hline
$g(x)$	&		&		&		&		&		&		&		& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item En déduire un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{II Étude de}\boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip
	 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item  Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à $[0 ~;~ + \infty[,~ f'(x) = g(x)$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ~;~ + \infty[$.
		
Donner une valeur approchée de $f(\alpha)$ en prenant $0,92$ pour valeur approchée de $\alpha$.
		\item 	Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ~;~ 6], $f(x) > 0$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités 2~cm en abscisse et 0,5~cm en ordonnée).
		
Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{III Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $F$, définie sur $[0 ~;~ + \infty[$ par 

\[F(x) = (- x - 4)\text{e}^{-x} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} + 18x,\]

est une primitive de $f$.
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{0}^6 f(x)\:\text{d}x$.

Donner une interprétation graphique du résultat obtenu, en l'illustrant sur le tracé précédent.
\end{enumerate}
\end{document}